Теория полей и теория Галуа

$\sim$ является отношением эквивалентности.

Если $G$ действует транзитивно, то все классы эквивалентности различны и содержат одинаковое число элементов.

Если $\operatorname {Card}(X)$ — простое число, и $G$ действует транзитивно и содержит хотя бы одну транспозицию, то $G$ должна быть всей группой перестановок множества $X$.

Пусть $A, B \in K[X]$, $AB \notin K$, $\gcd (A,B) = 1$, и положим $y = A(x)/B(x)$. Покажите последовательно, что многочлен $A - yB \in K(y)[X]$ не равен $0$, что $x$ алгебраичен над $K(y)$, что $y$ трансцендентен над $K$, что $A - yB$ неприводим в $K(y)[X]$, и что

Покажите, что элементы $G$ задаются дробно-линейными подстановками $x \to \frac{ax+b}{cx+d}$ с $a, b, c, d \in K$ и $ad - bc \neq 0$.

Покажите, что когда $K$ бесконечно, $G$ бесконечна и неподвижное поле $G$ равно $K$. Найдите неподвижное поле $H$.

Покажите, что когда $K = F_q$ и положить

то $\operatorname {ord} G = q^3 - q$ и неподвижное поле $G$ равно $F_q(z)$. Заключите, что $F_q(x)$ является расширением Галуа заданного поля $L$ с $F_q \subseteq L \subseteq F_q(x)$ тогда и только тогда, когда $L \supseteq F_q(z)$. Найдите неподвижное поле $H$.

Покажите, что существуют единственные автоморфизмы $\sigma$ и $\tau$ поля $E/\mathbb {C}$ такие, что $\sigma (Y) = \zeta Y$ и $\tau (Y) = Y^{-1}$, и что подгруппа $G$ группы $\operatorname {Aut}(E)$, порождённая ими, изоморфна $D_n$ — группе диэдра порядка $2n$.

Покажите, что $Y$ является корнем многочлена степени $2n$ с коэффициентами в $F$.

Покажите, что $E/F$ является расширением Галуа с группой Галуа $G$.

Найдите подгруппу $G$ (группы $\operatorname {Aut}_{\mathbb {Q}}(F)$), порождённую $\sigma$ и $\tau$.

Если $K$ — неподвижное поле $G$ в $F$, найдите конечное подмножество $S$ поля $F$ такое, что $K = \mathbb {Q}(S)$.

Сколько подполей лежит строго между $K$ и $F$? Сколько из них являются расширениями Галуа над $K$? Обоснуйте свои ответы.

Определите $G$.

Пусть $H$ — подгруппа $G$, порождённая $\sigma^2$ и $\tau$. Найдите $\alpha \in \mathbb {Q}(t)$ такой, что $\mathbb {Q}(\alpha )$ является неподвижным полем $H$ (обоснуйте ответ).

Докажите, что $f(x)$ неприводим над $\mathbb {Q}$.

Докажите, что $K/\mathbb {Q}$ является расширением Галуа.

Найдите образующую группы Галуа $\operatorname {Gal}(K/\mathbb {Q})$.

Покажите, что рациональные функции $f_a = \frac{1}{x-a}$ ($a \in K$) линейно независимы над $K$.

Какова размерность $K[x]$ и $K(x)$ как $K$-модулей?

Пусть $G$ обозначает аддитивную группу $K$, действующую на $K(x)$ так, что $a \in G$ переводит $x$ в $x+a$. Предположим, что $K$ бесконечно. Пусть $f \in K(x)$. Покажите, что $G$-орбита $f$ порождает конечномерный $K$-модуль тогда и только тогда, когда $f \in K[x]$.

Пусть $K$ — поле характеристики $p > 0$. Покажите, что многочлен $t^p - t - c$ в $K[t]$ либо неприводим, либо полностью разлагается на $p$ линейных множителей над $K$.

Пусть $F$ — поле разложения многочлена $t^{62} - 1$ над $\mathbb {Z}_5$. Покажите, что $[F : \mathbb {Z}_5] = 3$.

Предположим, дано поле $L$, $\mathbb {Q} \subseteq L \subseteq \mathbb {C}$, такое, что $L/\mathbb {Q}$ алгебраично, и всякое конечное расширение поля $K/L$, $K \subseteq \mathbb {C}$, имеет чётную степень. Покажите, что всякое конечное расширение поля $L$ на самом деле имеет степень, равную степени двойки.

Покажите, что такое поле $L$ действительно существует.

Пусть $L$ — промежуточное поле между $K^p$ и $K$. Если $[L:K^p]$ конечна, докажите, что это степень $p$.

Подмножество $B$ поля $K$ называется $p$-независимым, если для любого конечного набора $b_1, b_2, \ldots , b_m$ различных элементов $B$

Докажите, что если $K^p \neq K$, то $K$ содержит максимальное $p$-независимое подмножество $B$.

Докажите, что множество $B$ из пункта (b) удовлетворяет $K^p(B) = K$.

Докажите, что $K$ — поле.

Пусть $f(x) \in K[x]$ неприводим. Докажите, что $\deg (f) \geq 5$.

Покажите, что относительно композиции полиномиальных функций $G(k)$ образует группу.

Покажите, что если $ax+b \in G(k)$, то отображение $k$ в себя, заданное как $\lambda \mapsto a\lambda +b$, является теоретико-множественным автоморфизмом $k$.

Покажите, что отображение $G(k) \to \operatorname {aut}_{set}(k)$, заданное как

является инъективным гомоморфизмом групп.

Покажите, что подгруппа $G_1(k)$, состоящая из всех элементов вида $x+b$, является нормальной подгруппой $G(k)$, и что отображение $x+b \mapsto b$ задаёт изоморфизм $G_1(k)$ с аддитивной группой $k$.

Покажите, что отображение $ax+b \mapsto a$ задаёт гомоморфизм группы $G(k)$ на мультипликативную группу $k^*$, ядро которого есть $G_1(k)$.

Пусть $\Gamma \subseteq G(k)$ — нормальная подгруппа. Покажите, что если $\Gamma \neq \left\{ e\right\}$, то $\Gamma$ содержит $G_1(k)$.

Покажите, что если $\Gamma \subseteq G(k)$ — подгруппа и $\Gamma$ содержит $G_1(k)$, то $\Gamma$ является нормальной подгруппой $G(k)$.

Вычислите $\# G(F_q)$ и $\# G_1(F_q)$.

Покажите, что $G_1(F_q)$ является единственной силовской $p$-подгруппой $G(F_q)$.

Пусть $\Gamma \subseteq G(F_q)$ — нетривиальная подгруппа. Покажите, что $\Gamma$ нормальна в $G(F_q)$ тогда и только тогда, когда $q \mid \# \Gamma$.

Пусть $d > 1$ — делитель $q-1$. Покажите, что единственная подгруппа $G(F_q)$ порядка $qd$ состоит из всех элементов $ax+b$ с $a, b \in F_q$ и $a^d = 1$.

Покажите, что $x^p - l$ неприводим над $\mathbb {Q}$.

Покажите, что $K$ содержит первообразный корень $p$-й степени из единицы $\zeta$.

Покажите, что $\deg (K/\mathbb {Q}) = p(p-1)$.

Зафиксируем элемент $\alpha \in K$ с $\alpha^p = l$. Покажите, что для любого $\sigma \in \operatorname {Gal}(K/\mathbb {Q})$ существуют единственные элементы $a \in F_p^*$ и $b \in F_p$ такие, что

и покажите, что отображение $\sigma \mapsto ax+b$ задаёт изоморфизм групп $\operatorname {Gal}(K/\mathbb {Q}) \to G(F_p)$ (см. обозначения в 1424).

Покажите, что отображение множеств $F_p \to \left\{ \text{корни } x^p - l \text{ в } K\right\}$, заданное как $b \mapsto \zeta^b \alpha$, биективно, и что посредством этой биекции композиция отображений

является действием группы Галуа перестановками на корнях.

Покажите, что если $L$ — промежуточное поле, то есть $\mathbb {Q} \subseteq L \subseteq K$, и если $L \neq K$, то $L/\mathbb {Q}$ является расширением Галуа тогда и только тогда, когда $L \subseteq \mathbb {Q}(\zeta )$.

Покажите, что $F_p^*$ имеет единственную подгруппу порядка $(p-1)/2$, а именно подгруппу, состоящую из квадратов элементов $F_p^*$.

Покажите, что отображение $\chi_2 : F_p^* \to \left\{ 1,-1\right\}$ (мультипликативная группа), заданное как

является гомоморфизмом (называемым «квадратичным характером по модулю $p$»).

Покажите, что $\chi_2(a) = a^{\frac{p-1}{2}}$.

Пусть $\zeta_p$ — комплексное число $e^{2\pi i/p}$, первообразный корень $p$-й степени из единицы в $\mathbb {C}$. Так что $\mathbb {Q}(\zeta_p)$ — подполе $\mathbb {C}$. Обозначим через $c : z \mapsto \overline{z}$ автоморфизм «комплексное сопряжение» поля $\mathbb {C}$, покажите, что $\mathbb {Q}(\zeta_p)$ переходит в себя под действием $c$, и что $c$ индуцирует автоморфизм $\mathbb {Q}(\zeta_p)$, который при изоморфизме $\operatorname {Gal}(\mathbb {Q}(\zeta_p)/\mathbb {Q}) \simeq F_p^*$ соответствует элементу $-1 \in F_p^*$.

Покажите, что число в $\mathbb {Q}(\zeta_p)$, определённое «суммой Гаусса»

удовлетворяет, как комплексное число, соотношениям

Покажите, что $\chi_2(-1) = 1$ тогда и только тогда, когда $p \equiv 1 \bmod 4$.

Выведите из (e) и (f), что

Если унитарный многочлен $f$ из $\mathbb {Z}[x]$ при приведении по модулю простого числа $p$ даёт неприводимый многочлен в $F_p[x]$, то $f$ неприводим в $\mathbb {Q}^{x}$.

$x^p - x - 1$ неприводим в $F_p[x]$.

Для любого поля $F$ и любой конечной группы $G$ существует расширение Галуа $E/F$ с группой Галуа $G$.

Если $L \supseteq E \supseteq F$ — цепочка полей, в которой $L/E$ является расширением Галуа и $E/F$ является расширением Галуа, то $L/F$ является расширением Галуа.

Если $F$ — поле характеристики $p > 0$, и $E/F$ — конечное расширение Галуа, то $p$ не делит степень $E/F$.