Банк задач по математике

Задача 3.4.1

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

\frac{dx}{dt} = y + tz

\frac{dy}{dt} = z + t^2 x

\frac{dz}{dt} = x + e^t y.

Докажите, что существует решение, определённое для всех $t \in [0,1]$ , такое что

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(0) \\ y(0) \\ z(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

и также

\int _0^1 \left(x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2\right) \, dt = 1.

?

Задача 3.4.2

Найдите все пары функций класса $C^{\infty }$ $x(t)$ и $y(t)$ на $\mathbb {R}$ , удовлетворяющих

x'(t) = 2x(t) - y(t), \quad y'(t) = x(t).

?

Задача 3.4.3

Рассмотрим дифференциальные уравнения

\frac{dx}{dt} = -x+y, \quad \frac{dy}{dt} = \log (20+x) - y.

Пусть $x(t)$ и $y(t)$ — решение, определённое при всех $t \geq 0$ , с $x(0) > 0$ и $y(0) > 0$ . Докажите, что $x(t)$ и $y(t)$ ограничены.

?

Задача 3.4.4

(1)(2)

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

\frac{dx}{dt} = y + x(1-x^2-y^2)

\frac{dy}{dt} = -x + y(1-x^2-y^2).

?

(1)

Покажите, что для любых $x_0$ и $y_0$ существует единственное решение $(x(t), y(t))$ , определённое для всех $t \in \mathbb {R}$ , такое что $x(0) = x_0$ , $y(0) = y_0$ .

(2)

Покажите, что если $x_0 \neq 0$ и $y_0 \neq 0$ , решение из пункта 1 приближается к окружности $x^2+y^2=1$ при $t \to \infty$ .

Задача 3.4.5

Покажите, что система дифференциальных уравнений

\frac{d}{dt}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

имеет решение, которое стремится к $\infty$ при $t \to -\infty$ и стремится к началу координат при $t \to +\infty$ .

?

Задача 3.4.6

Пусть $x(t)$ — нетривиальное решение системы

\frac{dx}{dt} = Ax,

где

A = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 1 \\ -4 & 4 & 11 \\ -3 & -9 & 8 \end{pmatrix}.

Докажите, что $\left\| x(t)\right\|$ — возрастающая функция $t$ . (Здесь $\left\| \cdot \right\|$ обозначает евклидову норму.)

?

Задача 3.4.7

Рассмотрим интегральную кривую $(x(t), y(t))$ уравнений

\frac{dx}{dt} = 1 + \frac{1}{2}x^2 \sin y

\frac{dy}{dt} = 3 - x^2

с начальными условиями $x(0) = 0$ и $y(0) = 0$ . Докажите, что решение должно пересечь прямую $x=1$ на плоскости $xy$ к моменту $t=2$ .

?

Задача 3.4.8

(1)(2)

Рассмотрим дифференциальное уравнение $x'' + x' + x^3 = 0$ и функцию $f(x,x') = (x+x')^2 + (x')^2 + x^4$ .

?

(1)

Покажите, что $f$ убывает вдоль траекторий этого дифференциального уравнения.

(2)

Покажите, что если $x(t)$ — произвольное решение, то $(x(t), x'(t))$ стремится к $(0,0)$ при $t \to \infty$ .

Задача 3.4.9

(1)(2)

Рассмотрим дифференциальное уравнение

\frac{dx}{dt} = y, \quad \frac{dy}{dt} = -ay - x^3 - x^5, \quad \text{где } a > 0.

?

(1)

Покажите, что

F(x,y) = \frac{y^2}{2} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{6}

убывает вдоль решений.

(2)

Покажите, что для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что всякий раз, когда $\left\| (x(0),y(0))\right\| < \delta$ , существует единственное решение $(x(t),y(t))$ данных уравнений с начальным условием $(x(0),y(0))$ , определённое при всех $t \geq 0$ и удовлетворяющее $\left\| (x(t),y(t))\right\| < \varepsilon$ .

Задача 3.4.10

(1)(2)

?

(1)

Пусть $u(t)$ — вещественнозначная дифференцируемая функция вещественной переменной $t$ , удовлетворяющая неравенству вида

u'(t) \leq au(t), \quad t \geq 0, \quad u(0) \leq b,

где $a$ и $b$ — положительные постоянные. Исходя из первых принципов, выведите верхнюю оценку для $u(t)$ при $t > 0$ .

(2)

Пусть $x(t) = (x_1(t), x_2(t), \ldots , x_n(t))$ — дифференцируемая функция из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}^{n}$ , удовлетворяющая дифференциальному уравнению вида

x'(t) = f(x(t)),

где $f : \mathbb {R}^{n} \to \mathbb {R}^{n}$ — непрерывная функция. Предполагая, что $f$ удовлетворяет условию

\left\langle f(y), y \right\rangle \leq \left\| y\right\| ^2, \quad y \in \mathbb {R}^{n}

выведите неравенство, показывающее, что норма $\left\| x(t)\right\|$ растёт, самое большее, экспоненциально.

Задача 3.4.11

(1)(2)

Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений

\frac{dx_i}{dt} = F_i(x_1, \ldots , x_n),

где $F = (F_1, \ldots , F_n) : \mathbb {R}^{n} \to \mathbb {R}^{n}$ — векторное поле класса $C^1$ .

?

(1)

Пусть $U$ и $V$ — два решения при $a < t < b$ . Предполагая, что

\left\langle DF(x)z, z \right\rangle \leq 0

для всех $x, z$ из $\mathbb {R}^{n}$ , покажите, что $\left\| U(t)-V(t)\right\|^2$ — убывающая функция от $t$ .

(2)

Пусть $W(t)$ — решение, определённое при $t > 0$ . Предполагая, что

\left\langle DF(x)z, z \right\rangle \leq -\left\| z\right\| ^2,

покажите, что существует $C \in \mathbb {R}^{n}$ такое, что

\lim _{t \to \infty } W(t) = C.

Задача 3.4.12

(1)(2)

Пусть $V : \mathbb {R}^{n} \to \mathbb {R}$ — функция класса $C^1$ , и рассмотрим систему дифференциальных уравнений второго порядка

x_i''(t) = f_i(x(t)), \quad 1 \leq i \leq n,

где

f_i = -\frac{\partial V}{\partial x_i}.

Пусть $x(t) = (x_1(t), \ldots , x_n(t))$ — решение этой системы на конечном интервале $a < t < b$ .

?

(1)

Покажите, что функция

H(t) = \frac{1}{2} \left\langle x'(t), x'(t) \right\rangle + V(x(t))

постоянна при $a < t < b$ .

(2)

Предполагая, что $V(x) \geq M > -\infty$ для всех $x \in \mathbb {R}^{n}$ , покажите, что $x(t)$ , $x'(t)$ и $x''(t)$ ограничены при $a < t < b$ , а затем докажите, что все три предела

\lim _{t \to b} x(t), \quad \lim _{t \to b} x'(t), \quad \lim _{t \to b} x''(t)

существуют.

Задача 3.4.13

Для вещественного числа $\lambda$ найдите все решения интегральных уравнений

\varphi (x) = e^x + \lambda \int _0^x e^{(x-y)}\varphi (y) \, dy, \quad 0 \leq x \leq 1,

\psi (x) = e^x + \lambda \int _0^1 e^{(x-y)}\psi (y) \, dy, \quad 0 \leq x \leq 1.

?

Задача 3.4.14

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство (над $\mathbb {C}$ ) функций класса $C^{\infty }$ со значениями в $\mathbb {C}$ на $\mathbb {R}$ (линейные операции определяются поточечно). Докажите, что если $V$ замкнуто относительно дифференцирования (т.е. $f'(x)$ принадлежит $V$ , если $f(x)$ принадлежит $V$ ), то $V$ замкнуто относительно сдвигов (т.е. $f(x+a)$ принадлежит $V$ , если $f(x)$ принадлежит $V$ , для всех вещественных чисел $a$ ).

?

Задача 3.4.15

Опишите все трёхмерные векторные пространства $V$ функций класса $C^{\infty }$ со значениями в $\mathbb {C}$ на $\mathbb {R}$ , инвариантные относительно оператора дифференцирования.

?

Задача 3.4.16

Пусть вещественнозначные функции $f_1, \ldots , f_{n+1}$ на $\mathbb {R}$ удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

f_{k+1}' + f_k' = (k+1)f_{k+1} - kf_k, \quad k = 1, \ldots , n

f_{n+1}' = -(n+1)f_{n+1}.

Докажите, что для каждого $k$

\lim _{t \to \infty } f_k(t) = 0.

?

Задача 3.4.17

Рассмотрим векторное дифференциальное уравнение

\frac{dx(t)}{dt} = A(t)x(t)

где $A$ — гладкая функция со значениями в $n \times n$ матрицах на $\mathbb {R}$ . Предположим, что $A$ обладает свойством $\left\langle A(t)y, y \right\rangle \leq c\left\| y\right\|^2$ для всех $y$ из $\mathbb {R}^{n}$ и всех $t$ , где $c$ — фиксированное вещественное число. Докажите, что любое решение $x(t)$ этого уравнения удовлетворяет $\left\| x(t)\right\| \leq e^{ct}\left\| x(0)\right\|$ при всех $t > 0$ .

?

Задача 3.4.18

(1)(2)(3)

Пусть $W$ — вещественная антисимметричная матрица $3 \times 3$ , т.е. $W^t = -W$ . Пусть функция

X(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \end{pmatrix}

является вещественным решением векторного дифференциального уравнения $\frac{dX}{dt} = WX$ .

?

(1)

Докажите, что $\left\| X(t)\right\|$ , евклидова норма $X(t)$ , не зависит от $t$ .

(2)

Докажите, что если $v$ — вектор из ядра $W$ , то $X(t) \cdot v$ не зависит от $t$ .

(3)

Докажите, что все значения $X(t)$ лежат на фиксированной окружности в $\mathbb {R}^{3}$ .

Задача 3.4.19

Для каждого $t \in \mathbb {R}$ пусть $P(t)$ — симметричная вещественная $n \times n$ матрица, элементы которой являются непрерывными функциями от $t$ . Предположим, что при всех $t$ собственные значения $P(t)$ не превосходят $-1$ . Пусть $x(t) = (x_1(t), \ldots , x_n(t))$ — решение векторного дифференциального уравнения

\frac{dx}{dt} = P(t)x.

Докажите, что

\lim _{t \to \infty } x(t) = 0.

?

Задача 3.4.20

Пусть

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Найдите общее решение матричного дифференциального уравнения $\frac{dX}{dt} = AXB$ относительно неизвестной матричной функции $X(t)$ размера $4 \times 4$ .

?

Системы дифференциальных уравнений