Банк задач по математике

Задача IX.3.1

Функция от двух векторов в трехмерном евклидовом векторном пространстве ставит в соответствие любым двум векторам $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$ смешанное произведение $(\mathbf{a}, \mathbf{x}, \mathbf{y})$ , где $\mathbf{a}$ — фиксированный вектор. Докажите, что эта функция -2-форма. Выразите ее матрицу в заданном базисе е через координаты вектора $\mathbf{a}$ .

?

Задача IX.3.2

Пусть $x_{1}, \ldots , x_{n}$ — линейно независимые векторы в $n$ -мерном линейном пространстве $\mathcal{L}$ . Докажите, что бивекторы $x_{k} \wedge x_{l}$ для всех $k<l$ составляют базис в пространстве бивекторов пространства $\mathcal{L}$ .

?

Задача IX.3.3

(а)(б)(в)

Пусть $x_{1}, \ldots , x_{p}$ — базис подпространства $\mathcal{L}^{\prime } \subset \mathcal{L}$ . Назовем $w=x_{1} \wedge \ldots \wedge x_{p}$ направляющим $p$ -вектором подпространства.

Докажите, что

?

(а)

вектор у лежит в $\mathcal{L}^{\prime }$ тогда и только тогда, когда $y \wedge w=0$ .

(б)

Любые два направляющих р-вектора подпространства $\mathcal{L}^{\prime }$ отличаются один от другого на числовой множитель.

(в)

Если пространство евклидово, этот множитель равен отношению объемов ориентированных параллелепипедов, построенных на соответствующих базисах.

Задача IX.3.4

Докажите, что в трехмерном пространстве каждый бивектор является простым.

?

Поливекторы. Внешние формы