Глава IX

Основы тензорной алгебры

[14/100%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

IX.1 · Тензоры в линейном пространстве[7/100%]

Задача IX.1.1

Пусть $\mathcal{B}$ — линейное пространство билинейных функций, определенных на $n$ -мерном линейном пространстве $\mathcal{L}$ , а A - линейное преобразование пространства $\mathcal{B}$ . Докажите, что A - тензор типа $(2,2)$ в пространстве $\mathcal{L}$ .

Задача IX.1.2

(а)(б)

(а)

Сколько компонент имеет трехвалентный тензор в четырехмерном пространстве?

(б)

Сколько слагаемых содержит выражение какой-либо его компоненты в новом базисе через компоненты в старом базисе?

Задача IX.1.3

Тензор типа $(0, n)$ в $n$ -мерном линейном пространстве в базисе $\mathbf{e}$ имеет компоненты $\varepsilon_{i_{1} \ldots i_{n}}=0$ , если среди значений $i_{1}, \ldots , i_{n}$ есть одинаковые, и

\varepsilon _{i_{1} \ldots i_{n}}=(-1)^{N\left(i_{1}, \ldots , i_{n}\right)}

в противном случае. Найдите компоненты этого тензора в базисе $\mathbf{e}^{\prime }=\mathbf{e} S$ .

Задача IX.1.4

Линейная функция f задана в базисе e строкой f, а вектор а — столбцом а. Найдите матрицу тензора $a \otimes \mathrm{f}$ . Какой геометрический смысл имеет этот тензор?

Задача IX.1.5

Сколько различных тензоров можно образовать при помощи свертывания из тензора типа $(2,2)$ ?

Задача IX.1.6

Докажите, что тензор из задачи 3 антисимметричен по любому подмножеству множества индексов.

Задача IX.1.7

Докажите, что для любого тензора типа $(1,1)$ выполнены равенства

a_{j}^{(i} a_{l}^{k)}=a_{(j}^{i} a_{l)}^{k}, \quad a_{j}^{[i} a_{l}^{k]}=a_{[j}^{i} a_{l]}^{k} .

IX.2 · Тензоры в евклидовом пространстве[3/100%]

Задача IX.2.1

В базисе e метрический тензор задан матрицей Г, а тензор $a_{i j}$ матрицей $A$ :

\Gamma =\left\| \begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right\| , \quad A=\left\| \begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{array}\right\| .

Найдите матрицы $B$ , $C$ и $D$ тензоров $a_{. j}^{k}$ , $a_{j}^{k}$ . и $a^{j k}$ .

Задача IX.2.2

Можно заметить, что в задаче 1 детерминанты матриц, $A, B, C$ и $D$ совпадают, и следы $B$ и $C$ одинаковы. Объясните это.

Задача IX.2.3

Упростите выражение

\left(\delta _{r}^{m} a_{i j}^{r} g^{j k}+\delta _{i}^{j} a_{l j}^{m} g^{l k}\right) g_{k s}+a_{[j k]}^{m} g^{j k} g_{i s} .

IX.3 · Поливекторы. Внешние формы[4/100%]

Задача IX.3.1

Функция от двух векторов в трехмерном евклидовом векторном пространстве ставит в соответствие любым двум векторам $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$ смешанное произведение $(\mathbf{a}, \mathbf{x}, \mathbf{y})$ , где $\mathbf{a}$ — фиксированный вектор. Докажите, что эта функция -2-форма. Выразите ее матрицу в заданном базисе е через координаты вектора $\mathbf{a}$ .

Задача IX.3.2

Пусть $x_{1}, \ldots , x_{n}$ — линейно независимые векторы в $n$ -мерном линейном пространстве $\mathcal{L}$ . Докажите, что бивекторы $x_{k} \wedge x_{l}$ для всех $k<l$ составляют базис в пространстве бивекторов пространства $\mathcal{L}$ .

Задача IX.3.3

(а)(б)(в)

Пусть $x_{1}, \ldots , x_{p}$ — базис подпространства $\mathcal{L}^{\prime } \subset \mathcal{L}$ . Назовем $w=x_{1} \wedge \ldots \wedge x_{p}$ направляющим $p$ -вектором подпространства.

Докажите, что

(а)

вектор у лежит в $\mathcal{L}^{\prime }$ тогда и только тогда, когда $y \wedge w=0$ .

(б)

Любые два направляющих р-вектора подпространства $\mathcal{L}^{\prime }$ отличаются один от другого на числовой множитель.

(в)

Если пространство евклидово, этот множитель равен отношению объемов ориентированных параллелепипедов, построенных на соответствующих базисах.

Задача IX.3.4

Докажите, что в трехмерном пространстве каждый бивектор является простым.