Случайные величины и их распределения

Пусть $X$ — случайная величина на заданном вероятностном пространстве, и пусть $a \in \mathbb {R}$. Покажите, что

Случайная величина $X$ имеет функцию распределения $F$. Какова функция распределения $Y = a X+b$, где $a$ и $b$ — вещественные константы?

Правильная монета подбрасывается $n$ раз. Покажите, что при разумных предположениях вероятность выпадения ровно $k$ орлов равна $\binom {n}{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$. Какова соответствующая величина, если орёл выпадает с вероятностью $p$ при каждом подбрасывании?

Покажите, что если $F$ и $G$ — функции распределения и $0 \leq \lambda \leq 1$, то $\lambda F+(1-\lambda ) G$ — тоже функция распределения. Является ли произведение $F G$ функцией распределения?

Пусть $F$ — функция распределения, а $r$ — натуральное число. Покажите, что следующие функции являются функциями распределения:

Говорят, что случайная величина, которая с равной вероятностью принимает любое значение из конечного множества $S$, имеет равномерное распределение на $S$. Если $U$ — такая случайная величина и $\varnothing \neq R \subseteq S$, покажите, что распределение $U$ при условии $\left\{ U \in R\right\}$ равномерно на $R$.

Вы хотите задать каждому из большого числа людей вопрос, на который ответ «да» является постыдным. Для определения доли смущённых респондентов в популяции предлагается следующая процедура. При задании вопроса монета подбрасывается вне поля зрения спрашивающего. Если ответ должен был быть «нет», а монета показывает орла, то даётся ответ «да». В противном случае люди отвечают правдиво. Что вы думаете об этой процедуре?

Монета подбрасывается многократно, и орёл выпадает при каждом подбрасывании с вероятностью $p$. Пусть $H_{n}$ и $T_{n}$ — числа орлов и решек в $n$ подбрасываниях. Покажите, что для $\epsilon > 0$,

Пусть $\left\{ X_{r}: r \geq 1\right\}$ — независимые и одинаково распределённые наблюдения с неизвестной функцией распределения $F$. Опишите и обоснуйте метод оценивания $F(x)$.

Пусть $X$ — случайная величина с функцией распределения $F$, и пусть $a = \left(a_{m}:-\infty < m < \infty \right)$ — строго возрастающая последовательность вещественных чисел, удовлетворяющая условиям $a_{-m} \rightarrow -\infty$ и $a_{m} \rightarrow \infty$ при $m \rightarrow \infty$. Определим $G(x) = \mathbb {P}\left(X \leq a_{m}\right)$ при $a_{m-1} \leq x < a_{m}$, так что $G$ — функция распределения дискретной случайной величины. Как ведёт себя функция $G$, когда последовательность $a$ выбирается таким образом, что $\sup_{m}\left|a_{m}-a_{m-1}\right|$ становится всё меньше и меньше?

Пусть $X$ — случайная величина, и пусть $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и строго возрастает. Покажите, что $Y = g(X)$ является случайной величиной.

Пусть $X$ — случайная величина с функцией распределения

Пусть $F$ — функция распределения, непрерывная и строго возрастающая. Покажите, что $Y = F^{-1}(X)$ является случайной величиной с функцией распределения $F$. Обязательно ли, чтобы $F$ была непрерывной и/или строго возрастающей?

Покажите, что если $f$ и $g$ — функции плотности и $0 \leq \lambda \leq 1$, то $\lambda f+(1-\lambda ) g$ — тоже плотность. Является ли произведение $f g$ функцией плотности?

Какие из следующих функций являются функциями плотности? Найдите $c$ и соответствующую функцию распределения $F$ для тех, которые являются таковыми.

Пусть $X$ — случайная величина с непрерывной функцией распределения $F$. Найдите выражения для функций распределения следующих случайных величин:

Пусть $X$ — случайная величина с функцией распределения $F$, и пусть $a < b$. Изобразите функции распределения «усечённых» случайных величин $Y$ и $Z$, заданных как

Укажите, как ведут себя эти функции распределения при $a \rightarrow -\infty , b \rightarrow \infty$.

Правильная монета подбрасывается дважды. Пусть $X$ — число орлов, и пусть $W$ — индикаторная функция события $\left\{ X = 2\right\}$. Найдите $\mathbb {P}\left(X = x, W = w\right)$ для всех допустимых значений $x$ и $w$.

Пусть $X$ — случайная величина Бернулли, так что $\mathbb {P}\left(X = 0\right) = 1-p, \mathbb {P}\left(X = 1\right) = p$. Пусть $Y = 1-X$ и $Z = X Y$. Найдите $\mathbb {P}\left(X = x, Y = y\right)$ и $\mathbb {P}\left(X = x, Z = z\right)$ для $x, y, z \in \left\{ 0,1\right\}$.

Случайные величины $X$ и $Y$ имеют совместную функцию распределения

Покажите, что $X$ и $Y$ имеют (совместно) непрерывное распределение.

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную функцию распределения $F$. Покажите, что

при $a < b$ и $c < d$.

Пусть $X, Y$ — дискретные случайные величины, принимающие целочисленные значения, с совместной функцией вероятностей $f$. Покажите, что для целых $x, y$,

Отсюда найдите совместную функцию вероятностей наименьшего и наибольшего чисел, выпавших при $r$ бросках правильной кости.

Является ли функция $F(x, y) = 1-e^{-x y}, 0 \leq x, y < \infty$, совместной функцией распределения некоторой пары случайных величин?

При каждом подбрасывании монеты орёл выпадает с вероятностью $p$. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет первый орёл. Пусть $X$ — общее число подбрасываний. Чему равно $\mathbb {P}\left(X > m\right)$? Найдите функцию распределения случайной величины $X$.

Пусть $X$ имеет функцию распределения

и пусть $Y = X^{2}$. Найдите

Пусть $X$ имеет функцию распределения

Изобразите эту функцию и найдите:

Автобусы прибывают с интервалом в десять минут, начиная с полудня. Мужчина приходит на автобусную остановку через случайное число $X$ минут после полудня, где $X$ имеет функцию распределения

Какова вероятность того, что он ждёт автобус менее пяти минут?

Авиакомпании обнаруживают, что каждый пассажир, забронировавший место, не является на рейс с вероятностью $\frac{1}{10}$ независимо от других пассажиров. Авиакомпания EasyPeasy всегда продаёт 10 билетов на свой самолёт с 9 местами, тогда как авиакомпания RyeLoaf всегда продаёт 20 билетов на свой самолёт с 18 местами. Какая из них чаще сталкивается с перепроданными местами?

Ярмарочный артист утверждает, что обладает способностью к телекинезу. Толпа бросает монеты, а он силой мысли заставляет их падать орлом вверх. Ему это удаётся пять раз из шести. Каковы были бы его шансы добиться такого же или лучшего результата, если бы у него не было сверхъестественных способностей?

Выразите функции распределения

Покажите, что $F_{X}(x)$ непрерывна в точке $x = x_{0}$ тогда и только тогда, когда $\mathbb {P}\left(X = x_{0}\right) = 0$.

Вещественное число $m$ называется медианой функции распределения $F$, если $\lim_{y \uparrow m} F(y) \leq \frac{1}{2} \leq F(m)$.

Функция $d: S \times S \rightarrow \mathbb {R}$ называется метрикой на $S$, если:

(i) $d(s, t) = d(t, s) \geq 0$ для всех $s, t \in S$,

(ii) $d(s, t) = 0$ тогда и только тогда, когда $s = t$, и

(iii) $d(s, t) \leq d(s, u)+d(u, t)$ для всех $s, t, u \in S$.

Установите в следующих случаях, является ли $F$ совместной функцией распределения некоторой пары $(X, Y)$ случайных величин. Если ваш вывод положительный, найдите функции распределения $X$ и $Y$ по отдельности.

Требуется расставить в определённом порядке $n$ книг $B_{1}, B_{2}, \ldots , B_{n}$ на библиотечной полке таким образом, чтобы читатели, просматривающие полку слева направо, в среднем тратили как можно меньше времени. Предполагая, что каждому читателю требуется книга $B_{i}$ с вероятностью $p_{i}$, найдите такой порядок книг, который минимизирует $\mathbb {P}\left(T \geq k\right)$ для всех $k$, где $T$ — (случайное) число просмотренных названий до обнаружения искомой книги.

Три монеты — каждая показывает орла с вероятностью $\frac{3}{5}$ и решку в противном случае. Первая даёт 10 очков за орла и 2 за решку, вторая даёт 4 очка как за орла, так и за решку, а третья даёт 3 очка за орла и 20 за решку.

Вы и ваш противник каждый выбираете монету; вы не можете выбрать одну и ту же монету. Каждый из вас бросает свою монету, и тот, у кого счёт больше, выигрывает $£ 10^{10}$. Что бы вы предпочли: выбирать монету первым или вторым?

До появления радаров, инерциальной навигации и GPS перелёты на удалённые острова (например, из Лос-Анджелеса на Гавайи) были в некотором роде делом случая. В плотной облачности или ночью приходилось лететь по счислению пути, а затем осматривать поверхность. С помощью радио пилот имел хорошее представление о том, вдоль какого большого круга следует вести поиск, но не мог быть уверен, какое из двух направлений вдоль этого большого круга правильное (поскольку сильный попутный ветер мог отнести самолёт за цель). Представьте, что вы пилот и вычисляете, что можете совершить $n$ поисковых заходов, прежде чем у самолёта закончится топливо. При каждом поиске вы обнаружите остров с вероятностью $p$ (если он действительно находится в направлении поиска) независимо от результатов других поисков; изначально вы оцениваете, что вероятность того, что остров находится впереди вас, равна $\alpha$. Какую стратегию следует принять при выборе направлений ваших различных поисков, чтобы максимизировать вероятность обнаружения острова?

Восемь пешек расставлены случайным образом на шахматной доске, не более одной на клетку. Какова вероятность того, что:

Какие из следующих функций являются функциями распределения? Для тех, что являются, укажите соответствующую функцию плотности $f$.

Пусть $X$ равномерно распределена на интервале $[0,1]$, и представим $X$ в виде непрерывной дроби так:

Покажите, что совместная функция вероятностей $Y_{1}$ и $Y_{2}$ равна

Пусть $V$ — векторное пространство размерности $n$ над конечным полем $\mathbb {F}$ с $q$ элементами. Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{m}$ — независимые случайные величины, каждая из которых равномерно распределена на $V$.

Случайная величина $X$ с функцией распределения $F$ называется унимодальной относительно моды $M$, если $F$ выпукла на $(-\infty , M)$ и вогнута на $(M, \infty )$. Покажите, что если $F$ унимодальна относительно $M$, то выполняется следующее.