Банк задач по математике

Задача 3.2.1

Предположим, что $f''(x) = (x^2-1)f(x)$ при всех $x \in \mathbb {R}$ и что $f(0) = 1$ , $f'(0) = 0$ . Покажите, что $f(x) \to 0$ при $x \to \infty$ .

?

Задача 3.2.2

Найдите решение дифференциального уравнения

y'' - 2y' + y = 0,

удовлетворяющее условиям

y(0) = 1, \quad y'(0) = 1.

?

Задача 3.2.3

Найдите все решения дифференциального уравнения

\frac{d^2 x}{dt^2} - 2\frac{dx}{dt} + x = \sin t

при условии $x(0) = 1$ и $x'(0) = 0$ .

?

Задача 3.2.4

Пусть $x : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — решение дифференциального уравнения

5x'' + 10x' + 6x = 0.

Докажите, что функция $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ,

f(t) = \frac{x(t)^2}{1+x(t)^4}

достигает максимального значения.

?

Задача 3.2.5

Пусть $x(t)$ — решение дифференциального уравнения

x''(t) + 8x'(t) + 25x(t) = 2\cos t

с начальными условиями $x(0) = 0$ и $x'(0) = 0$ . Покажите, что для подходящих констант $\alpha$ и $\delta$

\lim _{t \to \infty } (x(t) - \alpha \cos (t-\delta )) = 0.

?

Задача 3.2.6

(1)(2)

Пусть $y = y(x)$ — решение дифференциального уравнения $y'' = -\left|y\right|$ при $-\infty < x < \infty$ , $y(0) = 1$ и $y'(0) = 0$ .

?

(1)

Покажите, что $y$ — чётная функция.

(2)

Покажите, что $y$ имеет ровно один нуль на положительной вещественной полуоси.

Задача 3.2.7

Определите все вещественные числа $L > 1$ , при которых краевая задача

x^2 y''(x) + y(x) = 0, \quad 1 \leq x \leq L

y(1) = y(L) = 0

имеет ненулевое решение.

?

Задача 3.2.8

При каких вещественных значениях $p$ дифференциальное уравнение

y'' + 2py' + y = 3

допускает решения $y = f(x)$ с бесконечным числом критических точек?

?

Задача 3.2.9

Пусть $p$ , $q$ и $r$ — непрерывные вещественнозначные функции на $\mathbb {R}$ , причём $p > 0$ . Докажите, что дифференциальное уравнение

p(t)x''(t) + q(t)x'(t) + r(t)x(t) = 0

равносильно (то есть имеет в точности те же решения), что и дифференциальное уравнение вида

(a(t)x'(t))' + b(t)x(t) = 0,

где $a$ непрерывно дифференцируема, а $b$ непрерывна.

?

Задача 3.2.10

Пусть функция $x(t)$ ( $-\infty < t < \infty$ ) — решение дифференциального уравнения

\frac{d^2x}{dt^2} - 2b\frac{dx}{dt} + cx = 0

такое что $x(0) = x(1) = 0$ . (Здесь $b$ и $c$ — вещественные константы.) Докажите, что $x(n) = 0$ для каждого целого $n$ .

?

Задача 3.2.11

Пусть $k$ — положительное целое число. При каких значениях вещественного числа $c$ дифференциальное уравнение

\frac{d^2x}{dt^2} - 2c\frac{dx}{dt} + x = 0

имеет решение, удовлетворяющее $x(0) = x(2\pi k) = 0$ ?

?

Задача 3.2.12

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка

\frac{d^2x}{dt^2} + p\frac{dx}{dt} + qx = 0. \tag {*}

Здесь независимая переменная $t$ пробегает $\mathbb {R}$ , неизвестная функция $x$ предполагается вещественнозначной, а $p$ и $q$ — непрерывные функции на $\mathbb {R}$ . Предположим, что решения уравнения $(*)$ определены при всех $t$ (что фактически гарантируется теорией) и что множество решений инвариантно относительно сдвига: если $f$ — решение и $s$ — вещественное число, то функция $g(t) = f(t+s)$ также является решением. Докажите, что $p$ и $q$ постоянны.

?

Задача 3.2.13

(1)(2)(3)

Пусть дано $h > 0$ . Рассмотрим линейное разностное уравнение

\frac{y((n+2)h) - 2y((n+1)h) + y(nh)}{h^2} = -y(nh), \quad n = 0, 1, 2, \ldots .

(Заметьте аналогию с дифференциальным уравнением $y'' = -y$ .)

?

(1)

Найдите общее решение уравнения, пробуя подходящие показательные подстановки.

(2)

Найдите решение с $y(0) = 0$ и $y(h) = h$ . Обозначим его $S_h(nh)$ , $n = 1, 2, \ldots$ .

(3)

Пусть $x$ фиксировано и $h = \frac{x}{n}$ . Покажите, что

\lim _{n \to \infty } S_{\frac{x}{n}}\left(\frac{nx}{n}\right) = \sin x.

Уравнения второго порядка