§ 12

Линейные и аффинные преобразования плоскости

[89/73%]
Показать
LaTeX
Подпараграф
12.1 · Общие свойства отображений (12.1-12.24)[24/58%]
Задача 12.1

Пусть f:X→Yf: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y} — отображение. Доказать, что:

?
(1)

если A1⊆A2⊆X\mathcal{A}_{1} \subseteq \mathcal{A}_{2} \subseteq \mathcal{X}, то f(A1)⊆f(A2)f\left(\mathcal{A}_{1}\right) \subseteq f\left(\mathcal{A}_{2}\right)

(2)

f(A1∪A2)=f(A1)∪f(A2)f\left(\mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2}\right) = f\left(\mathcal{A}_{1}\right) \cup f\left(\mathcal{A}_{2}\right)

(3)

если B1,B2⊆f(X)⊆Y\mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{2} \subseteq f(\mathcal{X}) \subseteq \mathcal{Y}, то f−1(B1∩B2)=f−1(B1)∩f−1(B2)f^{ - 1}\left(\mathcal{B}_{1} \cap \mathcal{B}_{2}\right) = f^{ - 1}\left(\mathcal{B}_{1}\right) \cap f^{ - 1}\left(\mathcal{B}_{2}\right)

(4)

f(A1∩A2)⊆f(A1)∩f(A2)f\left(\mathcal{A}_{1} \cap \mathcal{A}_{2}\right) \subseteq f\left(\mathcal{A}_{1}\right) \cap f\left(\mathcal{A}_{2}\right). Может ли образ пересечения не совпадать с пересечением образов?

Задача 12.2

Сколькими способами можно установить взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, содержащими по nn элементов?

?
Задача 12.3
?
(1)

Сколько существует преобразований множества, состоящего из nn элементов? Сколько среди них взаимно однозначных?

(2)

Сколько возможностей имеется для множеств значений преобразований множества из nn элементов?

(3)

Сколько существует отображений множества из mm элементов в множество из nn элементов?

Задача 12.4

Пусть f:X→Y,∣X∣=m,∣Y∣=nf: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}, \left|\mathcal{X}\right| = m, \left|\mathcal{Y}\right| = n. Может ли отображение ff быть:

?
(1)

Наложением при n>mn > m?

(2)

Вложением при n<mn < m?

Задача 12.5

Пусть f:X→Yf: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}, где X,Y\mathcal{X}, \mathcal{Y} — конечные множества, состоящие из одинакового числа элементов. Доказать равносильность следующих утверждений:

?
(1)

ff — вложение

(2)

ff — наложение

(3)

ff взаимно однозначно.

Задача 12.6

Привести примеры таких отображений f:X→Yf: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y} бесконечных множеств X,Y\mathcal{X}, \mathcal{Y}, что:

?
(1)

ff является наложением, но не вложением

(2)

ff является вложением, но не взаимно однозначно.

Задача 12.7

Установить взаимно однозначные соответствия между множеством всех натуральных чисел и данным множеством:

?
(1)

множество всех целых чисел

(2)

множество всех четных чисел

(3)

множество всех рациональных чисел

(4)

множество всех точек плоскости, координаты которых рациональны (рациональных точек)

(5)

множество всех интервалов на прямой с рациональными концами

(6)

множество всех кругов на плоскости с центрами в рациональных точках и рациональными радиусами

(7)

множество всех многочленов p(x)=a0+a1x+…+anxn(n=0,1,2,…)p(x) = a_{0} + a_{1} x + \ldots + a_{n} x^{n} (n = 0, 1, 2, \ldots ) с целочисленными коэффициентами ai(i=0,1,…,n)a_{i} \quad (i = 0, 1, \ldots , n).

Задача 12.8

Доказать, что:

?
(1)

между множеством всех целых чисел и множеством всех последовательностей чисел 0 и 1 нельзя установить взаимно однозначного соответствия

(2)

существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех последовательностей чисел 0 и 1.

Задача 12.9

Пусть X,Y\mathcal{X}, \mathcal{Y} — бесконечные множества, f:X→Yf: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y} — взаимно однозначное отображение и Y∩Z=∅\mathcal{Y} \cap \mathcal{Z} = \varnothing. Придумать взаимно однозначное отображение X\mathcal{X} на Y∪Z\mathcal{Y} \cup \mathcal{Z}, если:

?
(1)

Z\mathcal{Z} конечно

(2)

Z\mathcal{Z} счетно.

Задача 12.10

Доказать, что у любого отображения f:X→Yf: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y} имеется не более одного обратного отображения.

?
Задача 12.11

Придумать взаимно однозначное отображение прямой:

?
(1)

на интервал (−1,1)(- 1, 1)

(2)

на отрезок [−1,1]\left[ - 1, 1\right].

Задача 12.12

Придумать преобразование плоскости, которое взаимно однозначно отображает плоскость:

?
(1)

на открытый круг x2+y2<1x^{2} + y^{2} < 1

(2)

на замкнутый круг x2+y2⩽1x^{2} + y^{2} \leqslant 1

(3)

на квадрат ∣x∣<1,∣y∣<1\left|x\right| < 1, \left|y\right| < 1 (система координат — прямоугольная).

Задача 12.13

Дано линейное преобразование числовой прямой: f(x)=ax+bf(x) = ax + b (a,ba, b — действительные числа). Доказать, что:

?
(1)

ff взаимно однозначно тогда и только тогда, когда a≠0a \neq 0

(2)

ff сохраняет направление векторов на прямой при a>0a > 0 и меняет на противоположное при a<0a < 0

(3)

при a≠0a \neq 0 образом интервала длины ll является интервал длины ∣a∣l\left|a\right| l.

Задача 12.14

Дано преобразование f(x)=ax+bf(x) = ax + b числовой прямой. Найти:

?
(1)

неподвижные точки преобразования ff

(2)

преобразование, обратное к преобразованию f(a≠0)f(a \neq 0).

Задача 12.15

Написать формулу, задающую линейное отображение интервала (a,b)(a, b) на интервал (c,d)(c, d) числовой прямой.

?
Задача 12.16

Даны линейные преобразования ff и gg числовой прямой: f(x)=ax+b,g(x)=cx+df(x) = ax + b, g(x) = cx + d. Найти произведения fgfg и gfgf. В каком случае fg=gffg = gf?

?
Задача 12.17

Отображение ff числовой прямой в плоскость задано формулами в прямоугольной системе координат: x=acos⁡tx = a\cos t, y=bsin⁡t(a>0,b>0)y = b\sin t\quad (a > 0, \quad b > 0).

?
(1)

Найти образ S\mathcal{S} прямой при отображении ff.

(2)

Является ли отображение ff вложением?

(3)

Указать какие — либо множества на прямой, которые взаимно однозначно отображаются на S\mathcal{S}.

Задача 12.18

Отображение ff числовой прямой в плоскость задано формулами в прямоугольной системе координат: x=−ch⁡tx = - \operatorname {ch} t, y=sh⁡ty = \operatorname {sh} t.

?
(1)

Найти образ S\mathcal{S} прямой при отображении ff.

(2)

Является ли отображение ff вложением?

(3)

Найти прообраз tt каждой точки из S\mathcal{S}.

Задача 12.19

Преобразование ff плоскости задано в прямоугольной системе координат формулами: x∗=x2−y2,y∗=2xyx^{ * } = x^{2} - y^{2}, y^{ * } = 2xy.

?
(1)

Является ли преобразование f:f:

(1) наложением,

(2) взаимно однозначным?

(2)

Найти полный прообраз произвольной точки (x∗,y∗)\left(x^{ * }, y^{ * }\right) плоскости.

Задача 12.20

Преобразование ff плоскости задано в прямоугольной системе координат формулами: x∗=excos⁡y,y∗=exsin⁡yx^{ * } = e^{x} \cos y, y^{ * } = e^{x} \sin y.

?
(1)

Является ли преобразование ff взаимно однозначным?

(2)

Выделить на плоскости области, на которых ff взаимно однозначно.

(3)

Пусть fˉ\bar{f} — ограничение преобразования ff на полосе 0<y<π0 < y < \pi. Найти формулы, задающие обратное к fˉ\bar{f} отображение.

Задача 12.21

Даны отображения f:X→Y,g:Y→Zf: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}, g: \mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{Z} и h:Z→Uh: \mathcal{Z} \rightarrow \mathcal{U}. Доказать ассоциативность умножения отображений, т. е. равенство h(gf)=(hg)fh(gf) = (hg) f.

?
Задача 12.22

Пусть X,Y\mathcal{X}, \mathcal{Y} — непустые множества, Z=X×Y\mathcal{Z} = \mathcal{X} \times \mathcal{Y}. Отображение π:Z→Y\pi : \mathcal{Z} \rightarrow \mathcal{Y} (проектирование Z\mathcal{Z} на Y\mathcal{Y}) определяется равенством π((x,y))=y\pi ((x, y)) = y. Показать, что π\pi — наложение.

?
Задача 12.23

Показать, что для всякого множества X\mathcal{X} существует вложение δ:X→X×X\delta : \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X} \times \mathcal{X}.

?
Задача 12.24

Графиком отображения f:X→Yf: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y} называется подмножество Γ={(x,f(x))∣x∈X}⊆X×Y\Gamma = \left\{ (x, f(x)) \mid x\in \mathcal{X}\right\} \subseteq \mathcal{X} \times \mathcal{Y}.

?
(1)

Найти образ множества X\mathcal{X} при отображении φ:X→X×Y\varphi : \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X} \times \mathcal{Y}, определяемом равенством φ(x)=(x,f(x))\varphi (x) = (x, f(x)).

(2)

Доказать, что f=πφf = \pi \varphi (определение π\pi см. 12. 22).

(3)

Доказать, что отображение ff является вложением тогда и только тогда, когда вложением является φ\varphi.

(4)

Доказать, что ff является наложением тогда и только тогда, когда π(Γ)=Y\pi (\Gamma ) = \mathcal{Y}.

Подпараграф
12.2 · Геометрические свойства линейных и аффинных преобразований плоскости (12.25-12.36)[12/33%]
Задача 12.25

Найти радиус — вектор образа произвольной точки M(r)M(\mathbf{r}) при данном преобразовании плоскости:

?
(1)

гомотетия с центром в точке M0(r0)M_{0}\left(\mathbf{r}_{0}\right) и коэффициентом k≠0k \neq 0

(2)

центральная симметрия относительно точки M0(r0)M_{0}\left(\mathbf{r}_{0}\right)

(3)

параллельный перенос на вектор a\mathbf{a}

(4)

ортогональное проектирование на прямую r=r0+ta\mathbf{r} = \mathbf{r}_{0} + t\mathbf{a}

(5)

симметрия относительно прямой r=r0+ta\mathbf{r} = \mathbf{r}_{0} + t\mathbf{a}

(6)

сжатие к прямой r=r0+ta\mathbf{r} = \mathbf{r}_{0} + t\mathbf{a} с коэффициентом λ>0\lambda > 0.

Задача 12.26

Аффинное преобразование переводит три точки AA, B,CB, C, не лежащие на одной прямой, соответственно в точки BB, C,AC, A. Найти неподвижные точки этого преобразования. При каком необходимом и достаточном условии преобразование будет ортогональным?

?
Задача 12.27

Аффинное преобразование переводит вершины треугольника ABCABC в середины K,L,MK, L, M противолежащих им сторон. Найти образы точек K,L,MK, L, M и точки OO пересечения медиан треугольника ABCABC. Выяснить геометрический смысл этого преобразования.

?
Задача 12.28

Доказать, что:

?
(1)

если AA и BB — две различные неподвижные точки аффинного преобразования, то и все точки прямой ABAB неподвижны

(2)

если аффинное преобразование ff имеет единственную неподвижную точку, то все инвариантные прямые (если они существуют) проходят через эту точку

(3)

точка пересечения двух инвариантных прямых аффинного преобразования неподвижна.

Задача 12.29

Доказать, что аффинное преобразование, имеющее пучок инвариантных прямых, пересекающихся в точке MM, является гомотетией с центром в точке MM.

?
Задача 12.30

Доказать, что линейное преобразование плоскости тогда и только тогда будет аффинным, когда образ каждого ненулевого вектора отличен от нуля.

?
Задача 12.31

Доказать, что две касательные к эллипсу (или гиперболе) параллельны тогда и только тогда, когда точки касания и центр кривой лежат на одной прямой.

?
Задача 12.32

Доказать, что если эллипс касается стороны описанного около него параллелограмма в ее середине, то он касается остальных сторон этого параллелограмма также в их серединах.

?
Задача 12.33

Около эллипса с центром OO описан четырехугольник ABCDABCD. Доказать, что сумма площадей треугольников OABOAB и OCDOCD равна сумме площадей треугольников OBCOBC и OADOAD.

?
Задача 12.34

Доказать, что вершины ромба, описанного около эллипса, лежат на осях симметрии этого эллипса.

?
Задача 12.35

Точки A,B,C,DA, B, C, D лежат на эллипсе с центром OO, причем площади секторов AOBAOB и CODCOD равны. Доказать, что площади треугольников AOBAOB и CODCOD также равны.

?
Задача 12.36

Точки AA и BB лежат на эллипсе с центром OO, длины болышой и малой полуосей которого равны aa и bb соответственно. Найти площадь сектора AOBAOB, если угол AOBAOB равен φ\varphi, 0<φ⩽π0 < \varphi \leqslant \pi, а точки AA и BB симметричны относительно большой оси эллипса.

?
Подпараграф
12.3 · Координатная запись линейных и аффинных преобразований плоскости. В задачах система координат предполагается общей декартовой. (12.37-12.52)[16/94%]
Задача 12.37

Записать формулы, задающие данное преобразование плоскости:

?
(1)

гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом kk

(2)

гомотетия с центром в точке M(x0,y0)M\left(x_{0}, y_{0}\right) и коэффищиентом kk

(3)

центральная симметрия относительно точки M(x0,y0)M\left(x_{0}, y_{0}\right)

(4)

параллельный перенос на вектор a(α,β)\mathbf{a}(\alpha , \beta ).

Задача 12.38

Аффинное преобразование плоскости задается формулами x∗=3x+2y−6,y∗=4x−3y+1x^{ * } = 3x + 2y - 6, \quad y^{ * } = 4x - 3y + 1. Найти образы:

?
(1)

точек

(1) O(0,0)O(0, 0);

(2) E1(1,0)E_{1}(1, 0);

(3) E2(0,1)E_{2}(0, 1);

(4) E(1,1)E(1, 1);

(5) M(−1,5)M(- 1, 5);

(2)

прямых

(1) y=0y = 0;

(2) x=0x = 0;

(3) x−y+1=0x - y + 1 = 0;

(4) x−y−1=0x - y - 1 = 0;

(5) 2x+3y=72x + 3y = 7.

Задача 12.39

Аффинное преобразование плоскости задается формулами x∗=2x+3y−1,y∗=−3x−4y+2x^{ * } = 2x + 3y - 1, y^{ * } = - 3x - 4y + 2. Найти прообразы:

?
(1)

точек

(1) O(0,0)O(0, 0);

(2) A(−1,2)A(- 1, 2);

(3) B(4,−5)B(4, - 5)

(2)

прямых

(1) y=0y = 0;

(2) x=0x = 0;

(3) x+y−1=0x + y - 1 = 0;

(4) x−y−1=0x - y - 1 = 0;

(5) x−y+1=0x - y + 1 = 0.

Задача 12.40

Записать формулы, задающие аффинное преобразование плоскости, переводящее точки A,B,CA, B, C соответственно в A∗,B∗,C∗A^{ * }, B^{ * }, C^{ * }:

?
(1)

A(1,0),B(0,1),C(1,1),A∗(−3,5),B∗(4,−3),C∗(0,0)A(1, 0), B(0, 1), C(1, 1), A^{ * }(- 3, 5), B^{ * }(4, - 3), C^{ * }(0, 0)

(2)

A(3/7,1),B(1,1/4),C(2,−1),A∗(−4,2),B∗(−1,6)A(3 / 7, 1), \quad B(1, 1 / 4), \quad C(2, - 1), \quad A^{ * }(- 4, 2), \quad B^{ * }(- 1, 6), C∗(4,13)C^{ * }(4, 13)

(3)

A(1,0),B(−1/2,3/2),C(−1/2,−3/2),A∗=BA(1, 0), \quad B(- 1 / 2, \sqrt{3} / 2), \quad C(- 1 / 2, - \sqrt{3} / 2), \quad A^{ * } = B, B∗=C,C∗=AB^{ * } = C, C^{ * } = A

(4)

A(1,2),B(−7,4),C(3,−6);A∗,B∗,C∗A(1, 2), B(- 7, 4), C(3, - 6); A^{ * }, B^{ * }, C^{ * } — середины сторон треугольника ABCABC, противолежащие вершинам A,B,CA, B, C соответственно.

Задача 12.41

Найти всевозможные линейные преобразования плоскости, переводящие точки A,B,CA, B, C соответственно в A∗A^{ * }, B∗,C∗B^{ * }, C^{ * }, если такие преобразования существуют:

?
(1)

A(1,4),B(−2,1),C(0,3),A∗(0,0),B∗(1,0),C∗(0,4)A(1, 4), B(- 2, 1), C(0, 3), A^{ * }(0, 0), B^{ * }(1, 0), C^{ * }(0, 4)

(2)

A(−2,0),B(2,−1),C(0,4),A∗(−2,1),B∗(2,1),C∗(0,1)A(- 2, 0), B(2, - 1), C(0, 4), A^{ * }(- 2, 1), B^{ * }(2, 1), C^{ * }(0, 1)

(3)

A(2,0),B(3,−1),C(4,−2),A∗(2,1),B∗(−2,−1)A(2, 0), \quad B(3, - 1), \quad C(4, - 2), \quad A^{ * }(2, 1), \quad B^{ * }(- 2, - 1), C∗(−6,−3)C^{ * }(- 6, - 3)

(4)

A(0,0),B(−1,2),C(1,−2),A∗(−1,−1),B∗(0,0)A(0, 0), \quad B(- 1, 2), \quad C(1, - 2), \quad A^{ * }(- 1, - 1), \quad B^{ * }(0, 0), C∗(1,1)C^{ * }(1, 1)

Задача 12.42

Найти все неподвижные точки аффинного преобразования, заданного формулами:

?
(1)

x∗=7x−3y,y∗=x+yx^{ * } = 7x - 3y, \quad y^{ * } = x + y

(2)

x∗=−5x+y,y∗=6xx^{ * } = - 5x + y, \quad y^{ * } = 6x

(3)

x∗=−5x+y,y∗=6x+1x^{ * } = - 5x + y, \quad y^{ * } = 6x + 1

(4)

x∗=2x−y+3,y∗=−2x+2y−6x^{ * } = 2x - y + 3, \quad y^{ * } = - 2x + 2y - 6

(5)

x∗=4x+3y−1,y∗=−3x−2y+1x^{ * } = 4x + 3y - 1, \quad y^{ * } = - 3x - 2y + 1

(6)

x∗=x,y∗=yx^{ * } = x, \quad y^{ * } = y.

Задача 12.43

Найти инвариантные прямые линейного преобразования, заданного формулами:

?
(1)

x∗=2x+3y,y∗=−yx^{ * } = 2x + 3y, \quad y^{ * } = - y

(2)

x∗=−x+y,y∗=x−yx^{ * } = - x + y, \quad y^{ * } = x - y

(3)

x∗=y−9,y∗=9x+1x^{ * } = y - 9, \quad y^{ * } = 9x + 1

(4)

x∗=y,y∗=−x+1x^{ * } = y, \quad y^{ * } = - x + 1

(5)

x∗=2x+y−3,y∗=2x+3y−6x^{ * } = 2x + y - 3, \quad y^{ * } = 2x + 3y - 6

(6)

x∗=5x+3y+1,y∗=−3x−yx^{ * } = 5x + 3y + 1, \quad y^{ * } = - 3x - y

(7)

x∗=3x−2y+5,y∗=2x−y+5x^{ * } = 3x - 2y + 5, \quad y^{ * } = 2x - y + 5.

Задача 12.44

Доказать, что определитель △=[a1b1a2b2]\triangle =\left[\begin{smallmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2}\end{smallmatrix}\right] линейного преобразования, заданного формулами

x∗=a1x+b1y+c1,y∗=a2x+b2y+c2 x^{ * } = a_{1} x + b_{1} y + c_{1}, \quad y^{ * } = a_{2} x + b_{2} y + c_{2}

не зависит от выбора системы координат.

?
Задача 12.45

Точки A,B,CA, B, C имеют в системе координат OO, e1\mathbf{e}_{1}, e2\mathbf{e}_{2} координаты (1,0),(0,1),(1,1)(1, 0), (0, 1), (1, 1) соответственно, а в системе координат O∗,e1∗,e2∗O^{ * }, \mathbf{e}_{1}^{ * }, \mathbf{e}_{2}^{ * } — координаты (1,−1),(−3,2),(0,1)(1, - 1), (- 3, 2), (0, 1) соответственно. Записать формулы, задающие в системе координат O,e1,e2O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2} аффинное преобразование ff такое, что f(O)=O∗f(O) = O^{ * }, f(e1)=e1∗,f(e2)=e2∗f\left(\mathbf{e}_{1}\right) = \mathbf{e}_{1}^{ * }, f\left(\mathbf{e}_{2}\right) = \mathbf{e}_{2}^{ * }.

?
Задача 12.46

Даны формулы перехода от системы координат OO, e1,e2\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2} к системе O′,e1′,e2′O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }. Записать формулы, задающие в системе координат O,e1,e2O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2} аффинное преобразование ff такое, что f(O)=O′,f(e1)=e1′,f(e2)=e2′f(O) = O^{\prime }, \quad f\left(\mathbf{e}_{1}\right) = \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \quad f\left(\mathbf{e}_{2}\right) = \mathbf{e}_{2}^{\prime }:

?
(1)

x=x′+y′−2,y=2x′−y′+3x = x^{\prime } + y^{\prime } - 2, \quad y = 2x^{\prime } - y^{\prime } + 3

(2)

x=3x′−4y′−5,y=4x′+3y′+1x = 3x^{\prime } - 4y^{\prime } - 5, \quad y = 4x^{\prime } + 3y^{\prime } + 1.

Задача 12.47

Записать формулы, задающие аффинное преобразование:

?
(1)

переводящее прямые x−y+1=0,x+y−1=0x - y + 1 = 0, \quad x + y - 1 = 0 соответственно в прямые 3x+2y−3=0,2x+3y+1=03x + 2y - 3 = 0, 2x + 3y + 1 = 0, а точку A(1,1)A(1, 1) — в точку B(−1,−2)B(- 1, - 2)

(2)

переводящее прямые A1x+B1y+C1=0A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0 и A2x+B2y+C2=0A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0 соответственно в ось ординат и ось абсцисс, а точку A(x0,y0)A\left(x_{0}, y_{0}\right) — в точку B(1,1)B(1, 1) (точка A\mathrm{A} не лежит на данных прямых).

Задача 12.48

Дано аффинное преобразование x∗=2x+3y,y∗=3x+5yx^{ * } = 2x + 3y, y^{ * } = 3x + 5y. Составить уравнение образа кривой:

?
(1)

x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1

(2)

x2−y2=1x^{2} - y^{2} = 1

(3)

xy=2xy = 2

(4)

y2=−6xy^{2} = - 6x

(5)

(3x+4y−1)(4x−3y+1)=0(3x + 4y - 1)(4x - 3y + 1) = 0

(6)

(x+y−1)(x+y+1)=2(x + y - 1)(x + y + 1) = 2.

Задача 12.49

Дано аффинное преобразование x∗=−x+5y+1x^{ * } = - x + 5y + 1, y∗=3x−2y−1y^{ * } = 3x - 2y - 1. Составить уравнения прообраза кривой:

?
(1)

x2+y2=4x^{2} + y^{2} = 4

(2)

x24−y2=1\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1

(3)

(y+1)2=8(x−1)(y + 1)^{2} = 8(x - 1)

(4)

(x+y−1)(x−y−1)=1(x + y - 1)(x - y - 1) = 1

(5)

(x+2y−2)(x+2y+2)=0(x + 2y - 2)(x + 2y + 2) = 0.

Задача 12.50
?
(1)

Записать формулы аффинного преобразования первого рода, переводящего эллипс x24+y2=1\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 в себя так, что точка A(1,3/2)A(1, \sqrt{3}/2) переходит в точку B(−2,0)B(- 2, 0).

(2)

Решить такую же задачу для аффинного преобразования второго рода.

Задача 12.51

Записать формулы аффинного преобразования, переводящего гиперболу x25−y24=1\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1 в себя так, что точка A(5,4)A(5, 4) переходит в точку B(5,0)B(\sqrt{5}, 0).

?
Задача 12.52

Найти аффинное преобразование, если оно переводит параболу x2=4yx^{2} = 4y в себя и:

?
(1)

точка A1(2,1)A_{1}(2, 1) переходит в точку B1(4,4)B_{1}(4, 4), а точка A2(1A_{2}(1, 1/4)1 / 4) — в точку B2(3,9/4)B_{2}(3, 9 / 4)

(2)

определитель преобразования равен 1.

Подпараграф
12.4 · Координатная запись линейных и аффинных преобразований плоскости. В задачах система координат предполагается прямоугольной. (12.53-12.62)[10/100%]
Задача 12.53

Написать формулы, задающие преобразования плоскости:

?
(1)

поворот на угол φ\varphi вокруг начала координат

(2)

поворот на угол φ\varphi вокруг точки M(x0,y0)M\left(x_{0}, y_{0}\right)

(3)

ортогональное проектирование на ось абсцисс

(4)

ортогональное проектирование на прямую x−3y+1=0x - 3y + 1 = 0

(5)

симметрия относительно оси ординат

(6)

симметрия относительно прямой 3x+4y−1=03x + 4y - 1 = 0

(7)

сжатие к оси абсцисс с коэффищиентом λ>0\lambda > 0

(8)

сжатие к прямой x+y−2=0x + y - 2 = 0 с коэффициентом 1/31 / 3

(9)

сжатие к прямой 2x−y+5=02x - y + 5 = 0 с коэффициентом 2.

Задача 12.54

Какие из преобразований задачи 12. 53 являются:

?
(1)

аффинными

(2)

ортогональными?

Задача 12.55

Охарактеризовать геометрически преобразования:

?
(1)

x∗=x,y∗=3yx^{ * } = x, \quad y^{ * } = 3y

(2)

x∗=2x,y∗=2yx^{ * } = 2x, \quad y^{ * } = 2y

(3)

x∗=x−1,y∗=y+1x^{ * } = x - 1, \quad y^{ * } = y + 1

(4)

x∗=−x,y∗=yx^{ * } = - x, \quad y^{ * } = y

(5)

x∗=−x,y∗=−yx^{ * } = - x, \quad y^{ * } = - y

(6)

x∗=−y,y∗=xx^{ * } = - y, \quad y^{ * } = x

(7)

x∗=y,y∗=xx^{ * } = y, \quad y^{ * } = x

(8)

x∗=12(x−y),y∗=12(x+y)x^{ * } = \frac{1}{\sqrt{2}}(x - y), \quad y^{ * } = \frac{1}{\sqrt{2}}(x + y)

(9)

x∗=12(x+y),y∗=12(x−y)x^{ * } = \frac{1}{\sqrt{2}}(x + y), \quad y^{ * } = \frac{1}{\sqrt{2}}(x - y)

(10)

x∗=3x−6,y∗=3y+2x^{ * } = 3x - 6, y^{ * } = 3y + 2

(11)

x∗=12x−32y−1,y∗=32x+12y+1x^{ * } = \frac{1}{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2} y - 1, \quad y^{ * } = \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} y + 1

(12)

x∗=12x+32y−1,y∗=32x−12y+3x^{ * } = \frac{1}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} y - 1, \quad y^{ * } = \frac{\sqrt{3}}{2} x - \frac{1}{2} y + \sqrt{3}

(13)

x∗=−x−2,y∗=−y+2x^{ * } = - x - 2, \quad y^{ * } = - y + 2

(14)

x∗=110(21x+12y),y∗=110(12x+14y)x^{ * } = \frac{1}{10}(21x + 12y), \quad y^{ * } = \frac{1}{10}(12x + 14y)

(15)

x∗=13(2x+y−2),y∗=13(x+2y+2)x^{ * } = \frac{1}{3}(2x + y - 2), \quad y^{ * } = \frac{1}{3}(x + 2y + 2)

(16)

из задачи 12.40(3): аффинное преобразование плоскости, переводящее точки A,B,CA, B, C соответственно в A∗,B∗,C∗A^{ * }, B^{ * }, C^{ * }, A(1,0),B(−1/2,3/2),C(−1/2,−3/2),A∗=BA(1, 0), \quad B(- 1 / 2, \sqrt{3} / 2), \quad C(- 1 / 2, - \sqrt{3} / 2), \quad A^{ * } = B, B∗=C,C∗=AB^{ * } = C, C^{ * } = A

(17)

из задачи 12.41(2): линейное преобразование плоскости, переводящее точки A,B,CA, B, C соответственно в A∗,B∗,C∗A^{ * }, B^{ * }, C^{ * }, A(−2,0),B(2,−1),C(0,4),A∗(−2,1),B∗(2,1),C∗(0,1)A(- 2, 0), B(2, - 1), C(0, 4), A^{ * }(- 2, 1), B^{ * }(2, 1), C^{ * }(0, 1)

Задача 12.56

При повороте плоскости на угол 3π/43\pi / 4 вокруг точки A(0,1)A(0, 1) найти:

?
(1)

образы точек O(0,0)O(0, 0) и B(1,0)B(1, 0)

(2)

прообразы точек OO и BB

(3)

образы прямых x=0x = 0 и y=xy = x

(4)

прообразы прямых y=0y = 0 и y=−xy = - x.

Задача 12.57

На какой угол нужно повернуть прямую 3x−4y+25=03x - 4y + 25 = 0 вокруг точки M(−7,1)M(- 7, 1), чтобы ее образ:

?
(1)

был параллелен оси абсцисс

(2)

касался окружности x2+y2=25/2x^{2} + y^{2} = 25 / 2?

Задача 12.58

Центром квадрата является точка P(−1,2)P(- 1, 2), а одна из сторон задана уравнением x+2y=0x + 2y = 0. Составить уравнения остальных сторон квадрата.

?
Задача 12.59

Центром правильного шестиугольника является точка P(3,3/2)P(\sqrt{3}, 3 / 2), а одна из сторон задана уравнением y=3xy = \sqrt{3} x. Составить уравнения остальных сторон шестиугольника.

?
Задача 12.60

Вычислить:

?
(1)

площадь параллелограмма, стороны которого заданы уравнениями a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0,a1x+b1y+d1=0,a2x+b2y+d2=0a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0, a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0, a_{1} x + b_{1} y + d_{1} = 0, a_{2} x + b_{2} y + d_{2} = 0

(2)

(р) площадь треугольника, стороны которого заданы уравнениями a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0,a3x+b3y+c3=0a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0, a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0, a_{3} x + b_{3} y + c_{3} = 0.

Задача 12.61

Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(−7,13)M(- 7, 13) и образующей с прямыми 2x+y+3=02x + y + 3 = 0 и x+y−2=0x + y - 2 = 0 треугольник площади 9.

?
Задача 12.62

Окружность задана уравнением x2+y2−6x+8y=0x^{2} + y^{2} - 6x + 8y = 0. Составить уравнение окружности:

?
(1)

симметричной данной окружности относительно прямой x+y−6=0x + y - 6 = 0

(2)

полученной из данной окружности поворотом на угол arctg⁡(4/3)\operatorname {arctg}(4 /3) относительно начала координат;

(3)

полученной из данной окружности в результате гомотетии с центром A(6,0)A(6, 0) и коэффициентом 4.

Подпараграф
12.5 · Операции с линейными преобразованиями. Структура ортогональных и аффинных преобразований. Система координат, если не оговорено, считается прямоугольной. (12.63-12.89)[27/81%]
Задача 12.63

Записать формулы, задающие произведения fgfg и gfgf данных аффинных преобразований (система координат общая декартова):

?
(1)

f:x∗=y,y∗=x;g:x˙∗=3x+4y+1,y∗=−7x+5y−2f: x^{ * } = y, y^{ * } = x; g: \dot{x}^{ * } = 3x + 4y + 1, y^{ * } = - 7x + 5y - 2

(2)

f:x∗=4x−2y+6,y∗=−3x+y;g:x∗=x−y,y∗=4x+y+1f: x^{ * } = 4x - 2y + 6, y^{ * } = - 3x + y; g: x^{ * } = x - y, y^{ * } = 4x + y + 1.

Задача 12.64

Записать формулы, задающие произведение fgfg данных аффинных преобразований ff и gg, и охарактеризовать это произведение геометрически (система координат общая декартова):

?
(1)

ff — параллельный перенос на вектор a(−1,1);g\mathbf{a}(- 1, 1); g — гомотетия с центром в точке M(1,2)M(1, 2) и коэффициентом 3

(2)

ff — гомотетия с центром в точке M(2,−1)M(2, - 1) и коэффициентом −1/2;g- 1 / 2; g — центральная симметрия относительно точки N(3,1)N(3, 1).

Задача 12.65

Записать формулы, задающие преобразование, обратное к данному (система координат общая декартова), если такое преобразование существует:

?
(1)

x∗=y+3,y∗=−x+3y−1x^{ * } = y + 3, y^{ * } = - x + 3y - 1

(2)

x∗=3x+4y+8,y∗=5x+7y+6x^{ * } = 3x + 4y + 8, y^{ * } = 5x + 7y + 6

(3)

x∗=45x+35y+15,y∗=35x−45y−25x^{ * } = \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} y + \frac{1}{5}, y^{ * } = \frac{3}{5} x - \frac{4}{5} y - \frac{2}{5}

(4)

x∗=3x+5y−4,y∗=5x+9y+6x^{ * } = 3x + 5y - 4, y^{ * } = 5x + 9y + 6

(5)

x∗=3x−24,y∗=−x+4y+12x^{ * } = 3x - 24, y^{ * } = - x + 4y + 12

(6)

x∗=2x−y,y∗=−4x+2yx^{ * } = 2x - y, y^{ * } = - 4x + 2y

(7)

x∗=4x−3y,y∗=3x+4yx^{ * } = 4x - 3y, y^{ * } = 3x + 4y

(8)

x∗=4x+3y,y∗=3x−4yx^{ * } = 4x + 3y, y^{ * } = 3x - 4y

(9)

x∗=r(xcos⁡φ−ysin⁡φ),y∗=r(xsin⁡φ+ycos⁡φ)(r>0)x^{ * } = r(x\cos \varphi - y\sin \varphi ), \quad y^{ * } = r(x\sin \varphi + y\cos \varphi ) \quad (r > 0)

(10)

x∗=r(xcos⁡φ+ysin⁡φ),y∗=r(xsin⁡φ−ycos⁡φ)(r>0)x^{ * } = r(x\cos \varphi + y\sin \varphi ), y^{ * } = r(x\sin \varphi - y\cos \varphi ) \quad (r > 0).

Задача 12.66

Записать формулы, задающие nn — ю степень данного преобразования (n(n — натуральное число):

?
(1)

x∗=xcos⁡α−ysin⁡α,y∗=xsin⁡α+ycos⁡αx^{ * } = x\cos \alpha - y\sin \alpha , y^{ * } = x\sin \alpha + y\cos \alpha

(2)

x∗=12x+32y,y∗=−32x+12yx^{ * } = \frac{1}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} y, y^{ * } = - \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} y

(3)

x∗=x+y,y∗=yx^{ * } = x + y, y^{ * } = y

(4)

x∗=3x,y∗=x+2yx^{ * } = 3x, y^{ * } = x + 2y.

Задача 12.67

Записать формулы, задающие произведение fgfg данных аффинных преобразований ff и gg:

?
(1)

ff — гомотетия с центром в точке M(0,1)M(0, 1) и коэффициентом 5,g5, g — симметрия относительно прямой x−2y−3=0x - 2y - 3 = 0

(2)

ff — сжатие с коэффициентом 3 к прямой y=x,gy = x, g — сжатие с коэффициентом 1/31 / 3 к прямой x+y+1=0x + y + 1 = 0

(3)

ff — гомотетия с центром в точке M(2,−1)M(2, - 1) и коэффициентом 4,g4, g — поворот вокруг точки A(1,1)A(1, 1) на угол π/6\pi / 6

(4)

ff — сжатие с коэффициентом 1/21 / 2 к прямой 2x+3y=02x + 3y = 0, gg — гомотетия с центром в точке M(1,0)M(1, 0) и коэффициентом −3/2- 3 / 2.

Задача 12.68

Написать формулы и охарактеризовать геометрически преобразования, обратные к преобразованиям задачи 12.55(1-15):

?
(1)

x∗=x,y∗=3yx^{ * } = x, \quad y^{ * } = 3y

(2)

x∗=2x,y∗=2yx^{ * } = 2x, \quad y^{ * } = 2y

(3)

x∗=x−1,y∗=y+1x^{ * } = x - 1, \quad y^{ * } = y + 1

(4)

x∗=−x,y∗=yx^{ * } = - x, \quad y^{ * } = y

(5)

x∗=−x,y∗=−yx^{ * } = - x, \quad y^{ * } = - y

(6)

x∗=−y,y∗=xx^{ * } = - y, \quad y^{ * } = x

(7)

x∗=y,y∗=xx^{ * } = y, \quad y^{ * } = x

(8)

x∗=12(x−y),y∗=12(x+y)x^{ * } = \frac{1}{\sqrt{2}}(x - y), \quad y^{ * } = \frac{1}{\sqrt{2}}(x + y)

(9)

x∗=12(x+y),y∗=12(x−y)x^{ * } = \frac{1}{\sqrt{2}}(x + y), \quad y^{ * } = \frac{1}{\sqrt{2}}(x - y)

(10)

x∗=3x−6,y∗=3y+2x^{ * } = 3x - 6, y^{ * } = 3y + 2

(11)

x∗=12x−32y−1,y∗=32x+12y+1x^{ * } = \frac{1}{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2} y - 1, \quad y^{ * } = \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} y + 1

(12)

x∗=12x+32y−1,y∗=32x−12y+3x^{ * } = \frac{1}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} y - 1, \quad y^{ * } = \frac{\sqrt{3}}{2} x - \frac{1}{2} y + \sqrt{3}

(13)

x∗=−x−2,y∗=−y+2x^{ * } = - x - 2, \quad y^{ * } = - y + 2

(14)

x∗=110(21x+12y),y∗=110(12x+14y)x^{ * } = \frac{1}{10}(21x + 12y), \quad y^{ * } = \frac{1}{10}(12x + 14y)

(15)

x∗=13(2x+y−2),y∗=13(x+2y+2)x^{ * } = \frac{1}{3}(2x + y - 2), \quad y^{ * } = \frac{1}{3}(x + 2y + 2)

Задача 12.69

Написать формулы, задающие произведения fgfg и gfgf ортогональных преобразований ff и gg:

?
(1)

ff — поворот на угол π/2\pi / 2 вокруг точки A(1,1),gA(1, 1), g — параллельный перенос на вектор a(−1,−1)\mathbf{a}(- 1, - 1)

(2)

ff — симметрия относительно прямой x−2y−5=0,gx - 2y - 5 = 0, g — параллельный перенос на вектор a(2,1)\mathbf{a}(2, 1)

(3)

ff — поворот на угол 2π/32\pi / 3 вокруг начала координат, gg — симметрия относительно прямой y=2y = 2

(4)

ff — симметрия относительно прямой x−y−1=0,gx - y - 1 = 0, g — симметрия относительно прямой x+y−1=0x + y - 1 = 0

(5)

ff — симметрия относительно прямой 3x−y−1=0,g3x - y - 1 = 0, g — симметрия относительно прямой 3x−y+1=03x - y + 1 = 0

(6)

ff — поворот на угол arcsin⁡(4/5)\arcsin (4 / 5) вокруг точки A(1,0)A(1, 0), gg — поворот на угол arccos⁡(4/5)\arccos (4 / 5) вокруг точки B(−1,0)B(- 1, 0)

(7)

ff — поворот на угол 30∘30^{\circ } вокруг точки A(1,0),gA(1, 0), g — поворот на угол 330∘330^{\circ } вокруг точки B(0,1)B(0, 1).

Задача 12.70
?
(1)

Доказать, что произведение поворота плоскости вокруг некоторой точки и параллельного переноса является поворотом вокруг некоторой другой точки.

(2)

Найти координаты неподвижной точки PP преобразования, заданного формулами (3) из введения к §12\S 12, при φ≠2πn\varphi \neq 2\pi n, n∈Zn\in \mathbb {Z}. Доказать, что преобразование является поворотом на угол φ\varphi вокруг точки PP.

(3)

Охарактеризовать геометрически преобразования fgfg и gfgf задачи 12.69,1)12. 69, 1).

Задача 12.71
?
(1)

Доказать, что преобразование, заданное формулами x∗=xcos⁡φ+ysin⁡φ,y∗=xsin⁡φ−ycos⁡φx^{ * } = x\cos \varphi + y\sin \varphi , \quad y^{ * } = x\sin \varphi - y\cos \varphi, является симметрией относительно некоторой прямой, проходящей через начало координат. Найти уравнение этой прямой.

(2)

При каком условии преобразование, заданное формулами (4) из введения к §12\S 12, является симметрией относительно некоторой прямой? Найти уравнение этой прямой.

Задача 12.72
?
(1)

Доказать формулы (3), (4) введения к §12\S 12.

(2)

Доказать, что любое ортогональное преобразование первого рода является либо параллельным переносом на некоторый вектор, либо поворотом вокруг некоторой точки.

(3)

Доказать, что любое ортогональное преобразование второго рода является произведением двух перестановочных преобразований — симметрии относительно некоторой прямой и параллельного переноса на некоторый вектор (вектор переноса), коллинеарный этой прямой1. Найти вектор переноса a\mathbf{a} для преобразования, определенного формулами (4) введения к § 12.

Footnotes

  1. Если вектор переноса отличен от 00, то преобразование называют скользящей симметрией. ↩

Задача 12.73

Охарактеризовать геометрически преобразование, заданное формулами:

?
(1)

x∗=x+1,y∗=−yx^{ * } = x + 1, y^{ * } = - y

(2)

x∗=x+1,y∗=−y+2x^{ * } = x + 1, y^{ * } = - y + 2

(3)

x∗=x,y∗=−y+2x^{ * } = x, y^{ * } = - y + 2.

Задача 12.74

Выяснить, какого рода ортогональными преобразованиями являются преобразования f,g,fgf, g, fg и gfgf задачи 12. 69. Охарактеризовать геометрически (в смысле задачи 12. 72) преобразования fgfg и gfgf задач 12.69, 3) и 6).

12.69:

?
(1)

ff — поворот на угол π/2\pi / 2 вокруг точки A(1,1),gA(1, 1), g — параллельный перенос на вектор a(−1,−1)\mathbf{a}(- 1, - 1)

(2)

ff — симметрия относительно прямой x−2y−5=0,gx - 2y - 5 = 0, g — параллельный перенос на вектор a(2,1)\mathbf{a}(2, 1)

(3)

ff — поворот на угол 2π/32\pi / 3 вокруг начала координат, gg — симметрия относительно прямой y=2y = 2

(4)

ff — симметрия относительно прямой x−y−1=0,gx - y - 1 = 0, g — симметрия относительно прямой x+y−1=0x + y - 1 = 0

(5)

ff — симметрия относительно прямой 3x−y−1=0,g3x - y - 1 = 0, g — симметрия относительно прямой 3x−y+1=03x - y + 1 = 0

(6)

ff — поворот на угол arcsin⁡(4/5)\arcsin (4 / 5) вокруг точки A(1,0)A(1, 0), gg — поворот на угол arccos⁡(4/5)\arccos (4 / 5) вокруг точки B(−1,0)B(- 1, 0)

(7)

ff — поворот на угол 30∘30^{\circ } вокруг точки A(1,0),gA(1, 0), g — поворот на угол 330∘330^{\circ } вокруг точки B(0,1)B(0, 1).

Задача 12.75

Написать формулы ортогонального преобразования первого рода, переводящего точку A(2,0)A(2, 0) в точку A∗(1+2,1)A^{ * }(1 + \sqrt{2}, 1), а точку B(2,2)B(2, 2) — в точку B∗(1,1+2)B^{ * }(1, 1 + \sqrt{2}). Доказать, что это преобразование является поворотом вокруг своей единственной неподвижной точки. Найти координаты этой точки и угол поворота.

?
Задача 12.76

Написать формулы ортогонального преобразования второго рода, переводящего точку A(2,0)A(2, 0) в точку A∗(1+2,1)A^{ * }(1 + \sqrt{2}, 1), а точку B(2,2)B(2, 2) — в точку B∗(1,1+2)B^{ * }(1, 1 + \sqrt{2}). Доказать, что это преобразование является произведением симметрии относительно некоторой прямой и параллельного переноса на вектор, коллинеарный этой прямой. Найти координаты вектора переноса и составить уравнение оси симметрии.

?
Задача 12.77
?
(1)

Доказать, что произведение двух преобразований, каждое из которых — симметрия относительно некоторой прямой, является параллельным переносом, если эти прямые параллельны, и поворотом, если прямые не параллельны.

(2)

Охарактеризовать геометрически преобразования fgfg и gfgf задачи 12.69,4)12. 69, 4).

(3)

Тот же вопрос для задачи 12.69,5)12. 69, 5).

Задача 12.78
?
(1)

Доказать, что произведение двух поворотов вокруг различных точек на углы, сумма которых равна 2π2\pi, является параллельным переносом.

(2)

Охарактеризовать геометрически преобразования fgfg и gfgf задачи 12.69,7)12. 69, 7).

Задача 12.79

Доказать, что квадрат ортогонального преобразования второго рода является параллельным переносом.

?
Задача 12.80

Представить данное преобразование в виде произведения нескольких преобразований, каждое из которых является осевой симметрией:

?
(1)

поворот на угол φ\varphi вокруг точки MM

(2)

параллельный перенос на вектор a\mathbf{a}

(3)

произвольное ортогональное преобразование второго рода.

Задача 12.81

Найти координаты векторов, задающих главные направления данного аффинного преобразования:

?
(1)

x∗=3x,y∗=4yx^{ * } = 3x, \quad y^{ * } = 4y;

(2)

x∗=−3x,y∗=4yx^{ * } = - 3x, \quad y^{ * } = 4y

(3)

x∗=3x,y∗=−3yx^{ * } = 3x, \quad y^{ * } = - 3y

(4)

x∗=x−y,y∗=x+yx^{ * } = x - y, \quad y^{ * } = x + y

(5)

x∗=x,y∗=−x+yx^{ * } = x, \quad y^{ * } = - x + y

(6)

x∗=3y−2,y∗=−4xx^{ * } = 3y - 2, \quad y^{ * } = - 4x

(7)

x∗=2x+5y,y∗=−11x+10yx^{ * } = 2x + 5y, \quad y^{ * } = - 11x + 10y

(8)

x∗=−4x+7y,y∗=8x+yx^{ * } = - 4x + 7y, \quad y^{ * } = 8x + y

(9)

x∗=−4x+8y,y∗=−7x−11yx^{ * } = - 4x + 8y, \quad y^{ * } = - 7x - 11y

(10)

x∗=x+3y+2,y∗=−33x+3y+3x^{ * } = x + \sqrt{3} y + 2, \quad y^{ * } = - 3\sqrt{3} x + 3y + \sqrt{3}.

Задача 12.82

Представить каждое из аффинных преобразований задачи 12. 81 в виде произведения f=h2h1gf = h_{2} h_{1} g, где gg — ортогональное преобразование, а h1h_{1} и h2h_{2} — сжатия к двум взаимно перпендикулярным прямым.

12.81:

?
(1)

x∗=3x,y∗=4yx^{ * } = 3x, \quad y^{ * } = 4y;

(2)

x∗=−3x,y∗=4yx^{ * } = - 3x, \quad y^{ * } = 4y

(3)

x∗=3x,y∗=−3yx^{ * } = 3x, \quad y^{ * } = - 3y

(4)

x∗=x−y,y∗=x+yx^{ * } = x - y, \quad y^{ * } = x + y

(5)

x∗=x,y∗=−x+yx^{ * } = x, \quad y^{ * } = - x + y

(6)

x∗=3y−2,y∗=−4xx^{ * } = 3y - 2, \quad y^{ * } = - 4x

(7)

x∗=2x+5y,y∗=−11x+10yx^{ * } = 2x + 5y, \quad y^{ * } = - 11x + 10y

(8)

x∗=−4x+7y,y∗=8x+yx^{ * } = - 4x + 7y, \quad y^{ * } = 8x + y

(9)

x∗=−4x+8y,y∗=−7x−11yx^{ * } = - 4x + 8y, \quad y^{ * } = - 7x - 11y

(10)

x∗=x+3y+2,y∗=−33x+3y+3x^{ * } = x + \sqrt{3} y + 2, \quad y^{ * } = - 3\sqrt{3} x + 3y + \sqrt{3}.

Задача 12.83

Разложить в произведение hghg, где gg — ортогональное преобразование, а hh — гомотетия, каждое из преобразований ff и f−1f^{ - 1} задачи:

?
(1)

12.65,7)12. 65, 7)

(2)

12.65,8)12. 65, 8)

(3)

12.65,9)12. 65, 9)

(4)

12.65,10)12. 65, 10).

Задача 12.84

Доказать, что преобразование подобия представляет собой произведение ортогонального преобразования и гомотетии.

?
Задача 12.85

Найти собственные значения и координаты отвечающих им собственных векторов линейного преобразования (система координат общая декартова), если:

?
(1)

x∗=7x,y∗=−x+5yx^{ * } = 7x, \quad y^{ * } = - x + 5y

(2)

x∗=2x+y,y∗=2x+3yx^{ * } = 2x + y, \quad y^{ * } = 2x + 3y

(3)

x∗=5x−4y,y∗=4x−5yx^{ * } = 5x - 4y, \quad y^{ * } = 4x - 5y

(4)

x∗=8x+17y,y∗=17x+8yx^{ * } = 8x + 17y, \quad y^{ * } = 17x + 8y

(5)

x∗=2x,y∗=2yx^{ * } = 2x, \quad y^{ * } = 2y

(6)

x∗=x−y,y∗=−x+yx^{ * } = x - y, \quad y^{ * } = - x + y

(7)

x∗=11x−5y,y∗=12x−yx^{ * } = 11x - 5y, \quad y^{ * } = 12x - y

(8)

x∗=7x−2y,y∗=8x−yx^{ * } = 7x - 2y, \quad y^{ * } = 8x - y.

Задача 12.86

Доказать, что аффинное преобразование, заданное формулами x∗=ax+by,y∗=bx+cyx^{ * } = ax + by, y^{ * } = bx + cy, имеет два взаимно перпендикулярных собственных вектора.

?
Задача 12.87

Аффинное преобразование ff задается формулами x∗=a1x+b1y,y∗=a2x+b2yx^{ * } = a_{1} x + b_{1} y, y^{ * } = a_{2} x + b_{2} y, а преобразование f1f_{1} — формулами x∗=a1x+a2y,y∗=b1x+b2yx^{ * } = a_{1} x + a_{2} y, y^{ * } = b_{1} x + b_{2} y. Доказать, что главные направления преобразования ff совпадают с направлениями собственных векторов преобразования f1ff_{1} f.

?
Задача 12.88

Каждая точка плоскости M(x,y)M(x, y) отождествляется с комплексным числом z=x+iyz = x + iy. Доказать, что:

?
(1)

преобразование z↦Re⁡z=xz\mapsto \operatorname {Re} z = x является ортогональным проектированием на ось абсцисс

(2)

преобразование z↦zˉ=x−iyz\mapsto \bar{z} = x - iy является симметрией относительно оси абсцисс

(3)

преобразование z↦z+z0z\mapsto z + z_{0}, где z0=x0+iy0z_{0} = x_{0} + iy_{0} — фиксированное комплексное число, является параллельным переносом на вектор a(x0,y0)\mathbf{a}\left(x_{0}, y_{0}\right)

(4)

преобразование z↦azz\mapsto az, где aa — действительное число, не равное нулю, является гомотетией с центром в начале координат и коэффициентом aa

(5)

преобразование z↦(cos⁡φ+isin⁡φ)z=eiφz(φz\mapsto (\cos \varphi + i\sin \varphi ) z = e^{i\varphi } z(\varphi — фиксированное действительное число) является поворотом на угол φ\varphi вокруг начала координат.

Задача 12.89

Выяснить геометрический смысл преобразования ff комплексной плоскости (см. задачу 12. 88):

?
(1)

f(z)=azf(z) = az, где a=r(cos⁡φ+isin⁡φ),r>0a = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ), r > 0

(2)

f(z)=az+bf(z) = az + b, где a,ba, b — комплексные числа, a≠0a \neq 0.