Алгебра

Пусть $V$ — вещественное векторное пространство размерности не менее $3$ и пусть $T \in \operatorname {End}_{\mathbb {R}}(V)$. Докажите, что существует ненулевое подпространство $W$ пространства $V$, $W \neq V$, такое что $T(W) \subseteq W$.

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над полем $K$. Пусть $S$ — линейное преобразование $V$ в себя. Пусть $W$ — инвариантное подпространство $V$ (то есть $SW \subseteq W$). Пусть $m(t)$, $m_1(t)$ и $m_2(t)$ — минимальные многочлены преобразования $S$ как линейного преобразования $V$, $W$ и $V/W$ соответственно.

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над $\mathbb {R}$ и $T : V \to V$ — линейное преобразование такое, что (a) минимальный многочлен $T$ неприводим и (b) существует вектор $v \in V$ такой, что $\left\{ T^i v \mid i \geq 0\right\}$ порождает $V$. Покажите, что $V$ не имеет собственного $T$-инвариантного подпространства.

Пусть $A$ — матрица размера $n \times n$ с элементами из $\mathbb {C}$. Покажите, что $A$ имеет $n$ различных собственных значений в $\mathbb {C}$ тогда и только тогда, когда $A$ не коммутирует ни с одной ненулевой нильпотентной матрицей.

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над полем $F$, $T : V \to V$ — линейное отображение такое, что минимальный многочлен $T$ совпадает с характеристическим многочленом, который является квадратом неприводимого многочлена из $F[\lambda ]$. Покажите, что если $u$, $v$ и $w$ — любые три ненулевых вектора из $V$, то по крайней мере два из трёх подпространств, порождённых множествами $\left\{ T^i u\right\}_{i \geq 0}$, $\left\{ T^i v\right\}_{i \geq 0}$ и $\left\{ T^i w\right\}_{i \geq 0}$, совпадают.

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над $\mathbb {C}$ с базисом $\left\{ v_1, \ldots , v_n\right\}$. Пусть $\sigma$ — подстановка на $\left\{ v_1, \ldots , v_n\right\}$, индуцирующая тем самым линейное преобразование $A$ пространства $V$. Покажите, что $A$ диагонализуемо.

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над полем рациональных чисел. Предположим, что $T$ — невырожденное линейное преобразование $V$ такое, что $T^{-1} = T^2 + T$. Докажите, что $3$ делит размерность $V$, и докажите, что если $\dim V = 3$, то все такие $T$ подобны.

Пусть $\mathbb {R}_q$ — конечное поле с $q = p^n$ элементами, где $p$ — простое число. Пусть $\Pi : \mathbb {R}_q \to \mathbb {R}_q$ — автоморфизм Фробениуса $\Pi (x) = x^p$. Докажите, что $\Pi$, рассматриваемое как линейное отображение над $\mathbb {R}_p$, диагонализуемо тогда и только тогда, когда $n$ делит $p - 1$.

Пусть $A(t)$ — невырожденная матрица, элементы которой являются дифференцируемыми функциями вещественной переменной $t$. Пусть $A'(t)$ обозначает матрицу, составленную из производных элементов. Покажите, что производная определителя $\det A$ удовлетворяет соотношению

Пусть $V$ — векторное пространство многочленов $p(x) = a + bx + cx^2$ с вещественными коэффициентами $a$, $b$ и $c$. Определим скалярное произведение на $V$ по формуле

Предположим, что $A$ — матрица размера $n \times n$ и

Предположим, что все элементы $A$, $x$ и $y$ вещественны.

Пусть $A$ — вещественная матрица размера $n \times n$ с различными (возможно, комплексными) собственными значениями $\lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_n$ и соответствующими собственными векторами $v_1, v_2, \ldots , v_n$. Предположим, что $\lambda_1 = 1$ и $\left|\lambda_j\right| < 1$ при $2 \leq j \leq n$. Докажите, что $\lim_{n \to \infty } A^n v$ существует. Определим $T : \mathbb {C}^n \to \mathbb {C}^n$ по формуле $T(v) = \lim_{n \to \infty } A^n v$. Найдите размерности ядра и образа $T$ и укажите базис для каждого из них.

Пусть $A$ — матрица. Определим

Для

выразите $\sin (A)$ в замкнутом виде.

Пусть $A$ — трёхдиагональная матрица размера $9 \times 9$

Все не показанные элементы равны нулю.

Пусть $T$ — вещественная симметричная положительно определённая матрица размера $n \times n$ с различными собственными значениями $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots > \lambda_n$. Покажите, что

где $V$ пробегает все двумерные подпространства $\mathbb {R}^n$, а $\left|x\right|$ — евклидова норма $x$.

Для произвольной матрицы $P$ размера $n \times n$ рассмотрим сумму

Пусть $G$ — $p$-группа, и пусть $G \times V \to V$ — линейное действие $G$ на конечном векторном пространстве над конечным полем $F_{p^n}$. Используя теорию Силова, докажите, что существует базис $V$, в котором все преобразования $v \to \sigma \cdot v$ $(\sigma \in G)$ являются унипотентными матрицами.

Пусть $S$ — эндоморфизм конечномерного векторного пространства $V$ над полем $F$, характеристический многочлен которого не равен его минимальному многочлену. Покажите, что существует эндоморфизм $T$ пространства $V$ такой, что $T$ коммутирует с $S$, но $T$ не является многочленом от $S$. ($T$ является многочленом от $S$, если $T = a_0 I + a_1 S + a_2 S^2 + \cdots + a_k S^k$ для некоторого $k$ и $a_i \in F$.)

Пусть $A$ — вещественная матрица размера $n \times n$, все (комплексные) собственные значения которой вещественны и положительны. Покажите, что для любого целого $m \geq 1$ существует по крайней мере одна вещественная матрица $B$ размера $n \times n$ такая, что $B^m = A$.

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем $K$, и пусть $T : V \to V$ — линейное преобразование.

Пусть $G$ — группа вещественных матриц $2 \times 2$ с определителем единица. Опишите множество классов сопряжённости элементов группы $G$.

Пусть $G = GL_n(F_q)$ — группа обратимых матриц $n \times n$ над конечным полем $F_q$ с $q = p^r$, где $p$ — простое число, а $U = U_n(F_q)$ — подгруппа верхнетреугольных матриц с единицами на диагонали.

Пусть $H$ и $K$ — нормальные подгруппы конечной группы $G$, причём $G/H \simeq K$.

Докажите, что если $G$ — конечно порождённая бесконечная группа, то для каждого натурального числа $n$ группа $G$ имеет лишь конечное число подгрупп индекса $n$.

Покажите, что $G$ разрешима, но не нильпотентна.

Пусть $p$ — простое число, а $V$ — $n$-мерное векторное пространство над $F_p$. Пусть $G = GL_n(V)$. Напомним, что $\left|G\right| = (p^n - 1)(p^n - p) \cdots (p^n - p^{n-1})$.

Пусть $p$ и $q$ — различные простые числа. Пусть $G$ — группа порядка $p^3 \cdot q$, такая что её коммутант $K$ имеет порядок $q$. Пусть $H$ — $p$-силовская подгруппа группы $G$.

Пусть $A$ — абелева группа с образующими $e$, $f$ и $g$, удовлетворяющими соотношениям

Дайте разложение $A$ в прямую сумму циклических групп простого или бесконечного порядка.

Пусть $M$ — целочисленная матрица $n \times n$. Предположим, что $M$ обратима как матрица над рациональными числами, то есть существует матрица $N$ размера $n \times n$ с рациональными элементами, такая что $MN$ равно единичной матрице $n \times n$. Рассмотрим $M$ как эндоморфизм $\mathbb {Z}^n$.

Пусть $D = \mathbb {Z}[\xi ]$, где $\xi = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$. Вычислите порядок аддитивной группы $G = D^2/K$, где $K$ — $D$-подмодуль $D^2$, порождённый элементами $(2\xi +1, \xi -1)$, $(\xi +2, \xi -4)$ и $(21, 21)$. Затем представьте $G$ в виде произведения циклических групп.

Докажите, что $SL(2, \mathbb {Z})$ порождается матрицами $\begin{pmatrix} 1 & \pm 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, где $SL(2, \mathbb {Z})$ — группа матриц $2 \times 2$ с целыми коэффициентами и определителем $= 1$.

Пусть $G$ — конечная группа, $K$ — нормальная подгруппа $G$, а $P$ — силовская подгруппа $K$. Если $N$ — нормализатор $P$ в $G$ (т.е. $N = \left\{ g \in G \mid gPg^{-1} = P\right\}$), то покажите, что $G = K \cdot N$.

Пусть $P$ — силовская подгруппа конечной группы $G$. Пусть $N = \left\{ x \in G \mid xPx^{-1} = P\right\}$. Пусть $H$ — подгруппа $G$, $H \supseteq N$. Докажите: если $y \in G$ таков, что $yHy^{-1} = P$, то $y \in H$.

Пусть $G$ — конечная группа. Вероятность коммутативности группы $G$ определяется как

Пусть $p$ — простое число. Докажите, что для любого элемента $a \in \mathbb {Z}/p\mathbb {Z}$ найдутся $b, c \in \mathbb {Z}/p\mathbb {Z}$ такие, что $a = b^2 + c^2$.

Для кольца $R$ через $R^*$ обозначается его мультипликативная группа обратимых элементов, через $M_n(R)$ — кольцо матриц $n \times n$ над $R$, и $GL_n(R) = M_n(R)^*$.

Опишите бесконечное множество целочисленных решений $(a, b)$ уравнения Пелля $x^2 - 2y^2 = 1$ (то есть $a, b \in \mathbb {Z}$ такие, что $a^2 - 2b^2 = 1$).

Пусть $p$ — простое число. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, в котором $a^p = a$ для всех $a \in R$.

Пусть $R$ — коммутативное кольцо с $1$. Если $R$ удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей (у.о.в.ц.) для конечно порождённых идеалов, докажите, что $R$ удовлетворяет у.о.в.ц. для всех идеалов. Приведите пример (без доказательства) такого кольца, которое является областью целостности, но не кольцом главных идеалов.

Пусть $R$ — коммутативное кольцо. Пусть $A$ — идеал $R$.

Пусть $I$ — нильпотентный идеал в кольце $R$, пусть $M$ и $N$ — $R$-модули, и пусть $f : M \to N$ — $R$-гомоморфизм. Докажите, что если индуцированное отображение

сюръективно, то $f$ сюръективно.

Пусть $F$ — конечное поле, содержащее $5$ элементов. Пусть $t$ трансцендентен над $F$. Явно постройте одно неархимедово абсолютное значение $\left|\, \cdot \, \right|$ на $F(t)$. Если $\overline{F(t)}$ — пополнение $F(t)$ по этому абсолютному значению $\left|\, \cdot \, \right|$, докажите, что множество $\alpha (t) \in \overline{F(t)}$, удовлетворяющих $\left|\alpha (t)\right| \leq 1$, является локальным кольцом.

Докажите, что идеал, порождённый $X_1, \ldots , X_n$ в кольце многочленов $\mathbb {C}^{X_1, \ldots , X_n}$, не может быть порождён числом элементов меньше $n$.

Пусть $A$ — коммутативное кольцо, и пусть $I$ и $J$ — два (собственных) идеала такие, что каждый простой идеал $A$ содержит либо $I$, либо $J$, но ни один простой идеал не содержит оба $I$ и $J$. Докажите, что

для некоторых (нетривиальных) колец $A_1$ и $A_2$.

Определим $f : [0,1) \to [0,1)$ формулой

Найдите все $x$, для которых

Пусть $T$ — кольцо всех действительных тригонометрических многочленов

Определим $\deg f(x) = N$, где $a_N$ или $b_N \neq 0$. Докажите, что $\deg f \cdot g = \deg f + \deg g$. Используя этот результат, докажите, что $T$ — область целостности, не являющаяся факториальным кольцом.

Пусть $A$ — нётерова область целостности, целозамкнутая в своём поле частных $K$. Пусть $L$ — конечное сепарабельное расширение поля $K$. Если $B$ — целое замыкание $A$ в $L$, наметьте доказательство того, что $B$ нётерово.

Если $A$ — коммутативное кольцо и $A[[x]]$ — кольцо формальных степенных рядов над $A$, докажите, что если $f = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ нильпотентен, то все элементы $a_i \in A$ нильпотентны. Если $A$ нётерово, докажите обратное, то есть что если все элементы $a_i$ нильпотентны, то $f$ нильпотентен.

Пусть $F$ — поле, и для $n \geq 1$ пусть $R_n$ — подкольцо кольца многочленов $F[x]$, состоящее из многочленов

таких, что $f_1 = f_2 = \cdots = f_n = 0$.

Опишите все подкольца $\mathbb {Q}$. (Подкольцо по определению содержит $1$.)

Пусть $X$ — конечное множество, а $G$ — подгруппа группы перестановок множества $X$. Определим отношение $\sim$ на $X$, полагая $x \sim y$, если либо $x = y$, либо транспозиция $(x,y)$ (переставляющая $x, y \in X$ местами и оставляющая все остальные элементы на месте) является элементом $G$. Покажите следующее.

Пусть $p$ — нечётное простое число. Пусть $\zeta_p$ — первообразный корень $p$-й степени из единицы, а $g$ — первообразный корень (mod $p$) (т.е. $g$ — образующая группы $(\mathbb {Z}/p\mathbb {Z})^*$). Зафиксируем $e$ — делитель числа $p-1$ и положим $f = (p-1)/e$. Определим

Покажите, что для любого $i$ элемент $\eta_i$ порождает подполе поля $\mathbb {Q}(\zeta_p)$ степени $e$ над $\mathbb {Q}$.

Пусть $K$ — поле, а $x$ — элемент некоторого расширения поля $K$, трансцендентный над $K$. Положим $G = \operatorname {Aut}(K(x)/K)$ и пусть $H$ обозначает подгруппу $G$, состоящую из подстановок $x \to x + b$ с $b \in K$.

Пусть $E = \mathbb {C}(Y)$, где $Y$ — неопределённая, $F = \mathbb {C}(Z)$, где $Z = Y^n + Y^{-n}$, и $\zeta = e^{2\pi i/n}$.