Исследование сходимости рядов

Если $\left|u_{n}\right| < \frac{c}{n^{a}}$, где $c$ — постоянная, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty } u_{n}$ сходится при $a > 1$.

Если $u_{n} > \frac{c}{n^{a}}$, где $c > 0$ — постоянная, $a \leqslant 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty } u_{n}$ расходится.

Если $\left|u_{n}\right| < \frac{c}{n(\ln n)^{a}}$, где $a > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty } u_{n}$ сходится, а если $\left|u_{n}\right| > \frac{c}{n(\ln n)^{a}}$, где $a \leqslant 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty } u_{n}$ расходится.

Обозначим $\ln \ln n = \ln_{2} n$, $\ln \ln \ln n = \ln_{3} n$, , тогда ряд $\sum u_{n}$ сходится, если

и расходится, если

Признак Ермакова. Пусть $f(x)$ есть положительная и убывающая функция при $x > x_{0}$. Если при тех же $x$ имеется неравенство

где $\lambda < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty } u_{n}$ сходится, где $u_{n} = f(n)$. Если при тех же условиях $\frac{e^{x} f(e^{x})}{f(x)} \geqslant 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty } u_{n}$ расходится. Доказать это утверждение.

Теорема Куммера. Если для данного ряда положительных чисел $\sum u_{n}$ можно найти такую последовательность положительных чисел $c_{n}$, что при всех $n$ имеем $c_{n} u_{n} - c_{n+1} u_{n+1} > \rho u_{n+1}$, где $\rho > 0$ — постоянная, то ряд $\sum u_{n}$ сходится. Доказать эту теорему.

Признак сходимости Куммера. Если члены ряда $\sum u_{n}$ положительны и можно найти такой ряд положительных чисел $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \ldots$, что при всех $n > n_{0}$ имеется неравенство:

где $a > 0$, то данный ряд сходится.

Если же при всех $n > n_{0}$ имеет место неравенство:

числа $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \ldots$ положительны, а ряд $\sum \frac{1}{c_{n}}$ расходится, то ряд $\sum u_{n}$ тоже расходится. Доказать это утверждение.

Признак Раабе. Если $u_{n} > 0$ и $\lim_{n \rightarrow \infty } n\left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}} - 1\right) > 1$, то ряд сходится. Если тот же предел $< 1$, то ряд расходится. Доказать это утверждение.

Признак Бертрана для ряда $\sum u_{n}$, где $u_{n} > 0$ и

Если $A > 1$, ряд сходится, а при $A < 1$ он расходится. Доказать это утверждение.

Признак Гаусса для рядов $\sum u_{n}$ при $u_{n} > 0$ и

где $\lambda$ и $\mu$ — постоянные, а $\theta_{n}$ — ограниченная.

Если $\lambda > 1$ — ряд сходится, если $\lambda < 1$ — расходится. При $\lambda = 1$ ряд сходится, если $\mu > 1$, и расходится при $\mu \leqslant 1$. Доказать это утверждение.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{1}{x^{n}+1}$, $x > 0$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{x^{n}}{1+x^{2n}}$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{x^{n}}{(1+x)(1+x^{2})\ldots (1+x^{n})}$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{x^{2n}}{1+x^{2n+1}}$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{(n!)^{2}}{(2n)!} x^{n}$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = n! \left(\frac{x}{n}\right)^{n}$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{n^{n}}{n!} x^{n}$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{x^{n^{2}}}{n!}$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{\sqrt{n^{n}}}{n!} x^{n}$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{n!}{(x+1)(x+2)\ldots (x+n)}$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = n \frac{a(a+1)\ldots (a+n)}{b(b+1)\ldots (b+n)}$; $a > 0$, $b > 0$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{(a+1)(2a+1)\ldots (na+1)}{(b+1)(2b+1)\ldots (nb+1)}$; $a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{\beta (\beta +1)\ldots (\beta +n-1)}{n!} \cdot \frac{1}{n^{\alpha }}$; $\alpha > 0$, $\beta > 0$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = (2-\sqrt{e})(2-\sqrt[3]{e})\ldots (2-\sqrt[n]{e})$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \ln \cos \frac{x}{n}$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = e - \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1-\frac{x \ln a}{n}\right)^{n}$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \sqrt{n+1} - 2\sqrt{n} + \sqrt{n-1}$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2n} \cdot \frac{1}{2n+1}$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2n} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$.

Исследовать сходимость ряда с общим членом $u_{n} = \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 2n}\right)^{a}$.

Исследовать сходимость гипергеометрического ряда:

Исследовать сходимость ряда $\sum u_{n}$, если $u_{1} = 1$, а

Исследовать сходимость ряда:

Исследовать сходимость ряда $\sum u_{n}^{-1}$, где $u_{n}$ — числа Фибоначчи: $u_{1} = 1$, $u_{2} = 2$, $u_{3} = 3$, $u_{4} = 5$, , $u_{n+1} = u_{n}+u_{n-1}$.

Исследовать сходимость ряда $1 - \frac{1}{2^{a}} + \frac{1}{3^{a}} - \frac{1}{4^{a}} + \ldots$

Исследовать сходимость ряда $1 + \frac{1}{2^{a}} - \frac{2}{3^{a}} + \frac{1}{4^{a}} + \frac{1}{5^{a}} - \frac{2}{6^{a}} + \ldots$

Исследовать сходимость ряда $\sin x - \sin \sin x + \sin \sin \sin x - \ldots$

Исследовать сходимость ряда $\frac{\sin x}{1} + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \ldots$

Доказать, что ряд $\nu_{0}^{a}+\nu_{1}^{a}+\nu_{2}^{a}+\ldots$, где $\nu_{0} = x$, $\nu_{1} = \sin \nu_{0}$, $\nu_{2} = \sin \nu_{1}$, , сходится при $a > 2$ и расходится при $a \leqslant 2$, если $x \neq 0$, $\sin x \neq 0$.

$\nu_{1} = \operatorname {arctg} x$, $\nu_{2} = \operatorname {arctg} \nu_{1}$, $\nu_{3} = \operatorname {arctg} \nu_{2}$, Исследовать сходимость ряда $\sum \nu_{m}^{a}$ при $a > 0$.

Если члены ряда $\sum_{-\infty }^{\infty } a_{n} x^{n}$ ограничены при $x = x_{0}$ и $x = x_{1}$, $\left|x_{1}\right| > \left|x_{0}\right|$, то ряд сходится при $\left|x_{0}\right| < \left|x\right| < \left|x_{1}\right|$. Доказать это утверждение.

Функция $f(t)$ называется выпуклой, если при любых $m > 0$, $n > 0$ имеется неравенство:

Доказать, что сумма ряда $\sum_{-\infty }^{\infty } a_{n} x^{n}$, сходящегося при $0 < x_{0} < x < x_{1}$, где $a_{n} > 0$, есть выпуклая функция от $t = \ln x$.

Доказать теорему Абеля: если $a_{n} > 0$ и $A_{n} = a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n} \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty$, то ряд $\sum \frac{a_{n}}{A_{n}^{\sigma }}$ сходится при $\sigma > 1$ и расходится при $\sigma \leqslant 1$.

Так как среднее геометрическое положительных чисел не больше, чем их среднее арифметическое, то

Пользуясь этим, доказать неравенство

где $n\alpha_{n} = a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}$, а числа $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ положительны.

При тех же условиях, что и в задаче 4999 (числа $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{m}$ положительны, $n\alpha_{n} = a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}$, и установлено неравенство $\alpha_{n}^{p} - \frac{p}{p-1}\alpha_{n}^{p-1}a_{n} \leqslant \frac{1}{p-1}\left((n-1)\alpha_{n-1}^{p} - n\alpha_{n}^{p}\right)$), показать, что:

Если числа $a_{\nu }$ и $b_{\nu } > 0$, $0 < \lambda < 1$; $\lambda +\mu = 1$, то по неравенству Гёльдера

Пользуясь им и результатом задачи 5000, доказать неравенства Харди и Ландау:

где $a_{n} > 0$, а ряд в правой части сходящийся.

Доказать неравенство Карлемана:

где $u_{n} > 0$, а ряд в правой части сходится.