Топология пространства $\reals[n]$

Пусть $S$ — подмножество $\mathbb {R}$. Пусть $C$ — множество точек $x$ из $\mathbb {R}$, обладающих тем свойством, что $S \cap (x-\delta , x+\delta )$ несчётно при любом $\delta > 0$. Докажите, что $S \setminus C$ конечно или счётно.

Пусть $A \subseteq \mathbb {R}$ несчётно.

Пусть $\left\{ x(i,j) \mid i, j \in \mathbb {N}\right\}$ — дважды индексированное множество в полном метрическом пространстве $(X, \rho )$ такое, что

Докажите, что повторные пределы $\lim_{i \to \infty } \lim_{j \to \infty } x(i,j)$, $\lim_{j \to \infty } \lim_{i \to \infty } x(i,j)$ существуют и равны.

Пусть $T_0$ — внутренность треугольника в $\mathbb {R}^{2}$ с вершинами $A, B, C$. Пусть $T_1$ — внутренность треугольника, вершинами которого служат середины сторон $T_0$, $T_2$ — внутренность треугольника, вершинами которого служат середины сторон $T_1$, и так далее. Опишите множество $\cap_{n=0}^{\infty } T_n$.

Пусть $K$ — компактное подмножество $\mathbb {R}^{n}$ и $\left\{ B_j\right\}$ — последовательность открытых шаров, покрывающая $K$. Докажите, что существует положительное число $\varepsilon$ такое, что каждый $\varepsilon$-шар с центром в точке $K$ содержится в одном из шаров $B_j$.

Докажите или опровергните: множество $\mathbb {Q}$ рациональных чисел является пересечением счётного семейства открытых подмножеств $\mathbb {R}$.

Пусть $X \subset \mathbb {R}$ — непустое связное множество вещественных чисел. Если каждый элемент $X$ рационален, докажите, что $X$ содержит только один элемент.

Приведите пример подмножества $\mathbb {R}$, имеющего несчётно много компонент связности. Может ли такое подмножество быть открытым? Замкнутым?

Пусть $f_n : \mathbb {R}^{k} \to \mathbb {R}^{m}$ непрерывны ($n = 1, 2, \ldots$). Пусть $K$ — компактное подмножество $\mathbb {R}^{k}$. Предположим, что $f_n \to f$ равномерно на $K$. Докажите, что

компактно.

Покажите, что отрезок $[0,1]$ нельзя представить в виде счётного бесконечного дизъюнктного объединения замкнутых подынтервалов $[0,1]$.

Пусть $X$ и $Y$ — непустые подмножества метрического пространства $M$. Определим

Пусть $S \subset \mathbb {R}^{n}$ — несчётное подмножество. Докажите, что существует последовательность различных точек множества $S$, сходящаяся к точке множества $S$.

Пусть $X \subset \mathbb {R}^{n}$ — замкнутое множество, а $r$ — фиксированное положительное вещественное число. Пусть $Y = \left\{ y \in \mathbb {R}^{n} \mid \left|x-y\right| = r \text{ для некоторого } x \in X\right\}$. Покажите, что $Y$ замкнуто.

Покажите, что всякое бесконечное замкнутое подмножество $\mathbb {R}^{n}$ является замыканием некоторого счётного множества.

Пусть $\left\{ U_1, U_2, \ldots \right\}$ — покрытие $\mathbb {R}^{n}$ открытыми множествами. Докажите, что существует покрытие $\left\{ V_1, V_2, \ldots \right\}$ такое, что

Стандартная теорема утверждает, что непрерывная вещественнозначная функция на компактном множестве ограничена. Докажите обратное: если $K$ — подмножество $\mathbb {R}^{n}$ и всякая непрерывная вещественнозначная функция на $K$ ограничена, то $K$ компактно.

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{n}$ компактно, $x \in A$; пусть $(x_i)$ — последовательность в $A$ такая, что всякая сходящаяся подпоследовательность $(x_i)$ сходится к $x$.

Пусть $X \subset \mathbb {R}^{n}$ компактно и $f : X \to \mathbb {R}$ непрерывна. Дано $\varepsilon > 0$, покажите, что существует $M$ такое, что для всех $x, y \in X$

Пусть $\left\{ S_{\alpha }\right\}$ — семейство связных подмножеств $\mathbb {R}^{2}$, каждое из которых содержит начало координат. Докажите, что $\cup_{\alpha } S_{\alpha }$ связно.

Рассмотрим следующие свойства функции $f : \mathbb {R}^{n} \to \mathbb {R}$:

1. $f$ непрерывна.

2. График функции $f$ связен в $\mathbb {R}^{n} \times \mathbb {R}$. Докажите или опровергните импликации $1 \Rightarrow 2$, $2 \Rightarrow 1$.

Пусть $U$ — непустое собственное открытое подмножество $\mathbb {R}^{n}$. Постройте функцию $f : \mathbb {R}^{n} \to \mathbb {R}$, разрывную в каждой точке $U$ и непрерывную в каждой точке $\mathbb {R}^{n} \setminus U$.

Докажите или приведите контрпример: всякое связное, локально линейно связное множество в $\mathbb {R}^{n}$ является линейно связным.

Множество вещественных симметричных матриц $3 \times 3$ является вещественным конечномерным векторным пространством, изоморфным $\mathbb {R}^{6}$. Покажите, что подмножество таких матриц сигнатуры $(2,1)$ является открытым связным подпространством в обычной топологии на $\mathbb {R}^{6}$.

Пусть $M_{n \times n}$ — векторное пространство вещественных матриц $n \times n$, отождествлённое с $\mathbb {R}^{n^2}$. Пусть $X \subset M_{n \times n}$ — компактное множество. Пусть $S \subset \mathbb {C}$ — множество всех чисел, являющихся собственными значениями хотя бы одного элемента $X$. Докажите, что $S$ компактно.

Пусть $SO(3)$ обозначает группу ортогональных преобразований $\mathbb {R}^{3}$ с определителем $1$. Пусть $Q \subset SO(3)$ — подмножество симметричных преобразований $\neq I$. Пусть $P^2$ обозначает пространство прямых, проходящих через начало координат в $\mathbb {R}^{3}$.

Пусть $m$ и $n$ — положительные целые числа, $m < n$. Пусть $M_{m \times n}$ — пространство линейных отображений $\mathbb {R}^{m}$ в $\mathbb {R}^{n}$ (рассматриваемых как матрицы $n \times m$), и пусть $L$ — множество отображений в $M_{m \times n}$ ранга $m$.

Пусть $M_{n \times n}$ — пространство вещественных матриц $n \times n$. Рассмотрим его как метрическое пространство с функцией расстояния

Докажите, что множество нильпотентных матриц в $M_{n \times n}$ является замкнутым множеством.

Пусть $S$ — несчётное подмножество $\mathbb {R}$. Докажите, что существует вещественное число $t$ такое, что оба множества $S \cap (-\infty , t)$ и $S \cap (t, \infty )$ несчётны.