Глава IV

Преобразования плоскости

[24/100%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

IV.1 · Отображения и преобразования[3/100%]

Задача IV.1.1

Нарисуйте три крестика и четыре нолика.

(а)

Как должны идти стрелки от крестиков к ноликам, чтобы получилось отображение множества крестиков в множество ноликов? Пусть стрелки определяют отображение.

(б)

Можно ли провести их так, чтобы каждый образ имел единственный прообраз?

(в)

Можно ли провести их так, чтобы каждый нолик имел прообраз?

(г)

Ответьте на те же вопросы, если крестиков — четыре, а ноликов — три.

(д)

При каком числе ноликов возможно взаимно однозначное отображение множества из трех крестиков?

Задача IV.1.2

Пусть преобразования f, g u h имеют обратные. Найдите преобразование, обратное к их произведению fgh.

Задача IV.1.3

Напишите формулы, задающие осевую симметрию относительно прямой, имеющей уравнение $x+y=5$ в декартовой прямоугольной системе координат.

IV.2 · Линейные преобразования[13/100%]

Задача IV.2.1

Являются ли аффинными преобразования, задаваемые формулами a)

\begin{aligned} & x^{*}=x+y-1, \\ & y^{*}=x-y+1, \end{aligned}

б)

\begin{aligned} & x^{*}=x-y-1 \\ & y^{*}=-x+y+1 \end{aligned}

Задача IV.2.2

Найдите образ прямой $x-y=2$ при преобразовании (а) из задачи 1.

Задача IV.2.3

Докажите, не прибегая к координатой записи, что ортогональное преобразование взаимно однозначно.

Задача IV.2.4

Точка $A$ называется неподвижной точкой преобразования f , если $\mathrm{f}(A)=A$ . Найдите неподвижные точки преобразования (а) из задачи 1.

Задача IV.2.5

Докажите, что линейное преобразование, не являющееся тождественным, либо имеет одну единственную неподвижную точку, либо имеет прямую, состоящую из неподвижных точек, либо не имеет их совсем.

Задача IV.2.6

Как изменятся формулы, задающие линейное преобразование, если начало координат перенести в неподвижную точку, не меняя базисных векторов?

Задача IV.2.7

(а)(б)

Линейное преобразование в системе координат $O, \mathbf{e}_{1}$ , $\mathrm{e}_{2}$ задано формулами

x^{*}=a_{1} x+b_{1} y+c_{1}, \quad y^{*}=a_{2} x+b_{2} y+c_{2} .

Какими формулами оно задается в системе координат

(а)

$O$ , $\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{1}$

(б)

$O, \mathbf{e}_{1}, 2 \mathbf{e}_{2}$ .

Задача IV.2.8

Докажите, что линейное преобразование, задаваемое в декартовой прямоугольной системе координат формулами

x^{*}=x \cos \varphi +y \sin \varphi , \quad y^{*}=x \sin \varphi -y \cos \varphi ,

— осевая симметрия. Найдите уравнение оси симметрии.

Задача IV.2.9

Может ли случиться, что произведение двух линейных преобразований — аффинное, если одно из них — не аффинное?

Задача IV.2.10

Пусть аффинное преобразование в декартовой прямоугольной системе координат задано формулами

x^{*}=x+b y+c_{1}, \quad y^{*}=a x+c_{2} .

Найдите векторы, ортогональные их образам.

Задача IV.2.11

Дан треугольник с вершинами $A(1,0), B\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ и $C\left(-\frac{1}{2},-1\right)$ . Найдите линейное преобразование, переводящее каждую вершину в середину противоположной стороны.

Задача IV.2.12

Докажите, что преобразование из задачи 8 есть произведение gf осевой симметрии f относительно оси абсцисс и поворота g на угол $\varphi$ вокруг начала координат. Какое преобразование получится, если f и g перемножить в другом порядке?

Задача IV.2.13

Пусть аффинное преобразование имеет одну единственную неподвижную точку. Докажите, что в этом случае каждая инвариантная прямая (если такие прямые существуют) проходит через эту точку.

IV.3 · Аффинные преобразования[8/100%]

Задача IV.3.1

Найдите площадь треугольника, если его стороны лежат на прямых с уравнениями $x+y=1, x-y=-1$ и $2 x+y=2$ в декартовой прямоугольной системе координат.

Задача IV.3.2

Пусть при аффинном преобразовании точки $A, B$ и $C$ перешли в точки $A^{*}, B^{*}$ и $C^{*}$ . Докажите, что точка пересечения медиан $\triangle A B C$ перейдет в точку пересечения медиан $\triangle A^{*} B^{*} C^{*}$ .

Задача IV.3.3

(а)(б)

Будем говорить, что аффинное преобразование растягивает вектор $\mathbf{a}$ в а раз, если $\left|\mathbf{a}^{*}\right|=\alpha \left|\mathbf{a}\right|$ . Для преобразования, заданного в декартовой прямоугольной системе координат формулами

x^{*}=4 x+7 y, \quad y^{*}=8 x+y,

найдите векторы, для которых растяжение

(а)

максимально

(б)

минимально.

Задача IV.3.4

Пусть прямая касается линии второго порядка. Докажите, что при произвольном аффинном преобразовании образ прямой касается образа линии.

Задача IV.3.5

Докажите, что вершины ромба, описанного около эллипса, лежат на его осях симметрии.

Задача IV.3.6

(а)(б)

Представьте как произведение двух осевых симметрий

(а)

параллельный перенос на вектор $\mathbf{a}$

(б)

поворот на угол $\varphi$ вокруг точки $O$ .

Задача IV.3.7

Представьте сઋатие к оси абсцисс декартовой прямоугольной системы координат как произведение параллельного переноса на $\mathbf{a}(0, a)$ и сжатия к другой прямой.

Задача IV.3.8

Может ли произведение двух поворотов плоскости быть параллельным переносом?