Геометрические свойства линейных и аффинных преобразований плоскости (12.25-12.36)

Найти радиус — вектор образа произвольной точки $M(\mathbf{r})$ при данном преобразовании плоскости:

Аффинное преобразование переводит три точки $A$, $B, C$, не лежащие на одной прямой, соответственно в точки $B$, $C, A$. Найти неподвижные точки этого преобразования. При каком необходимом и достаточном условии преобразование будет ортогональным?

Аффинное преобразование переводит вершины треугольника $ABC$ в середины $K, L, M$ противолежащих им сторон. Найти образы точек $K, L, M$ и точки $O$ пересечения медиан треугольника $ABC$. Выяснить геометрический смысл этого преобразования.

Доказать, что:

Доказать, что аффинное преобразование, имеющее пучок инвариантных прямых, пересекающихся в точке $M$, является гомотетией с центром в точке $M$.

Доказать, что линейное преобразование плоскости тогда и только тогда будет аффинным, когда образ каждого ненулевого вектора отличен от нуля.

Доказать, что две касательные к эллипсу (или гиперболе) параллельны тогда и только тогда, когда точки касания и центр кривой лежат на одной прямой.

Доказать, что если эллипс касается стороны описанного около него параллелограмма в ее середине, то он касается остальных сторон этого параллелограмма также в их серединах.

Около эллипса с центром $O$ описан четырехугольник $ABCD$. Доказать, что сумма площадей треугольников $OAB$ и $OCD$ равна сумме площадей треугольников $OBC$ и $OAD$.

Доказать, что вершины ромба, описанного около эллипса, лежат на осях симметрии этого эллипса.

Точки $A, B, C, D$ лежат на эллипсе с центром $O$, причем площади секторов $AOB$ и $COD$ равны. Доказать, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ также равны.

Точки $A$ и $B$ лежат на эллипсе с центром $O$, длины болышой и малой полуосей которого равны $a$ и $b$ соответственно. Найти площадь сектора $AOB$, если угол $AOB$ равен $\varphi$, $0 < \varphi \leqslant \pi$, а точки $A$ и $B$ симметричны относительно большой оси эллипса.