Дифференциальные уравнения

Найдите кривую $C$ в $\mathbb {R}^{2}$, проходящую через точку $(3,2)$, обладающую следующим свойством: пусть $L(x_0, y_0)$ — отрезок касательной к $C$ в точке $(x_0, y_0)$, лежащий в первой четверти. Тогда каждая точка $(x_0, y_0)$ кривой $C$ является серединой отрезка $L(x_0, y_0)$.

{#fig-1 width="50%"}

Решите дифференциальное уравнение $g' = 2g$, $g(0) = a$, где $a$ — вещественная константа.

Пусть $n$ — целое число, большее $1$. Существует ли дифференцируемая функция на $[0, \infty )$, чья производная равна её $n$-й степени и значение которой в начале координат положительно?

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Решите дифференциальное уравнение

Докажите, что каждое решение $x(t)$ ($t \geq 0$) дифференциального уравнения

с $x(0) > 0$ удовлетворяет $\lim_{t \to \infty } x(t) = 1$.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Докажите, что задача Коши

имеет решение $x(t)$, определённое для всех $t \in \mathbb {R}$.

Пусть $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — непрерывная нигде не обращающаяся в нуль функция, и рассмотрим дифференциальное уравнение

Найдите все решения дифференциального уравнения

Найдите все решения $y : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ уравнения

Найдите все вещественнозначные решения класса $C^1$ $y(x)$ дифференциального уравнения

Рассмотрим уравнение

Покажите, что существует такое $\varepsilon > 0$, что если $\left|y_0\right| < \varepsilon$, то решение $y = f(x)$ с $f(0) = y_0$ удовлетворяет

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Докажите

Пусть $y(t)$ — вещественнозначное решение, определённое при $0 < t < \infty$, дифференциального уравнения

Покажите, что $y(t) \to +\infty$ при $t \to +\infty$.

Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение $y'(t) = -y(t-t_0)$. Здесь независимая переменная $t$ вещественна, функция $y$ может принимать комплексные значения, а $t_0$ — положительная константа. Докажите, что если $0 < t_0 < \pi /2$, то каждое решение вида $y(t) = e^{\lambda t}$ с комплексным $\lambda$ стремится к $0$ при $t \to +\infty$.

Докажите следующую теорему или найдите контрпример: если $p$ и $q$ — непрерывные вещественнозначные функции на $\mathbb {R}$, такие что $\left|q(x)\right| \leq \left|p(x)\right|$ при всех $x$, и если каждое решение $f$ дифференциального уравнения

удовлетворяет $\lim_{x \to +\infty } f(x) = 0$, то каждое решение $f$ дифференциального уравнения

удовлетворяет $\lim_{x \to +\infty } f(x) = 0$.

Обсудите разрешимость дифференциального уравнения

с начальным условием $y(0) = 0$. Существует ли решение в некотором интервале около $0$? Если да, единственно ли оно?

Пусть $f$ и $g$ — положительные непрерывные функции на $\mathbb {R}$, причём $g \leq f$ всюду. Предположим, что задача Коши

имеет решение, определённое на всём $\mathbb {R}$. Докажите, что задача Коши

также имеет решение, определённое на всём $\mathbb {R}$.

Пусть $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — ограниченная непрерывно дифференцируемая функция. Покажите, что каждое решение уравнения $y'(x) = f(y(x))$ монотонно.

Предположим, что $f''(x) = (x^2-1)f(x)$ при всех $x \in \mathbb {R}$ и что $f(0) = 1$, $f'(0) = 0$. Покажите, что $f(x) \to 0$ при $x \to \infty$.

Найдите решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее условиям

Найдите все решения дифференциального уравнения

при условии $x(0) = 1$ и $x'(0) = 0$.

Пусть $x : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — решение дифференциального уравнения

Докажите, что функция $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$,

достигает максимального значения.

Пусть $x(t)$ — решение дифференциального уравнения

с начальными условиями $x(0) = 0$ и $x'(0) = 0$. Покажите, что для подходящих констант $\alpha$ и $\delta$

Пусть $y = y(x)$ — решение дифференциального уравнения $y'' = -\left|y\right|$ при $-\infty < x < \infty$, $y(0) = 1$ и $y'(0) = 0$.

Определите все вещественные числа $L > 1$, при которых краевая задача

имеет ненулевое решение.

При каких вещественных значениях $p$ дифференциальное уравнение

допускает решения $y = f(x)$ с бесконечным числом критических точек?

Пусть $p$, $q$ и $r$ — непрерывные вещественнозначные функции на $\mathbb {R}$, причём $p > 0$. Докажите, что дифференциальное уравнение

равносильно (то есть имеет в точности те же решения), что и дифференциальное уравнение вида

где $a$ непрерывно дифференцируема, а $b$ непрерывна.

Пусть функция $x(t)$ ($-\infty < t < \infty$) — решение дифференциального уравнения

такое что $x(0) = x(1) = 0$. (Здесь $b$ и $c$ — вещественные константы.) Докажите, что $x(n) = 0$ для каждого целого $n$.

Пусть $k$ — положительное целое число. При каких значениях вещественного числа $c$ дифференциальное уравнение

имеет решение, удовлетворяющее $x(0) = x(2\pi k) = 0$?

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка

Здесь независимая переменная $t$ пробегает $\mathbb {R}$, неизвестная функция $x$ предполагается вещественнозначной, а $p$ и $q$ — непрерывные функции на $\mathbb {R}$. Предположим, что решения уравнения $(*)$ определены при всех $t$ (что фактически гарантируется теорией) и что множество решений инвариантно относительно сдвига: если $f$ — решение и $s$ — вещественное число, то функция $g(t) = f(t+s)$ также является решением. Докажите, что $p$ и $q$ постоянны.

Пусть дано $h > 0$. Рассмотрим линейное разностное уравнение

(Заметьте аналогию с дифференциальным уравнением $y'' = -y$.)

Пусть $E$ — множество функций $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, являющихся решениями дифференциального уравнения $f''' + f'' - 2f = 0$.

Найдите функцию $y(x)$ такую что $y^{(4)} + y = 0$ при $x \geq 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$ и $\lim_{x \to \infty } y(x) = \lim_{x \to \infty } y'(x) = 0$.

Пусть $V$ — конечномерное линейное подпространство $C^{\infty }(\mathbb {R})$ (пространства комплекснозначных бесконечно дифференцируемых функций). Предположим, что $V$ замкнуто относительно оператора дифференцирования $D$ (то есть $f \in V \Rightarrow Df \in V$). Докажите, что существует дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами

такой что $V$ состоит из всех решений дифференциального уравнения $Lf = 0$.

Пусть $y : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — трижды дифференцируемая функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению $y''' - y = 0$. Предположим, что $\lim_{x \to \infty } y(x) = 0$. Найдите вещественные числа $a, b, c$ и $d$, не все равные нулю, такие что $ay(0) + y'(0) + cy''(0) = d$.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

Докажите, что существует решение, определённое для всех $t \in [0,1]$, такое что

и также

Найдите все пары функций класса $C^{\infty }$ $x(t)$ и $y(t)$ на $\mathbb {R}$, удовлетворяющих

Рассмотрим дифференциальные уравнения

Пусть $x(t)$ и $y(t)$ — решение, определённое при всех $t \geq 0$, с $x(0) > 0$ и $y(0) > 0$. Докажите, что $x(t)$ и $y(t)$ ограничены.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Покажите, что система дифференциальных уравнений

имеет решение, которое стремится к $\infty$ при $t \to -\infty$ и стремится к началу координат при $t \to +\infty$.

Пусть $x(t)$ — нетривиальное решение системы

где

Докажите, что $\left\| x(t)\right\|$ — возрастающая функция $t$. (Здесь $\left\| \cdot \right\|$ обозначает евклидову норму.)

Рассмотрим интегральную кривую $(x(t), y(t))$ уравнений

с начальными условиями $x(0) = 0$ и $y(0) = 0$. Докажите, что решение должно пересечь прямую $x=1$ на плоскости $xy$ к моменту $t=2$.

Рассмотрим дифференциальное уравнение $x'' + x' + x^3 = 0$ и функцию $f(x,x') = (x+x')^2 + (x')^2 + x^4$.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений

где $F = (F_1, \ldots , F_n) : \mathbb {R}^{n} \to \mathbb {R}^{n}$ — векторное поле класса $C^1$.

Пусть $V : \mathbb {R}^{n} \to \mathbb {R}$ — функция класса $C^1$, и рассмотрим систему дифференциальных уравнений второго порядка

где

Пусть $x(t) = (x_1(t), \ldots , x_n(t))$ — решение этой системы на конечном интервале $a < t < b$.

Для вещественного числа $\lambda$ найдите все решения интегральных уравнений

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство (над $\mathbb {C}$) функций класса $C^{\infty }$ со значениями в $\mathbb {C}$ на $\mathbb {R}$ (линейные операции определяются поточечно). Докажите, что если $V$ замкнуто относительно дифференцирования (т.е. $f'(x)$ принадлежит $V$, если $f(x)$ принадлежит $V$), то $V$ замкнуто относительно сдвигов (т.е. $f(x+a)$ принадлежит $V$, если $f(x)$ принадлежит $V$, для всех вещественных чисел $a$).

Опишите все трёхмерные векторные пространства $V$ функций класса $C^{\infty }$ со значениями в $\mathbb {C}$ на $\mathbb {R}$, инвариантные относительно оператора дифференцирования.

Пусть вещественнозначные функции $f_1, \ldots , f_{n+1}$ на $\mathbb {R}$ удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

Докажите, что для каждого $k$

Рассмотрим векторное дифференциальное уравнение

где $A$ — гладкая функция со значениями в $n \times n$ матрицах на $\mathbb {R}$. Предположим, что $A$ обладает свойством $\left\langle A(t)y, y \right\rangle \leq c\left\| y\right\|^2$ для всех $y$ из $\mathbb {R}^{n}$ и всех $t$, где $c$ — фиксированное вещественное число. Докажите, что любое решение $x(t)$ этого уравнения удовлетворяет $\left\| x(t)\right\| \leq e^{ct}\left\| x(0)\right\|$ при всех $t > 0$.

Пусть $W$ — вещественная антисимметричная матрица $3 \times 3$, т.е. $W^t = -W$. Пусть функция

является вещественным решением векторного дифференциального уравнения $\frac{dX}{dt} = WX$.

Для каждого $t \in \mathbb {R}$ пусть $P(t)$ — симметричная вещественная $n \times n$ матрица, элементы которой являются непрерывными функциями от $t$. Предположим, что при всех $t$ собственные значения $P(t)$ не превосходят $-1$. Пусть $x(t) = (x_1(t), \ldots , x_n(t))$ — решение векторного дифференциального уравнения

Докажите, что

Пусть

Найдите общее решение матричного дифференциального уравнения $\frac{dX}{dt} = AXB$ относительно неизвестной матричной функции $X(t)$ размера $4 \times 4$.