Тензоры в линейном пространстве

Пусть $\mathcal{B}$ — линейное пространство билинейных функций, определенных на $n$-мерном линейном пространстве $\mathcal{L}$, а A - линейное преобразование пространства $\mathcal{B}$. Докажите, что A - тензор типа $(2,2)$ в пространстве $\mathcal{L}$.

Тензор типа $(0, n)$ в $n$-мерном линейном пространстве в базисе $\mathbf{e}$ имеет компоненты $\varepsilon_{i_{1} \ldots i_{n}}=0$, если среди значений $i_{1}, \ldots , i_{n}$ есть одинаковые, и

в противном случае. Найдите компоненты этого тензора в базисе $\mathbf{e}^{\prime }=\mathbf{e} S$.

Линейная функция f задана в базисе e строкой f, а вектор а — столбцом а. Найдите матрицу тензора $a \otimes \mathrm{f}$. Какой геометрический смысл имеет этот тензор?

Сколько различных тензоров можно образовать при помощи свертывания из тензора типа $(2,2)$ ?

Докажите, что тензор из задачи 3 антисимметричен по любому подмножеству множества индексов.

Докажите, что для любого тензора типа $(1,1)$ выполнены равенства