Теория колец

Пусть $p$ — простое число. Докажите, что для любого элемента $a \in \mathbb {Z}/p\mathbb {Z}$ найдутся $b, c \in \mathbb {Z}/p\mathbb {Z}$ такие, что $a = b^2 + c^2$.

Для кольца $R$ через $R^*$ обозначается его мультипликативная группа обратимых элементов, через $M_n(R)$ — кольцо матриц $n \times n$ над $R$, и $GL_n(R) = M_n(R)^*$.

Опишите бесконечное множество целочисленных решений $(a, b)$ уравнения Пелля $x^2 - 2y^2 = 1$ (то есть $a, b \in \mathbb {Z}$ такие, что $a^2 - 2b^2 = 1$).

Пусть $p$ — простое число. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, в котором $a^p = a$ для всех $a \in R$.

Пусть $R$ — коммутативное кольцо с $1$. Если $R$ удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей (у.о.в.ц.) для конечно порождённых идеалов, докажите, что $R$ удовлетворяет у.о.в.ц. для всех идеалов. Приведите пример (без доказательства) такого кольца, которое является областью целостности, но не кольцом главных идеалов.

Пусть $R$ — коммутативное кольцо. Пусть $A$ — идеал $R$.

Пусть $I$ — нильпотентный идеал в кольце $R$, пусть $M$ и $N$ — $R$-модули, и пусть $f : M \to N$ — $R$-гомоморфизм. Докажите, что если индуцированное отображение

сюръективно, то $f$ сюръективно.

Пусть $F$ — конечное поле, содержащее $5$ элементов. Пусть $t$ трансцендентен над $F$. Явно постройте одно неархимедово абсолютное значение $\left|\, \cdot \, \right|$ на $F(t)$. Если $\overline{F(t)}$ — пополнение $F(t)$ по этому абсолютному значению $\left|\, \cdot \, \right|$, докажите, что множество $\alpha (t) \in \overline{F(t)}$, удовлетворяющих $\left|\alpha (t)\right| \leq 1$, является локальным кольцом.

Докажите, что идеал, порождённый $X_1, \ldots , X_n$ в кольце многочленов $\mathbb {C}^{X_1, \ldots , X_n}$, не может быть порождён числом элементов меньше $n$.

Пусть $A$ — коммутативное кольцо, и пусть $I$ и $J$ — два (собственных) идеала такие, что каждый простой идеал $A$ содержит либо $I$, либо $J$, но ни один простой идеал не содержит оба $I$ и $J$. Докажите, что

для некоторых (нетривиальных) колец $A_1$ и $A_2$.

Определим $f : [0,1) \to [0,1)$ формулой

Найдите все $x$, для которых

Пусть $T$ — кольцо всех действительных тригонометрических многочленов

Определим $\deg f(x) = N$, где $a_N$ или $b_N \neq 0$. Докажите, что $\deg f \cdot g = \deg f + \deg g$. Используя этот результат, докажите, что $T$ — область целостности, не являющаяся факториальным кольцом.

Пусть $A$ — нётерова область целостности, целозамкнутая в своём поле частных $K$. Пусть $L$ — конечное сепарабельное расширение поля $K$. Если $B$ — целое замыкание $A$ в $L$, наметьте доказательство того, что $B$ нётерово.

Если $A$ — коммутативное кольцо и $A[[x]]$ — кольцо формальных степенных рядов над $A$, докажите, что если $f = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ нильпотентен, то все элементы $a_i \in A$ нильпотентны. Если $A$ нётерово, докажите обратное, то есть что если все элементы $a_i$ нильпотентны, то $f$ нильпотентен.

Пусть $F$ — поле, и для $n \geq 1$ пусть $R_n$ — подкольцо кольца многочленов $F[x]$, состоящее из многочленов

таких, что $f_1 = f_2 = \cdots = f_n = 0$.

Опишите все подкольца $\mathbb {Q}$. (Подкольцо по определению содержит $1$.)