Прямые линии и плоскости

В декартовой прямоугольной системе координат даны точки $A(1,0)$ и $B(4,0)$. Напишите уравнение множества точек, отстоящих от $B$ вдвое дальше, чем от $A$.

Каждое из двух уравнений системы $(x-2)^{2}+y^{2}=r^{2}$, $(x+2)^{2}+y^{2}=r^{2}$ в декартовой прямоугольной системе координат определяет окружность. Вычитая одно уравнение из другого, мы получим следствие этой системы: $x=0$. Как геометрически истолковать этот результат? Рассмотрите случаи $r=3$ и $r=1$.

Составьте уравнение цилиндра с направляющей, заданной системой уравнений

и образующей, параллельной вектору $\mathbf{e}_{3}$.

Напишите уравнение конуса с вершиной в начале координат и с направляющей, заданной системой уравнений $x^{2}+y^{2}=4, z=1$.

Какая отличительная особенность уравнения конуса в сферической системе координат, центр которой находится в вершине конуса?

Найдите параметрические уравнения прямой, заданной уравнениями

Найдите параметрические уравнения плоскости $x-2 y+3 z=1$.

Найдите координаты точки пересечения прямых с уравнениями: $x=1-t, y=1+t, z=1-t$ и $x=3 t-1, y=2 t-2$, $z=1+t$. Какое значение параметра соответствует этой точке на каждой из прямых? Как установить, что прямые пересекаются, не находя точки пересечения?

Напишите уравнение плоскости, в которой лежат прямые упражнения 3.

Hanuuume параметрические уравнения прямых, заданных векторными уравнениями

В декартовой прямоугольной системе координат даны координаты вершин треугольника: $A(20,-15), B(-16,0)$ и $C(-8,6)$. Найдите координаты центра и радиус окружности, вписанной в треугольник.

Начало координат лежит в одном из углов, образованных прямыми с уравнениями $A_{1} x+B_{1} y+C_{1}=0$ и $A_{2} x+B_{2} y+C_{2}=0$ в декартовой прямоугольной системе координат. При каком необходимом и достаточном условии на коэффициенты уравнений этот угол острый?

Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и пересекающей прямые с уравнениями $x=1+2 t$, $y=2+3 t, z=-t$ и $x=4 t, y=5-5 t, z=3+2 t$.

Найти радиус и координаты центра сферы, проходящей через точку $A(0,1,0)$ и касающейся плоскостей с уравнениями

Система координат — декартова прямоугольная.

В декартовой прямоугольной системе координат даны координаты вершин треугольника $A(1,2,3), B(1,5,-1)$ и $C(5,3,-5)$. Найдите координаты центра окружности, описанной около треугольника.

Напишите уравнения прямой, которая параллельна прямой $\mathbf{r}=\mathbf{r}_{0}+\mathbf{a}_{0} t$ и пересекает прямые $\mathbf{r}=\mathbf{r}_{1}+\mathbf{a}_{1} t u \mathbf{r}=\mathbf{r}_{2}+\mathbf{a}_{2} t$. Дано, что векторы $\mathbf{a}_{0}, \mathbf{a}_{1}$ и $\mathbf{a}_{2}$ не компланарны.

Напишите параметрические уравнения прямой, являющейся пересечением плоскостей с уравнениями $\mathbf{r}=\mathbf{r}_{1}+u \mathbf{a}+v \mathbf{b} u\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}, \mathbf{n}\right)=0$.