Общая теория

Пусть $(X, \rho )$ и $(Y, \sigma )$ — метрические пространства. Предположим, что:

1. $f, f_1, f_2, \ldots$ — биективные функции из $X$ на $Y$ с обратными $g, g_1, g_2, \ldots$

2. $g$ равномерно непрерывна

3. $f_n \to f$ равномерно при $n \to \infty$. Докажите, что $g_n \to g$ равномерно при $n \to \infty$.

Пусть $E_1, E_2, \ldots$ — непустые замкнутые подмножества полного метрического пространства $(X,d)$ с $E_{n+1} \subset E_n$ для всех натуральных $n$, и такие, что $\lim_{n \to \infty } \operatorname {diam}(E_n) = 0$, где $\operatorname {diam}(E)$ определяется как

Докажите, что $\bigcap_{n=1}^{\infty } E_n \neq \emptyset$.

Пусть $A$ — подмножество компактного метрического пространства $(X,d)$. Предположим, что для всякой непрерывной функции $f : X \to \mathbb {R}$ ограничение $f$ на $A$ достигает максимума на $A$. Докажите, что $A$ компактно.

Пусть $X$ — метрическое пространство и $(x_n)$ — сходящаяся последовательность в $X$ с пределом $x_0$. Докажите, что множество $C = \left\{ x_0, x_1, x_2, \ldots \right\}$ компактно.

Докажите, что всякое компактное метрическое пространство имеет счётное плотное подмножество.

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство и $f : X \to X$ — изометрия. Покажите, что $f(X) = X$.

Пусть $M$ — метрическое пространство с метрикой $d$. Пусть $C$ — непустое замкнутое подмножество $M$. Определим $f : M \to \mathbb {R}$ по формуле

Покажите, что $f$ непрерывна и что $f(x) = 0$ тогда и только тогда, когда $x \in C$.

Пусть $C^{1/3}$ — множество вещественнозначных функций $f$ на замкнутом интервале $[0,1]$, таких что

Пусть $\left\{ f_n\right\}_{n=1}^{\infty }$ — равномерно ограниченная равностепенно непрерывная последовательность вещественнозначных функций на компактном метрическом пространстве $(X,d)$. Определим функции $g_n : X \to \mathbb {R}$ при $n \in \mathbb {N}$ формулой

Докажите, что последовательность $\left\{ g_n\right\}_{n=1}^{\infty }$ сходится равномерно.

Пусть $\mathcal{F}$ — равномерно ограниченное, равностепенно непрерывное семейство вещественнозначных функций на метрическом пространстве $(X,d)$. Докажите, что функция

непрерывна.

Пусть $X$ и $Y$ — метрические пространства, а $f$ — непрерывное отображение $X$ в $Y$. Пусть $K_1, K_2, \ldots$ — непустые компактные подмножества $X$ такие, что $K_{n+1} \subset K_n$ для всех $n$, и пусть $K = \bigcap K_n$. Докажите, что $f(K) = \bigcap f(K_n)$.

Пусть $(X_1, d_1)$ и $(X_2, d_2)$ — метрические пространства, а $f : X_1 \to X_2$ — непрерывное сюръективное отображение такое, что $d_1(p,q) \leq d_2(f(p), f(q))$ для любой пары точек $p, q$ из $X_1$.