Уравнения первого порядка

Найдите кривую $C$ в $\mathbb {R}^{2}$, проходящую через точку $(3,2)$, обладающую следующим свойством: пусть $L(x_0, y_0)$ — отрезок касательной к $C$ в точке $(x_0, y_0)$, лежащий в первой четверти. Тогда каждая точка $(x_0, y_0)$ кривой $C$ является серединой отрезка $L(x_0, y_0)$.

{#fig-1 width="50%"}

Решите дифференциальное уравнение $g' = 2g$, $g(0) = a$, где $a$ — вещественная константа.

Пусть $n$ — целое число, большее $1$. Существует ли дифференцируемая функция на $[0, \infty )$, чья производная равна её $n$-й степени и значение которой в начале координат положительно?

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Решите дифференциальное уравнение

Докажите, что каждое решение $x(t)$ ($t \geq 0$) дифференциального уравнения

с $x(0) > 0$ удовлетворяет $\lim_{t \to \infty } x(t) = 1$.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Докажите, что задача Коши

имеет решение $x(t)$, определённое для всех $t \in \mathbb {R}$.

Пусть $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — непрерывная нигде не обращающаяся в нуль функция, и рассмотрим дифференциальное уравнение

Найдите все решения дифференциального уравнения

Найдите все решения $y : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ уравнения

Найдите все вещественнозначные решения класса $C^1$ $y(x)$ дифференциального уравнения

Рассмотрим уравнение

Покажите, что существует такое $\varepsilon > 0$, что если $\left|y_0\right| < \varepsilon$, то решение $y = f(x)$ с $f(0) = y_0$ удовлетворяет

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Докажите

Пусть $y(t)$ — вещественнозначное решение, определённое при $0 < t < \infty$, дифференциального уравнения

Покажите, что $y(t) \to +\infty$ при $t \to +\infty$.

Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение $y'(t) = -y(t-t_0)$. Здесь независимая переменная $t$ вещественна, функция $y$ может принимать комплексные значения, а $t_0$ — положительная константа. Докажите, что если $0 < t_0 < \pi /2$, то каждое решение вида $y(t) = e^{\lambda t}$ с комплексным $\lambda$ стремится к $0$ при $t \to +\infty$.

Докажите следующую теорему или найдите контрпример: если $p$ и $q$ — непрерывные вещественнозначные функции на $\mathbb {R}$, такие что $\left|q(x)\right| \leq \left|p(x)\right|$ при всех $x$, и если каждое решение $f$ дифференциального уравнения

удовлетворяет $\lim_{x \to +\infty } f(x) = 0$, то каждое решение $f$ дифференциального уравнения

удовлетворяет $\lim_{x \to +\infty } f(x) = 0$.

Обсудите разрешимость дифференциального уравнения

с начальным условием $y(0) = 0$. Существует ли решение в некотором интервале около $0$? Если да, единственно ли оно?

Пусть $f$ и $g$ — положительные непрерывные функции на $\mathbb {R}$, причём $g \leq f$ всюду. Предположим, что задача Коши

имеет решение, определённое на всём $\mathbb {R}$. Докажите, что задача Коши

также имеет решение, определённое на всём $\mathbb {R}$.

Пусть $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — ограниченная непрерывно дифференцируемая функция. Покажите, что каждое решение уравнения $y'(x) = f(y(x))$ монотонно.