Банк задач по математике

Задача 1.2.1

Пусть $G$ — группа вещественных матриц $2 \times 2$ с определителем единица. Опишите множество классов сопряжённости элементов группы $G$ .

?

Задача 1.2.2

Пусть $G = GL_n(F_q)$ — группа обратимых матриц $n \times n$ над конечным полем $F_q$ с $q = p^r$ , где $p$ — простое число, а $U = U_n(F_q)$ — подгруппа верхнетреугольных матриц с единицами на диагонали.

?

(a)

Вычислите порядки $G$ и $U$ . Выведите отсюда, что $U$ — силовская $p$ -подгруппа группы $G$ .

(b)

Выведите отсюда, что всякая $p$ -подгруппа группы $G$ сопряжена некоторой подгруппе группы $U$ .

(c)

Определите число $G$ -сопряжённых подгруппы $U$ .

(d)

Покажите, что элемент $g \in G$ имеет порядок, равный степени $p$ , тогда и только тогда, когда $g = I + N$ , где $N^n = 0$ .

(e)

Покажите, что $G$ содержит элемент порядка $q^n - 1$ .

Задача 1.2.3

(a)(b)

?

(a)

Пусть $G$ — конечная группа, а $H$ — её подгруппа. Докажите, что если $G = \bigcup_{g \in G} gHg^{-1}$ , то $H = G$ .

(b)

Напомним, что подгруппа $M$ группы $G$ называется максимальной, если единственными подгруппами $H$ , удовлетворяющими $M \subseteq H \subseteq G$ , являются $H = M$ и $H = G$ . Пусть $G$ — конечная группа, обладающая тем свойством, что все её максимальные подгруппы сопряжены. Докажите, что $G$ циклична и имеет порядок, равный степени простого числа.

Задача 1.2.4

(a)(b)

Пусть $H$ и $K$ — нормальные подгруппы конечной группы $G$ , причём $G/H \simeq K$ .

?

(a)

Приведите пример, показывающий, что $G/K$ не обязательно изоморфна $H$ .

(b)

Покажите, что если $H$ проста, то $G/K \simeq H$ .

Задача 1.2.5

Докажите, что если $G$ — конечно порождённая бесконечная группа, то для каждого натурального числа $n$ группа $G$ имеет лишь конечное число подгрупп индекса $n$ .

?

Задача 1.2.6

G = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix} \, \middle |\, a \in \mathbb {R}^*, b \in \mathbb {R}\right\} \subseteq GL(2, \mathbb {R}).

Покажите, что $G$ разрешима, но не нильпотентна.

?

Задача 1.2.7

(a)(b)

Пусть $p$ — простое число, а $V$ — $n$ -мерное векторное пространство над $F_p$ . Пусть $G = GL_n(V)$ . Напомним, что $\left|G\right| = (p^n - 1)(p^n - p) \cdots (p^n - p^{n-1})$ .

?

(a)

Напомним, что линейное преобразование называется полупростым, если его минимальный многочлен сепарабелен. Докажите, что преобразование $T \in G$ полупросто тогда и только тогда, когда $T^{p^m - 1} = I$ для некоторого натурального $m$ .

(b)

Пусть $H$ — подгруппа $G$ порядка, равного степени $p$ . Покажите, что $H$ можно одновременно привести к верхнетреугольному виду, то есть существует базис $V$ , относительно которого все элементы $H$ верхнетреугольны.

Задача 1.2.8

(a)(b)(c)

Пусть $p$ и $q$ — различные простые числа. Пусть $G$ — группа порядка $p^3 \cdot q$ , такая что её коммутант $K$ имеет порядок $q$ . Пусть $H$ — $p$ -силовская подгруппа группы $G$ .

?

(a)

Покажите, что $H$ абелева и $G = HK$ .

(b)

Покажите, что существуют элементы $h \in H$ и $k \in K$ , такие что $hk \neq kh$ .

(c)

Из пункта (b) выведите, что $p$ делит $q - 1$ .

Задача 1.2.9

(a)(b)

?

(a)

Пусть $p$ , $q$ — простые числа, $p > q > 2$ . Пусть $G$ — группа порядка $pq^2$ . Покажите, что $G$ имеет подгруппу порядка $pq$ .

(b)

Что можно сказать, если $q = 2$ (и $p > q$ )?

Задача 1.2.10

Пусть $A$ — абелева группа с образующими $e$ , $f$ и $g$ , удовлетворяющими соотношениям

9e + 3f + 6g = 0,

3e + 3f = 0,

3e - 3f + 6g = 0.

Дайте разложение $A$ в прямую сумму циклических групп простого или бесконечного порядка.

?

Задача 1.2.11

(a)(b)

Пусть $M$ — целочисленная матрица $n \times n$ . Предположим, что $M$ обратима как матрица над рациональными числами, то есть существует матрица $N$ размера $n \times n$ с рациональными элементами, такая что $MN$ равно единичной матрице $n \times n$ . Рассмотрим $M$ как эндоморфизм $\mathbb {Z}^n$ .

?

(a)

Покажите, что $\mathbb {Z}^n/M\mathbb {Z}^n$ конечна.

(b)

Покажите, что порядок $\mathbb {Z}^n/M\mathbb {Z}^n$ равен абсолютной величине определителя $M$ .

Задача 1.2.12

Пусть $D = \mathbb {Z}[\xi ]$ , где $\xi = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ . Вычислите порядок аддитивной группы $G = D^2/K$ , где $K$ — $D$ -подмодуль $D^2$ , порождённый элементами $(2\xi +1, \xi -1)$ , $(\xi +2, \xi -4)$ и $(21, 21)$ . Затем представьте $G$ в виде произведения циклических групп.

?

Задача 1.2.13

Докажите, что $SL(2, \mathbb {Z})$ порождается матрицами $\begin{pmatrix} 1 & \pm 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , где $SL(2, \mathbb {Z})$ — группа матриц $2 \times 2$ с целыми коэффициентами и определителем $= 1$ .

?

Задача 1.2.14

Пусть $G$ — конечная группа, $K$ — нормальная подгруппа $G$ , а $P$ — силовская подгруппа $K$ . Если $N$ — нормализатор $P$ в $G$ (т.е. $N = \left\{ g \in G \mid gPg^{-1} = P\right\}$ ), то покажите, что $G = K \cdot N$ .

?

Задача 1.2.15

Пусть $P$ — силовская подгруппа конечной группы $G$ . Пусть $N = \left\{ x \in G \mid xPx^{-1} = P\right\}$ . Пусть $H$ — подгруппа $G$ , $H \supseteq N$ . Докажите: если $y \in G$ таков, что $yHy^{-1} = P$ , то $y \in H$ .

?

Задача 1.2.16

(a)(b)

Пусть $G$ — конечная группа. Вероятность коммутативности группы $G$ определяется как

P(G) = \frac{\left|\left\{ (a,b) \in G \times G \mid ab = ba\right\} \right|}{\left|G \times G\right|}.

?

(a)

Если $G$ не коммутативна, докажите, что $P(G) \leq 5/8$ .

(b)

Приведите пример группы $G$ , для которой $P(G)$ в точности равно $5/8$ .

Теория групп