Теорема о неподвижной точке

Точная карта Калифорнии разложена на столе в Эванс-Холле, в Беркли. Докажите, что на карте есть ровно одна точка, лежащая непосредственно над точкой, которую она изображает.

Определим последовательность положительных чисел следующим образом. Пусть $x_0 > 0$ — произвольное положительное число, и пусть $x_{n+1} = (1+x_n)^{-1}$. Докажите, что эта последовательность сходится, и найдите её предел.

Пусть $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ монотонно возрастает (возможно, разрывна). Предположим, что $0 < f(0)$ и $f(100) < 100$. Докажите, что $f(x) = x$ для некоторого $x$.

Пусть $K$ — непустое компактное множество в метрическом пространстве с функцией расстояния $d$. Предположим, что $\varphi : K \to K$ удовлетворяет

для всех $x \neq y$ из $K$. Покажите, что существует ровно одна точка $x \in K$ такая, что $x = \varphi (x)$.

Пусть $K$ — непрерывная функция на единичном квадрате $0 \leq x, y \leq 1$, удовлетворяющая $\left|K(x,y)\right| < 1$ для всех $x$ и $y$. Покажите, что существует непрерывная функция $f(x)$ на $[0,1]$, для которой

Может ли существовать более одной такой функции $f$?

Пусть $g$ — непрерывная вещественнозначная функция на $[0,1]$. Докажите, что существует непрерывная вещественнозначная функция $f$ на $[0,1]$, удовлетворяющая уравнению

Покажите, что существует единственная непрерывная вещественнозначная функция $f : [0,1] \to \mathbb {R}$ такая, что

Пусть $(M,d)$ — непустое полное метрическое пространство. Пусть $S$ отображает $M$ в $M$, и обозначим через $S^2$ композицию $S \circ S$; то есть $S^2(x) = S(S(x))$. Предположим, что $S^2$ является строгим сжатием; то есть найдётся константа $\lambda < 1$ такая, что для всех точек $x, y \in M$, $d(S^2(x), S^2(y)) \leq \lambda d(x,y)$. Покажите, что $S$ имеет единственную неподвижную точку в $M$.