Банк задач по математике

Задача 2.5.1

Правильная монета подбрасывается дважды. Пусть $X$ — число орлов, и пусть $W$ — индикаторная функция события $\left\{ X = 2\right\}$ . Найдите $\mathbb {P}\left(X = x, W = w\right)$ для всех допустимых значений $x$ и $w$ .

?

Задача 2.5.2

Пусть $X$ — случайная величина Бернулли, так что $\mathbb {P}\left(X = 0\right) = 1-p, \mathbb {P}\left(X = 1\right) = p$ . Пусть $Y = 1-X$ и $Z = X Y$ . Найдите $\mathbb {P}\left(X = x, Y = y\right)$ и $\mathbb {P}\left(X = x, Z = z\right)$ для $x, y, z \in \left\{ 0,1\right\}$ .

?

Задача 2.5.3

Случайные величины $X$ и $Y$ имеют совместную функцию распределения

F_{X, Y}(x, y) = \begin{cases} 0 & \text{ если } x < 0 \\ \left(1-e^{-x}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi } \tan ^{-1} y\right) & \text{ если } x \geq 0\end{cases}

Покажите, что $X$ и $Y$ имеют (совместно) непрерывное распределение.

?

Задача 2.5.4

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную функцию распределения $F$ . Покажите, что

\mathbb {P}\left(a < X \leq b, c < Y \leq d\right) = F(b, d)-F(a, d)-F(b, c)+F(a, c)

при $a < b$ и $c < d$ .

?

Задача 2.5.5

Пусть $X, Y$ — дискретные случайные величины, принимающие целочисленные значения, с совместной функцией вероятностей $f$ . Покажите, что для целых $x, y$ ,

\begin{aligned} f(x, y) & = \mathbb {P}\left(X \geq x, Y \leq y\right)-\mathbb {P}\left(X \geq x+1, Y \leq y\right) \\ & \quad -\mathbb {P}\left(X \geq x, Y \leq y-1\right)+\mathbb {P}\left(X \geq x+1, Y \leq y-1\right) \end{aligned}

Отсюда найдите совместную функцию вероятностей наименьшего и наибольшего чисел, выпавших при $r$ бросках правильной кости.

?

Задача 2.5.6

Является ли функция $F(x, y) = 1-e^{-x y}, 0 \leq x, y < \infty$ , совместной функцией распределения некоторой пары случайных величин?

?

Случайные векторы