Банк задач по математике

Задача 12.1

(1)(2)(3)(4)

Пусть $f: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ — отображение. Доказать, что:

?

(1)

если $\mathcal{A}_{1} \subseteq \mathcal{A}_{2} \subseteq \mathcal{X}$ , то $f\left(\mathcal{A}_{1}\right) \subseteq f\left(\mathcal{A}_{2}\right)$

(2)

$f\left(\mathcal{A}_{1} \cup \mathcal{A}_{2}\right) = f\left(\mathcal{A}_{1}\right) \cup f\left(\mathcal{A}_{2}\right)$

(3)

если $\mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{2} \subseteq f(\mathcal{X}) \subseteq \mathcal{Y}$ , то $f^{ - 1}\left(\mathcal{B}_{1} \cap \mathcal{B}_{2}\right) = f^{ - 1}\left(\mathcal{B}_{1}\right) \cap f^{ - 1}\left(\mathcal{B}_{2}\right)$

(4)

$f\left(\mathcal{A}_{1} \cap \mathcal{A}_{2}\right) \subseteq f\left(\mathcal{A}_{1}\right) \cap f\left(\mathcal{A}_{2}\right)$ . Может ли образ пересечения не совпадать с пересечением образов?

Задача 12.2

Сколькими способами можно установить взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, содержащими по $n$ элементов?

?

Задача 12.3

(1)(2)(3)

?

(1)

Сколько существует преобразований множества, состоящего из $n$ элементов? Сколько среди них взаимно однозначных?

(2)

Сколько возможностей имеется для множеств значений преобразований множества из $n$ элементов?

(3)

Сколько существует отображений множества из $m$ элементов в множество из $n$ элементов?

Задача 12.4

(1)(2)

Пусть $f: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}, \left|\mathcal{X}\right| = m, \left|\mathcal{Y}\right| = n$ . Может ли отображение $f$ быть:

?

(1)

Наложением при $n > m$ ?

(2)

Вложением при $n < m$ ?

Задача 12.5

(1)(2)(3)

Пусть $f: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ , где $\mathcal{X}, \mathcal{Y}$ — конечные множества, состоящие из одинакового числа элементов. Доказать равносильность следующих утверждений:

?

(1)

$f$ — вложение

(2)

$f$ — наложение

(3)

$f$ взаимно однозначно.

Задача 12.6

(1)(2)

Привести примеры таких отображений $f: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ бесконечных множеств $\mathcal{X}, \mathcal{Y}$ , что:

?

(1)

$f$ является наложением, но не вложением

(2)

$f$ является вложением, но не взаимно однозначно.

Задача 12.7

Установить взаимно однозначные соответствия между множеством всех натуральных чисел и данным множеством:

?

(1)

множество всех целых чисел

(2)

множество всех четных чисел

(3)

множество всех рациональных чисел

(4)

множество всех точек плоскости, координаты которых рациональны (рациональных точек)

(5)

множество всех интервалов на прямой с рациональными концами

(6)

множество всех кругов на плоскости с центрами в рациональных точках и рациональными радиусами

(7)

множество всех многочленов $p(x) = a_{0} + a_{1} x + \ldots + a_{n} x^{n} (n = 0, 1, 2, \ldots )$ с целочисленными коэффициентами $a_{i} \quad (i = 0, 1, \ldots , n)$ .

Задача 12.8

(1)(2)

Доказать, что:

?

(1)

между множеством всех целых чисел и множеством всех последовательностей чисел 0 и 1 нельзя установить взаимно однозначного соответствия

(2)

существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех последовательностей чисел 0 и 1.

Задача 12.9

(1)(2)

Пусть $\mathcal{X}, \mathcal{Y}$ — бесконечные множества, $f: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ — взаимно однозначное отображение и $\mathcal{Y} \cap \mathcal{Z} = \varnothing$ . Придумать взаимно однозначное отображение $\mathcal{X}$ на $\mathcal{Y} \cup \mathcal{Z}$ , если:

?

(1)

$\mathcal{Z}$ конечно

(2)

$\mathcal{Z}$ счетно.

Задача 12.10

Доказать, что у любого отображения $f: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ имеется не более одного обратного отображения.

?

Задача 12.11

(1)(2)

Придумать взаимно однозначное отображение прямой:

?

(1)

на интервал $(- 1, 1)$

(2)

на отрезок $\left[ - 1, 1\right]$ .

Задача 12.12

(1)(2)(3)

Придумать преобразование плоскости, которое взаимно однозначно отображает плоскость:

?

(1)

на открытый круг $x^{2} + y^{2} < 1$

(2)

на замкнутый круг $x^{2} + y^{2} \leqslant 1$

(3)

на квадрат $\left|x\right| < 1, \left|y\right| < 1$ (система координат — прямоугольная).

Задача 12.13

(1)(2)(3)

Дано линейное преобразование числовой прямой: $f(x) = ax + b$ ( $a, b$ — действительные числа). Доказать, что:

?

(1)

$f$ взаимно однозначно тогда и только тогда, когда $a \neq 0$

(2)

$f$ сохраняет направление векторов на прямой при $a > 0$ и меняет на противоположное при $a < 0$

(3)

при $a \neq 0$ образом интервала длины $l$ является интервал длины $\left|a\right| l$ .

Задача 12.14

(1)(2)

Дано преобразование $f(x) = ax + b$ числовой прямой. Найти:

?

(1)

неподвижные точки преобразования $f$

(2)

преобразование, обратное к преобразованию $f(a \neq 0)$ .

Задача 12.15

Написать формулу, задающую линейное отображение интервала $(a, b)$ на интервал $(c, d)$ числовой прямой.

?

Задача 12.16

Даны линейные преобразования $f$ и $g$ числовой прямой: $f(x) = ax + b, g(x) = cx + d$ . Найти произведения $fg$ и $gf$ . В каком случае $fg = gf$ ?

?

Задача 12.17

(1)(2)(3)

Отображение $f$ числовой прямой в плоскость задано формулами в прямоугольной системе координат: $x = a\cos t$ , $y = b\sin t\quad (a > 0, \quad b > 0)$ .

?

(1)

Найти образ $\mathcal{S}$ прямой при отображении $f$ .

(2)

Является ли отображение $f$ вложением?

(3)

Указать какие — либо множества на прямой, которые взаимно однозначно отображаются на $\mathcal{S}$ .

Задача 12.18

(1)(2)(3)

Отображение $f$ числовой прямой в плоскость задано формулами в прямоугольной системе координат: $x = - \operatorname {ch} t$ , $y = \operatorname {sh} t$ .

?

(1)

Найти образ $\mathcal{S}$ прямой при отображении $f$ .

(2)

Является ли отображение $f$ вложением?

(3)

Найти прообраз $t$ каждой точки из $\mathcal{S}$ .

Задача 12.19

(1)(2)

Преобразование $f$ плоскости задано в прямоугольной системе координат формулами: $x^{ * } = x^{2} - y^{2}, y^{ * } = 2xy$ .

?

(1)

Является ли преобразование $f:$

(1) наложением,

(2) взаимно однозначным?

(2)

Найти полный прообраз произвольной точки $\left(x^{ * }, y^{ * }\right)$ плоскости.

Задача 12.20

(1)(2)(3)

Преобразование $f$ плоскости задано в прямоугольной системе координат формулами: $x^{ * } = e^{x} \cos y, y^{ * } = e^{x} \sin y$ .

?

(1)

Является ли преобразование $f$ взаимно однозначным?

(2)

Выделить на плоскости области, на которых $f$ взаимно однозначно.

(3)

Пусть $\bar{f}$ — ограничение преобразования $f$ на полосе $0 < y < \pi$ . Найти формулы, задающие обратное к $\bar{f}$ отображение.

Задача 12.21

Даны отображения $f: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}, g: \mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{Z}$ и $h: \mathcal{Z} \rightarrow \mathcal{U}$ . Доказать ассоциативность умножения отображений, т. е. равенство $h(gf) = (hg) f$ .

?

Задача 12.22

Пусть $\mathcal{X}, \mathcal{Y}$ — непустые множества, $\mathcal{Z} = \mathcal{X} \times \mathcal{Y}$ . Отображение $\pi : \mathcal{Z} \rightarrow \mathcal{Y}$ (проектирование $\mathcal{Z}$ на $\mathcal{Y}$ ) определяется равенством $\pi ((x, y)) = y$ . Показать, что $\pi$ — наложение.

?

Задача 12.23

Показать, что для всякого множества $\mathcal{X}$ существует вложение $\delta : \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X} \times \mathcal{X}$ .

?

Задача 12.24

(1)(2)(3)(4)

Графиком отображения $f: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ называется подмножество $\Gamma = \left\{ (x, f(x)) \mid x\in \mathcal{X}\right\} \subseteq \mathcal{X} \times \mathcal{Y}$ .

?

(1)

Найти образ множества $\mathcal{X}$ при отображении $\varphi : \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X} \times \mathcal{Y}$ , определяемом равенством $\varphi (x) = (x, f(x))$ .

(2)

Доказать, что $f = \pi \varphi$ (определение $\pi$ см. 12. 22).

(3)

Доказать, что отображение $f$ является вложением тогда и только тогда, когда вложением является $\varphi$ .

(4)

Доказать, что $f$ является наложением тогда и только тогда, когда $\pi (\Gamma ) = \mathcal{Y}$ .

Общие свойства отображений (12.1-12.24)