Метрические пространства

Пусть $S$ — подмножество $\mathbb {R}$. Пусть $C$ — множество точек $x$ из $\mathbb {R}$, обладающих тем свойством, что $S \cap (x-\delta , x+\delta )$ несчётно при любом $\delta > 0$. Докажите, что $S \setminus C$ конечно или счётно.

Пусть $A \subseteq \mathbb {R}$ несчётно.

Пусть $\left\{ x(i,j) \mid i, j \in \mathbb {N}\right\}$ — дважды индексированное множество в полном метрическом пространстве $(X, \rho )$ такое, что

Докажите, что повторные пределы $\lim_{i \to \infty } \lim_{j \to \infty } x(i,j)$, $\lim_{j \to \infty } \lim_{i \to \infty } x(i,j)$ существуют и равны.

Пусть $T_0$ — внутренность треугольника в $\mathbb {R}^{2}$ с вершинами $A, B, C$. Пусть $T_1$ — внутренность треугольника, вершинами которого служат середины сторон $T_0$, $T_2$ — внутренность треугольника, вершинами которого служат середины сторон $T_1$, и так далее. Опишите множество $\cap_{n=0}^{\infty } T_n$.

Пусть $K$ — компактное подмножество $\mathbb {R}^{n}$ и $\left\{ B_j\right\}$ — последовательность открытых шаров, покрывающая $K$. Докажите, что существует положительное число $\varepsilon$ такое, что каждый $\varepsilon$-шар с центром в точке $K$ содержится в одном из шаров $B_j$.

Докажите или опровергните: множество $\mathbb {Q}$ рациональных чисел является пересечением счётного семейства открытых подмножеств $\mathbb {R}$.

Пусть $X \subset \mathbb {R}$ — непустое связное множество вещественных чисел. Если каждый элемент $X$ рационален, докажите, что $X$ содержит только один элемент.

Приведите пример подмножества $\mathbb {R}$, имеющего несчётно много компонент связности. Может ли такое подмножество быть открытым? Замкнутым?

Пусть $f_n : \mathbb {R}^{k} \to \mathbb {R}^{m}$ непрерывны ($n = 1, 2, \ldots$). Пусть $K$ — компактное подмножество $\mathbb {R}^{k}$. Предположим, что $f_n \to f$ равномерно на $K$. Докажите, что

компактно.

Покажите, что отрезок $[0,1]$ нельзя представить в виде счётного бесконечного дизъюнктного объединения замкнутых подынтервалов $[0,1]$.

Пусть $X$ и $Y$ — непустые подмножества метрического пространства $M$. Определим

Пусть $S \subset \mathbb {R}^{n}$ — несчётное подмножество. Докажите, что существует последовательность различных точек множества $S$, сходящаяся к точке множества $S$.

Пусть $X \subset \mathbb {R}^{n}$ — замкнутое множество, а $r$ — фиксированное положительное вещественное число. Пусть $Y = \left\{ y \in \mathbb {R}^{n} \mid \left|x-y\right| = r \text{ для некоторого } x \in X\right\}$. Покажите, что $Y$ замкнуто.

Покажите, что всякое бесконечное замкнутое подмножество $\mathbb {R}^{n}$ является замыканием некоторого счётного множества.

Пусть $\left\{ U_1, U_2, \ldots \right\}$ — покрытие $\mathbb {R}^{n}$ открытыми множествами. Докажите, что существует покрытие $\left\{ V_1, V_2, \ldots \right\}$ такое, что

Стандартная теорема утверждает, что непрерывная вещественнозначная функция на компактном множестве ограничена. Докажите обратное: если $K$ — подмножество $\mathbb {R}^{n}$ и всякая непрерывная вещественнозначная функция на $K$ ограничена, то $K$ компактно.

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{n}$ компактно, $x \in A$; пусть $(x_i)$ — последовательность в $A$ такая, что всякая сходящаяся подпоследовательность $(x_i)$ сходится к $x$.

Пусть $X \subset \mathbb {R}^{n}$ компактно и $f : X \to \mathbb {R}$ непрерывна. Дано $\varepsilon > 0$, покажите, что существует $M$ такое, что для всех $x, y \in X$

Пусть $\left\{ S_{\alpha }\right\}$ — семейство связных подмножеств $\mathbb {R}^{2}$, каждое из которых содержит начало координат. Докажите, что $\cup_{\alpha } S_{\alpha }$ связно.

Рассмотрим следующие свойства функции $f : \mathbb {R}^{n} \to \mathbb {R}$:

1. $f$ непрерывна.

2. График функции $f$ связен в $\mathbb {R}^{n} \times \mathbb {R}$. Докажите или опровергните импликации $1 \Rightarrow 2$, $2 \Rightarrow 1$.

Пусть $U$ — непустое собственное открытое подмножество $\mathbb {R}^{n}$. Постройте функцию $f : \mathbb {R}^{n} \to \mathbb {R}$, разрывную в каждой точке $U$ и непрерывную в каждой точке $\mathbb {R}^{n} \setminus U$.

Докажите или приведите контрпример: всякое связное, локально линейно связное множество в $\mathbb {R}^{n}$ является линейно связным.

Множество вещественных симметричных матриц $3 \times 3$ является вещественным конечномерным векторным пространством, изоморфным $\mathbb {R}^{6}$. Покажите, что подмножество таких матриц сигнатуры $(2,1)$ является открытым связным подпространством в обычной топологии на $\mathbb {R}^{6}$.

Пусть $M_{n \times n}$ — векторное пространство вещественных матриц $n \times n$, отождествлённое с $\mathbb {R}^{n^2}$. Пусть $X \subset M_{n \times n}$ — компактное множество. Пусть $S \subset \mathbb {C}$ — множество всех чисел, являющихся собственными значениями хотя бы одного элемента $X$. Докажите, что $S$ компактно.

Пусть $SO(3)$ обозначает группу ортогональных преобразований $\mathbb {R}^{3}$ с определителем $1$. Пусть $Q \subset SO(3)$ — подмножество симметричных преобразований $\neq I$. Пусть $P^2$ обозначает пространство прямых, проходящих через начало координат в $\mathbb {R}^{3}$.

Пусть $m$ и $n$ — положительные целые числа, $m < n$. Пусть $M_{m \times n}$ — пространство линейных отображений $\mathbb {R}^{m}$ в $\mathbb {R}^{n}$ (рассматриваемых как матрицы $n \times m$), и пусть $L$ — множество отображений в $M_{m \times n}$ ранга $m$.

Пусть $M_{n \times n}$ — пространство вещественных матриц $n \times n$. Рассмотрим его как метрическое пространство с функцией расстояния

Докажите, что множество нильпотентных матриц в $M_{n \times n}$ является замкнутым множеством.

Пусть $S$ — несчётное подмножество $\mathbb {R}$. Докажите, что существует вещественное число $t$ такое, что оба множества $S \cap (-\infty , t)$ и $S \cap (t, \infty )$ несчётны.

Пусть $(X, \rho )$ и $(Y, \sigma )$ — метрические пространства. Предположим, что:

1. $f, f_1, f_2, \ldots$ — биективные функции из $X$ на $Y$ с обратными $g, g_1, g_2, \ldots$

2. $g$ равномерно непрерывна

3. $f_n \to f$ равномерно при $n \to \infty$. Докажите, что $g_n \to g$ равномерно при $n \to \infty$.

Пусть $E_1, E_2, \ldots$ — непустые замкнутые подмножества полного метрического пространства $(X,d)$ с $E_{n+1} \subset E_n$ для всех натуральных $n$, и такие, что $\lim_{n \to \infty } \operatorname {diam}(E_n) = 0$, где $\operatorname {diam}(E)$ определяется как

Докажите, что $\bigcap_{n=1}^{\infty } E_n \neq \emptyset$.

Пусть $A$ — подмножество компактного метрического пространства $(X,d)$. Предположим, что для всякой непрерывной функции $f : X \to \mathbb {R}$ ограничение $f$ на $A$ достигает максимума на $A$. Докажите, что $A$ компактно.

Пусть $X$ — метрическое пространство и $(x_n)$ — сходящаяся последовательность в $X$ с пределом $x_0$. Докажите, что множество $C = \left\{ x_0, x_1, x_2, \ldots \right\}$ компактно.

Докажите, что всякое компактное метрическое пространство имеет счётное плотное подмножество.

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство и $f : X \to X$ — изометрия. Покажите, что $f(X) = X$.

Пусть $M$ — метрическое пространство с метрикой $d$. Пусть $C$ — непустое замкнутое подмножество $M$. Определим $f : M \to \mathbb {R}$ по формуле

Покажите, что $f$ непрерывна и что $f(x) = 0$ тогда и только тогда, когда $x \in C$.

Пусть $C^{1/3}$ — множество вещественнозначных функций $f$ на замкнутом интервале $[0,1]$, таких что

Пусть $\left\{ f_n\right\}_{n=1}^{\infty }$ — равномерно ограниченная равностепенно непрерывная последовательность вещественнозначных функций на компактном метрическом пространстве $(X,d)$. Определим функции $g_n : X \to \mathbb {R}$ при $n \in \mathbb {N}$ формулой

Докажите, что последовательность $\left\{ g_n\right\}_{n=1}^{\infty }$ сходится равномерно.

Пусть $\mathcal{F}$ — равномерно ограниченное, равностепенно непрерывное семейство вещественнозначных функций на метрическом пространстве $(X,d)$. Докажите, что функция

непрерывна.

Пусть $X$ и $Y$ — метрические пространства, а $f$ — непрерывное отображение $X$ в $Y$. Пусть $K_1, K_2, \ldots$ — непустые компактные подмножества $X$ такие, что $K_{n+1} \subset K_n$ для всех $n$, и пусть $K = \bigcap K_n$. Докажите, что $f(K) = \bigcap f(K_n)$.

Пусть $(X_1, d_1)$ и $(X_2, d_2)$ — метрические пространства, а $f : X_1 \to X_2$ — непрерывное сюръективное отображение такое, что $d_1(p,q) \leq d_2(f(p), f(q))$ для любой пары точек $p, q$ из $X_1$.

Точная карта Калифорнии разложена на столе в Эванс-Холле, в Беркли. Докажите, что на карте есть ровно одна точка, лежащая непосредственно над точкой, которую она изображает.

Определим последовательность положительных чисел следующим образом. Пусть $x_0 > 0$ — произвольное положительное число, и пусть $x_{n+1} = (1+x_n)^{-1}$. Докажите, что эта последовательность сходится, и найдите её предел.

Пусть $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ монотонно возрастает (возможно, разрывна). Предположим, что $0 < f(0)$ и $f(100) < 100$. Докажите, что $f(x) = x$ для некоторого $x$.

Пусть $K$ — непустое компактное множество в метрическом пространстве с функцией расстояния $d$. Предположим, что $\varphi : K \to K$ удовлетворяет

для всех $x \neq y$ из $K$. Покажите, что существует ровно одна точка $x \in K$ такая, что $x = \varphi (x)$.

Пусть $K$ — непрерывная функция на единичном квадрате $0 \leq x, y \leq 1$, удовлетворяющая $\left|K(x,y)\right| < 1$ для всех $x$ и $y$. Покажите, что существует непрерывная функция $f(x)$ на $[0,1]$, для которой

Может ли существовать более одной такой функции $f$?

Пусть $g$ — непрерывная вещественнозначная функция на $[0,1]$. Докажите, что существует непрерывная вещественнозначная функция $f$ на $[0,1]$, удовлетворяющая уравнению

Покажите, что существует единственная непрерывная вещественнозначная функция $f : [0,1] \to \mathbb {R}$ такая, что

Пусть $(M,d)$ — непустое полное метрическое пространство. Пусть $S$ отображает $M$ в $M$, и обозначим через $S^2$ композицию $S \circ S$; то есть $S^2(x) = S(S(x))$. Предположим, что $S^2$ является строгим сжатием; то есть найдётся константа $\lambda < 1$ такая, что для всех точек $x, y \in M$, $d(S^2(x), S^2(y)) \leq \lambda d(x,y)$. Покажите, что $S$ имеет единственную неподвижную точку в $M$.