IV.2

Линейные преобразования

[13/100%]
Показать
LaTeX
Задача IV.2.1

Являются ли аффинными преобразования, задаваемые формулами a)

x∗=x+y−1,y∗=x−y+1, \begin{aligned} & x^{*}=x+y-1, \\ & y^{*}=x-y+1, \end{aligned}

б)

x∗=x−y−1y∗=−x+y+1 \begin{aligned} & x^{*}=x-y-1 \\ & y^{*}=-x+y+1 \end{aligned}
?
Задача IV.2.2

Найдите образ прямой x−y=2x-y=2 при преобразовании (а) из задачи 1.

?
Задача IV.2.3

Докажите, не прибегая к координатой записи, что ортогональное преобразование взаимно однозначно.

?
Задача IV.2.4

Точка AA называется неподвижной точкой преобразования f , если f(A)=A\mathrm{f}(A)=A. Найдите неподвижные точки преобразования (а) из задачи 1.

?
Задача IV.2.5

Докажите, что линейное преобразование, не являющееся тождественным, либо имеет одну единственную неподвижную точку, либо имеет прямую, состоящую из неподвижных точек, либо не имеет их совсем.

?
Задача IV.2.6

Как изменятся формулы, задающие линейное преобразование, если начало координат перенести в неподвижную точку, не меняя базисных векторов?

?
Задача IV.2.7

Линейное преобразование в системе координат O,e1O, \mathbf{e}_{1}, e2\mathrm{e}_{2} задано формулами

x∗=a1x+b1y+c1,y∗=a2x+b2y+c2. x^{*}=a_{1} x+b_{1} y+c_{1}, \quad y^{*}=a_{2} x+b_{2} y+c_{2} .

Какими формулами оно задается в системе координат

?
(а)

OO, e2,e1\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{1}

(б)

O,e1,2e2O, \mathbf{e}_{1}, 2 \mathbf{e}_{2}.

Задача IV.2.8

Докажите, что линейное преобразование, задаваемое в декартовой прямоугольной системе координат формулами

x∗=xcos⁡φ+ysin⁡φ,y∗=xsin⁡φ−ycos⁡φ, x^{*}=x \cos \varphi +y \sin \varphi , \quad y^{*}=x \sin \varphi -y \cos \varphi ,

— осевая симметрия. Найдите уравнение оси симметрии.

?
Задача IV.2.9

Может ли случиться, что произведение двух линейных преобразований — аффинное, если одно из них — не аффинное?

?
Задача IV.2.10

Пусть аффинное преобразование в декартовой прямоугольной системе координат задано формулами

x∗=x+by+c1,y∗=ax+c2. x^{*}=x+b y+c_{1}, \quad y^{*}=a x+c_{2} .

Найдите векторы, ортогональные их образам.

?
Задача IV.2.11

Дан треугольник с вершинами A(1,0),B(−12,1)A(1,0), B\left(-\frac{1}{2}, 1\right) и C(−12,−1)C\left(-\frac{1}{2},-1\right). Найдите линейное преобразование, переводящее каждую вершину в середину противоположной стороны.

?
Задача IV.2.12

Докажите, что преобразование из задачи 8 есть произведение gf осевой симметрии f относительно оси абсцисс и поворота g на угол φ\varphi вокруг начала координат. Какое преобразование получится, если f и g перемножить в другом порядке?

?
Задача IV.2.13

Пусть аффинное преобразование имеет одну единственную неподвижную точку. Докажите, что в этом случае каждая инвариантная прямая (если такие прямые существуют) проходит через эту точку.

?