§ 26

Геометрия евклидова пространства

[74/70%]
Показать
LaTeX
Подпараграф
26.1 · Ортогональное дополнение подпространства (26.1-26.21)[21/67%]
Задача 26.1

Пусть aa — ненулевой вектор nn-мерного евклидова пространства. Доказать, что уравнение (a,x)=0(a, x) = 0 определяет подпространство размерности n−1n - 1.

?
Задача 26.2

Пусть множества PP и QQ векторов евклидова пространства таковы, что (x,y)=0(x, y) = 0 для любых x∈Px \in P и y∈Qy \in Q. Доказать, что линейные оболочки этих множеств ортогональны.

?
Задача 26.3

В евклидовом пространстве E\mathcal{E} найти ортогональные дополнения

?
(1)

нулевого подпространства

(2)

пространства E\mathcal{E}.

Задача 26.4

Пусть подпространства L1,…,Ls\mathcal{L}_{1}, \ldots , \mathcal{L}_{s} евклидова пространства попарно ортогональны. Доказать, что L1+…+Ls\mathcal{L}_{1} + \ldots + \mathcal{L}_{s} — прямая сумма.

?
Задача 26.5

Доказать следующие свойства операции перехода к ортогональному дополнению:

?
(1)

(L1+L2)⊥=L1⊥∩L2⊥\left(\mathcal{L}_{1} + \mathcal{L}_{2}\right)^{\perp } = \mathcal{L}_{1}^{\perp } \cap \mathcal{L}_{2}^{\perp }

(2)

(L1∩L2)⊥=L1⊥+L2⊥\left(\mathcal{L}_{1} \cap \mathcal{L}_{2}\right)^{\perp } = \mathcal{L}_{1}^{\perp } + \mathcal{L}_{2}^{\perp }

(3)

(L⊥)⊥=L\left(\mathcal{L}^{\perp }\right)^{\perp } = \mathcal{L}.

Задача 26.6

Подпространства L1\mathcal{L}_{1} и L2\mathcal{L}_{2} ортогональны. Обязательно ли ортогональны L1⊥\mathcal{L}_{1}^{\perp } и L2⊥\mathcal{L}_{2}^{\perp }?

?
Задача 26.7

Найти нормированный вектор, ортогональный заданным:

?
(1)

[404],[265]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 6 \\ 5 \end{smallmatrix}\right], базис ортонормированный

(2)

[2321],[1012],[0100]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], базис ортонормированный

(3)

[31]\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], базис с матрицей Грама A56\mathbf{A}_{56}. A56=[1113]\mathbf{A}_{56} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(4)

[−110],[011]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], базис с матрицей Грама A207\mathbf{A}_{207}. A207=[12025−20−25]\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.8

Подпространство L\mathcal{L} задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений Aξ=oA\xi = \mathbf{o}. Найти:

?
(1)

базис в L⊥\mathcal{L}^{\perp }

(2)

систему уравнений подпространства L⊥\mathcal{L}^{\perp }.

Задача 26.9

Пусть a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} — базис подпространства L\mathcal{L}, и координатные столбцы векторов a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} в ортонормированном базисе пространства E\mathcal{E} составляют матрицу AA. Найти:

?
(1)

базис в L⊥\mathcal{L}^{\perp }

(2)

систему уравнений подпространства L⊥\mathcal{L}^{\perp }.

Задача 26.10

Решите с помощью геометрических соображений задачу 18. 20.

?
Задача 26.11

Подпространство L\mathcal{L} задано в базисе ee с матрицей Грама Γ\Gamma системой линейных уравнений Aξ=oA\xi = \mathbf{o}. Найти:

?
(1)

базис в L⊥\mathcal{L}^{\perp }

(2)

матрицу системы уравнений подпространства L⊥\mathcal{L}^{\perp }.

Задача 26.12

Пусть a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} — базис подпространства L\mathcal{L}, и координатные столбцы векторов a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} в базисе ee пространства E\mathcal{E} составляют матрицу AA. Дана матрица Грама Γ\Gamma базиса е. Найти:

?
(1)

базис в L⊥\mathcal{L}^{\perp }

(2)

матрицу системы уравнений подпространства L⊥\mathcal{L}^{\perp }.

Задача 26.13

Подпространство L\mathcal{L} задано как линейная оболочка векторов, имеющих в ортонормированном базисе координатные столбцы:

?
(1)

[312]\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right];

(2)

[1−51]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -5 \\ 1\end{smallmatrix}\right], [−111]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right];

(3)

[3−1591]\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -15 \\ 9 \\ 1\end{smallmatrix}\right], [3−6−32]\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ - 6 \\ - 3 \\ 2\end{smallmatrix}\right];

(4)

[43−32]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ -3 \\ 2\end{smallmatrix}\right], [−132−3]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \\ -3\end{smallmatrix}\right], [291−4]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 9 \\ 1 \\ -4\end{smallmatrix}\right].

Найти:

(1) матрицу системы уравнений, определяющей L⊥\mathcal{L}^{\perp },

(2) базис в L⊥\mathcal{L}^{\perp }.

Задача 26.14

Подпространство L\mathcal{L} задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений Aξ=oA\xi = \mathbf{o}. Найти базис подпространства L⊥\mathcal{L}^{\perp }, если матрица AA равна:

?
(1)

[321]\left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right]

(2)

[1−51−111]\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 5 & 1 \\ - 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

[13−122−135110−61]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & - 1 & 2 \\ 2 & - 1 & 3 & 5 \\ 1 & 10 & - 6 & 1\end{smallmatrix}\right]

(4)

[1−5−61151−4318715]\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 5 & - 6 & 11 \\ 5 & 1 & - 4 & 3 \\ 1 & 8 & 7 & 15\end{smallmatrix}\right]

(5)

A519\mathbf{A}_{519}. A519=[12313211231−122215520]\mathbf{A}_{519} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \\ 5 & 5 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A582\mathbf{A}_{582}. A582=[33−3−341−111−221−1−11]\mathbf{A}_{582} = \left[\begin{smallmatrix} 3 & 3 & -3 & -3 & 4 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A518\mathbf{A}_{518}. A518=[0−22−816824−1604−416]\mathbf{A}_{518} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & -2 & 2 & -8 \\ 16 & 8 & 24 & -16 \\ 0 & 4 & -4 & 16 \end{smallmatrix}\right].

(8)

A514\mathbf{A}_{514}. A514=[2−3574−6232−3−11−15]\mathbf{A}_{514} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -3 & 5 & 7 \\ 4 & -6 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & -11 & -15 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.15

Подпространство L\mathcal{L} задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений Aξ=oA\xi = \mathbf{o}. Найти систему уравнений подпространства L⊥\mathcal{L}^{\perp }:

?
(1)

x1−x2+x3+x4=08x1−x2+2x3+4x4=011x1+2x2−x3−x4=0\begin{aligned} & x_{1} - x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 \\ & 8x_{1} - x_{2} + 2x_{3} + 4x_{4} = 0 \\ & 11x_{1} + 2x_{2} - x_{3} - x_{4} = 0\end{aligned}

(2)

8x1−x2+2x3−4x4=0−6x1+3x2−4x3+6x4=0\begin{aligned} & 8x_{1} - x_{2} + 2x_{3} - 4x_{4} = 0 \\ & - 6x_{1} + 3x_{2} - 4x_{3} + 6x_{4} = 0\end{aligned}

(3)

3x1+5x2+x3+3x4+11x5=04x1+7x2+2x3+5x4+16x5=0\begin{aligned} & 3x_{1} + 5x_{2} + x_{3} + 3x_{4} + 11x_{5} = 0 \\ & 4x_{1} + 7x_{2} + 2x_{3} + 5x_{4} + 16x_{5} = 0\end{aligned}

(4)

5x1+24x2−7x3−3x4=0−x1−2x2+7x3+3x4=0\begin{aligned} 5x_{1} + 24x_{2} - 7x_{3} - 3x_{4} & = 0 \\ - x_{1} - 2x_{2} + 7x_{3} + 3x_{4} & = 0\end{aligned}

(5)

Система уравнений имеет матрицу

(1) A573\mathbf{A}_{573},

(2) A583\mathbf{A}_{583}. A573=[0011101001],A583=[−2111−11−12−117−51−55]\mathbf{A}_{573} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{583} = \left[\begin{smallmatrix} -2 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 & 1 \\ 7 & -5 & 1 & -5 & 5 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.16

Найти:

(1) базис в L⊥\mathcal{L}^{\perp };

(2) матрицу системы уравнений подпространства L⊥\mathcal{L}^{\perp }, если подпространство L\mathcal{L} задано в базисе e\mathbf{e} с матрицей Грама Γ\Gamma системой линейных уравнений Aξ=oA\xi = \mathbf{o}:

?
(1)

A=[121],Γ=A207A =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \Gamma = \mathbf{A}_{207}. A207=[12025−20−25]\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=[101110],Γ=A385A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{smallmatrix}\right], \Gamma = \mathbf{A}_{385}. A385=[1−23−25−83−814]\mathbf{A}_{385} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 5 & -8 \\ 3 & -8 & 14 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=[312111],Γ=A386A =\left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \Gamma = \mathbf{A}_{386}. A386=[20−1021−112]\mathbf{A}_{386} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A=[−11011−210],Γ=A424A =\left[\begin{smallmatrix} - 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 & 0\end{smallmatrix}\right], \Gamma = \mathbf{A}_{424}. A424=[200−102−100−120−1002]\mathbf{A}_{424} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.17

Найти

(1) базис в L⊥\mathcal{L}^{\perp };

(2) систему уравнений подпространства L⊥\mathcal{L}^{\perp }, если a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} — базис подпространства L\mathcal{L}, и координатные столбцы векторов a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k} в базисе ee пространства E\mathcal{E} составляют матрицу AA. При этом дана матрица Грама Γ\Gamma базиса е:

?
(1)

A=[112],Γ=A207A =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{207}. A207=[12025−20−25]\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=[112011]A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right], Γ=A385\Gamma = \mathbf{A}_{385}. A385=[1−23−25−83−814]\mathbf{A}_{385} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 5 & -8 \\ 3 & -8 & 14 \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=[111112],Γ=A386A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{386}. A386=[20−1021−112]\mathbf{A}_{386} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A=[12211122],Γ=A424A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 2\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{424}. A424=[200−102−100−120−1002]\mathbf{A}_{424} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.18

В пространстве квадратных матриц со стандартным скалярным произведением найти ортогональное дополнение подпространства

?
(1)

матриц со следом, равным нулю

(2)

верхних треугольных матриц.

Задача 26.19

В пространстве многочленов степени не выше nn со стандартным скалярным произведением найти ортогональное дополнение подпространства многочленов четной степени.

?
Задача 26.20

Пусть евклидово пространство E\mathcal{E} — прямая сумма подпространств Li(i=1,…,s)\mathcal{L}_{i}(i = 1, \ldots , s), и x=∑xix = \sum x_{i}, y=∑yiy = \sum y_{i} (xi,yi∈Li)\left(x_{i}, y_{i} \in \mathcal{L}_{i}\right). Доказать, что подпространства Li\mathcal{L}_{i} попарно ортогональны, если (x,y)=∑(xi,yi)(x, y) = \sum \left(x_{i}, y_{i}\right) для любых xx и yy.

?
Задача 26.21
?
(1)

Для нахождения коэффициентов разложения вектора b⃗\vec{b} по векторам a1→\overrightarrow {a_{1}} и a2→\overrightarrow {a_{2}} составлена система из трех линейных уравнений с двумя неизвестными. Установить, что теорема Фредгольма для этой системы равносильна следующему (геометрически очевидному) утверждению: вектор b⃗\vec{b} раскладывается по a1→\overrightarrow {a_{1}} и a2→\overrightarrow {a_{2}} тогда и только тогда, когда он ортогонален каждому вектору y⃗\vec{y}, ортогональному этим векторам.

(2)

Доказать теорему Фредгольма, пользуясь результатом задачи 26.5,3)26. 5, 3).

Подпараграф
26.2 · Ортогональные проекции (26.22-26.41)[20/65%]
Задача 26.22

В евклидовом пространстве E\mathcal{E} задан вектор xx. Найти его ортогональную проекцию и ортогональную составляющую при проектировании

?
(1)

на нулевое подпространство;

(2)

на E\mathcal{E}.

Задача 26.23

В подпространстве L⊂E\mathcal{L} \subset \mathcal{E} задан базис a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k}. В ортонормированном базисе пространства E\mathcal{E} координатные столбцы этих векторов составляют матрицу AA. Вектор x∈Ex\in \mathcal{E} задан своим координатным столбпом ξ\xi. Найти ортогональные проекции x′x^{\prime } и x′′x^{\prime \prime } вектора xx на L\mathcal{L} и L⊥\mathcal{L}^{\perp }.

?
Задача 26.24

В ортонормированном базисе подпространство L\mathcal{L} задано системой линейных уравнений с матрицей AA (строки AA линейно независимы). Вектор xx задан своим координатным столбцом ξ\xi. Найти ортогональные проекции x′x^{\prime } и x′′x^{\prime \prime } вектора xx на L\mathcal{L} и L⊥\mathcal{L}^{\perp }.

?
Задача 26.25

В пространстве E\mathcal{E} выбран базис ee с матрицей Грама Γ\Gamma. Подпространство L\mathcal{L} натянуто на линейно независимые векторы a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k}, координатные столбцы которых составляют матрицу AA. Вектор x∈Ex\in \mathcal{E} задан своим координатным столбцом ξ\xi. Найти ортогональные проекции x′x^{\prime } и x′′x^{\prime \prime } вектора xx на L\mathcal{L} и L⊥\mathcal{L}^{\perp }.

?
Задача 26.26

В базисе ee с матрицей Грама Γ\Gamma подпространство L\mathcal{L} задано системой линейных уравнений с матрицей AA (строки AA линейно независимы). Вектор xx задан своим координатным столбцом ξ\xi. Найти ортогональные проекции x′x^{\prime } и x′′x^{\prime \prime } вектора xx на L\mathcal{L} и L⊥\mathcal{L}^{\perp }.

?
Задача 26.27

Подпространство L\mathcal{L} — линейная оболочка векторов a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k}. В ортонормированном базисе заданы координатные столбцы этих векторов и координатный столбец ξ\xi вектора xx. Найти координатные столбцы ξ′\xi^{\prime } и ξ′′\xi^{\prime \prime } ортогональных проекций вектора xx соответственно на L\mathcal{L} и L⊥\mathcal{L}^{\perp }:

?
(1)

a1=[1055],ξ=[300]\mathbf{a}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 10 \\ 5 \\ 5\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 0 \\ 0\end{smallmatrix}\right]

(2)

a1=[615],a2=[4−13],ξ=[13−2]\mathbf{a}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 6 \\ 1 \\ 5\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a}_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ - 1 \\ 3\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ - 2\end{smallmatrix}\right]

(3)

a1=[2112],ξ=[5370]\mathbf{a}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 3 \\ 7 \\ 0\end{smallmatrix}\right]

(4)

a1=[3−211],a2=[10−11]\mathbf{a}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ - 2 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], ξ=[2−13−2]\xi =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \\ - 2\end{smallmatrix}\right]

(5)

a1=[2301],a2=[05−2−1],ξ=[6042]\mathbf{a}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 5 \\ - 2 \\ - 1\end{smallmatrix}\right], \xi =\left[\begin{smallmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \\ 2\end{smallmatrix}\right]

(6)

a1=[43−32],a2=[291−4]\mathbf{a}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ - 3 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a}_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 9 \\ 1 \\ - 4\end{smallmatrix}\right], a3=[−132−3],ξ=[24−13]\mathbf{a}_{3} =\left[\begin{smallmatrix} - 1 \\ 3 \\ 2 \\ - 3\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 4 \\ - 1 \\ 3\end{smallmatrix}\right]

(7)

a1=[31−2−2],a2=[31−1−3]\mathbf{a}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \\ - 2 \\ - 2\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a}_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \\ - 1 \\ - 3\end{smallmatrix}\right], a3=[3−10−2],ξ=[64−2−4]\mathbf{a}_{3} =\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ - 1 \\ 0 \\ - 2\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 6 \\ 4 \\ - 2 \\ - 4\end{smallmatrix}\right]

(8)

a1=[3112],a2=[4021],a3=[8023]\mathbf{a}_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a}_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \mathbf{a}_{3} =\left[\begin{smallmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \\ 3\end{smallmatrix}\right], ξ=[−7131]\xi =\left[\begin{smallmatrix} - 7 \\ 1 \\ 3 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(9)

a1=c201,a2=c202,ξ=c168\mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{201}, \quad \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{202}, \quad \xi = \mathbf{c}_{168}. c201=[1−75−2],c202=[1013],c168=[0100]\mathbf{c}_{201} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -7 \\ 5 \\ -2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{202} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{168} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right].

(10)

a1=c176,a2=c161,ξ=c193\mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{176}, \quad \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{161}, \quad \xi = \mathbf{c}_{193}. c176=[−11−2−1],c161=[1301],c193=[0001]\mathbf{c}_{176} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{161} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{193} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(11)

a1=c236,a2=c271,a3=c283,ξ=c232\mathbf{a}_{1} = \mathbf{c}_{236}, \mathbf{a}_{2} = \mathbf{c}_{271}, \quad \mathbf{a}_{3} = \mathbf{c}_{283}, \quad \xi = \mathbf{c}_{232}. c236=[−2−1012],c271=[1−12−11],c283=[1−2−3−21],c232=[220−2−2]\mathbf{c}_{236} = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{271} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ -1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{283} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \\ -2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{232} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \\ -2 \\ -2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.28

В ортонормированном базисе подпространство L\mathcal{L} задано системой линейных уравнений с матрицей AA, а вектор xx — координатным столбцом ξ\xi. Найти проекции xx на L\mathcal{L} и на L⊥:\mathcal{L}^{\perp }:

?
(1)

A=[111],ξ=[123]A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{smallmatrix}\right]

(2)

A=[32−5−1−12],ξ=[426]A =\left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 2\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 2 \\ 6\end{smallmatrix}\right]

(3)

A=[11111],ξ=[54321]A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(4)

A=[2−3513−561],ξ=[7−594]A =\left[\begin{smallmatrix} 2 & - 3 & 5 & 1 \\ 3 & - 5 & 6 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 7 \\ - 5 \\ 9 \\ 4\end{smallmatrix}\right]

(5)

A=[435−2324−1],ξ=[−2420]A =\left[\begin{smallmatrix} 4 & 3 & 5 & -2 \\ 3 & 2 & 4 & - 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 4 \\ 2 \\ 0\end{smallmatrix}\right]

(6)

A=[1031341018311],ξ=[8−53−1]A =\left[\begin{smallmatrix} 10 & 3 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 0 & 1 \\ 8 & 3 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 8 \\ - 5 \\ 3 \\ - 1\end{smallmatrix}\right].

Задача 26.29

Для векторов и подпространств, заданных в задаче 26. 28:

?
(1)

A=[111],ξ=[123]A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{smallmatrix}\right]

(2)

A=[32−5−1−12],ξ=[426]A =\left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 2\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 2 \\ 6\end{smallmatrix}\right]

(3)

A=[11111],ξ=[54321]A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(4)

A=[2−3513−561],ξ=[7−594]A =\left[\begin{smallmatrix} 2 & - 3 & 5 & 1 \\ 3 & - 5 & 6 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 7 \\ - 5 \\ 9 \\ 4\end{smallmatrix}\right]

(5)

A=[435−2324−1],ξ=[−2420]A =\left[\begin{smallmatrix} 4 & 3 & 5 & -2 \\ 3 & 2 & 4 & - 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 4 \\ 2 \\ 0\end{smallmatrix}\right]

(6)

A=[1031341018311],ξ=[8−53−1]A =\left[\begin{smallmatrix} 10 & 3 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 0 & 1 \\ 8 & 3 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 8 \\ - 5 \\ 3 \\ - 1\end{smallmatrix}\right].

найти координаты вектора yy, получаемого отражением вектора xx в подпространстве L\mathcal{L}.

Задача 26.30

Найти ортогональную проекцию многочлена 35t4+15t3−15t2−8t+435t^{4} + 15t^{3} - 15t^{2} - 8t + 4 на подпространство многочленов степени не выше 2 в пространстве многочленов:

?
(1)

со стандартным скалярным произведением

(2)

со скалярным произведением, определенным в задаче 25. 8(3).

Задача 26.31

В пространстве многочленов со стандартным скалярным произведением найти расстояние от многочлена tnt^{n} до линейной оболочки многочленов 1,t,…,tn−11, t, \ldots , t^{n - 1}:

?
(1)

при n=2n = 2

(2)

при n=3n = 3.

Задача 26.32

Пусть f1,…,fkf_{1}, \ldots , f_{k} базис подпространства L\mathcal{L}. Доказать, что ортогональная проекция произвольного вектора xx на L\mathcal{L} равна сумме его проекций на одномерные подпространства, натянутые на f1,…,fkf_{1}, \ldots , f_{k}, тогда и только тогда, когда базис ортогональный.

?
Задача 26.33

Пусть для любого вектора x∈Ex\in \mathcal{E} сумма его ортогональных проекций на подпространства L1,L2⊂E\mathcal{L}_{1}, \mathcal{L}_{2} \subset \mathcal{E} равна ортогональной проекции xx на их сумму L1+L2\mathcal{L}_{1} + \mathcal{L}_{2}. Доказать, что подпространства L1\mathcal{L}_{1} и L2\mathcal{L}_{2} ортогональны.

?
Задача 26.34

Рассматривается пространство функций, непрерывных на отрезке [−1,1]\left[ - 1, 1\right], со скалярным произведением, опреде — ленным в задаче 25. 7. Ортогональную проекцию функции ff на подпространство Pk\mathcal{P}_{k} многочленов степени не выше kk, разложить по базису, состоящему из многочленов Лежандра Pi(t)P_{i}(t) (задача 25. 9).

?
Задача 26.35

Пусть x′x^{\prime } — ортогональная проекция xx на подпространство. Доказать, что ∣x′∣⩽∣x∣\left|x^{\prime }\right| \leqslant \left|x\right|, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда x′=xx^{\prime } = x

?
Задача 26.36

Пусть x′x^{\prime } — ортогональная проекция xx на подпространство L⊂E\mathcal{L} \subset \mathcal{E}, а x′′x^{\prime \prime } — ортогональная составляющая. Доказать, что для любого вектора y∈Ly\in \mathcal{L}, отличного от x′x^{\prime }, выполнено ∣x′′∣<∣x−y∣\left|x^{\prime \prime }\right| < \left|x - y\right|

?
Задача 26.37

Пусть Li,(i=1,…,s)\mathcal{L}_{i}, \quad (i = 1, \ldots , s) попарно ортогональные подпространства евклидова пространства. Доказать, что сумма квадратов длин проекций произвольного вектора xx на эти подпространства не превосходит ∣x∣2\left|x\right|^{2}, и эта граница достигается, если xx принадлежит сумме подпространств.

?
Задача 26.38

Рассмотрим два подпространства L1⊆L2\mathcal{L}_{1} \subseteq \mathcal{L}_{2}. Обозначим через L′\mathcal{L}^{\prime } ортогональное дополнение L1\mathcal{L}_{1} в L2\mathcal{L}_{2}, а x1,x2x_{1}, x_{2} и x′x^{\prime } ортогональные проекции вектора xx на подпространства L1,L2\mathcal{L}_{1}, \mathcal{L}_{2} и L′\mathcal{L}^{\prime }. Доказать, что:

?
(1)

x2=x1+x′x_{2} = x_{1} + x^{\prime }

(2)

∣x1∣⩽∣x2∣\left|x_{1}\right| \leqslant \left|x_{2}\right|, причем для любого xx равенство имеет место тогда и только тогда, когда L1=L2\mathcal{L}_{1} = \mathcal{L}_{2}.

Задача 26.39

Пусть L\mathcal{L} — kk-мерное подпространство nn-мерного евклидова пространства E\mathcal{E}. Пусть также e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n} — ортонормированный базис в E\mathcal{E}, а e1′,…,en′e_{1}^{\prime }, \ldots , e_{n}^{\prime } ортогональные проекции этих векторов на L\mathcal{L}. Доказать, что ∑i=1k∣ei′∣2=k\sum_{i = 1}^{k} \left|e_{i}^{\prime }\right|^{2} = k.

?
Задача 26.40
[НЕТ УСЛОВИЯ]
Задача 26.41

Пусть e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n} — ортонормированный базис в евклидовом пространстве и система векторов g1,…,gng_{1}, \ldots , g_{n} такова, что ∑i=1ncos⁡(e^i,gi)⩾(2n−1)/2\sum_{i = 1}^{n} \cos \left(\widehat{e}_{i}, g_{i}\right) \geqslant (2n - 1) / 2. Доказать, что эта система векторов линейно независима.

?
Подпараграф
26.3 · Ортогонализация (26.42-26.48)[7/86%]
Задача 26.42

Ортогонализовать следующие системы векторов арифметического пространства со стандартным скалярным произведением:

?
(1)

[13−2]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ -2\end{smallmatrix}\right], [37−2]\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 7 \\ -2\end{smallmatrix}\right];

(2)

[210−1],[3626]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ - 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 6 \\ 2 \\ 6\end{smallmatrix}\right]

(3)

[131],[513],[16−8]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 1 \\ 3\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 6 \\ - 8\end{smallmatrix}\right]

(4)

[212],[622],[14−3]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 6 \\ 2 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \\ - 3\end{smallmatrix}\right]

(5)

[123],[211],[6−7−2]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 6 \\ -7 \\ - 2\end{smallmatrix}\right]

(6)

[1212]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right], [4041]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 1\end{smallmatrix}\right], [113−1−3]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 13 \\ -1 \\ -3\end{smallmatrix}\right]

(7)

[1−1−11]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], [2332]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \\ 2\end{smallmatrix}\right], [4402]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \\ 2\end{smallmatrix}\right], [1−5−5−1]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -5 \\ -5 \\ -1\end{smallmatrix}\right]

Задача 26.43

В евклидовом пространстве E\mathcal{E} выбран ортонормированный базис е. В нем заданы координаты векторов базиса а подпространства L⊆E\mathcal{L} \subseteq \mathcal{E}. С помощџю процесса ортогонализации найти в ee координатные столбцы векторов ортонормированного базиса в L\mathcal{L} и выписать матрицу перехода от базиса а к этому базису:

?
(1)

[31],[9−7]\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 9 \\ -7\end{smallmatrix}\right]

(2)

[110],[20−1],[003]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \\ - 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 3\end{smallmatrix}\right]

(3)

[11−22]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ -2\sqrt{2}\end{smallmatrix}\right], [3−1−2]\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -1 \\ -\sqrt{2}\end{smallmatrix}\right], [42−2]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 2 \\ -\sqrt{2}\end{smallmatrix}\right]

(4)

[111−1]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ - 1\end{smallmatrix}\right], [331−1]\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \\ - 1\end{smallmatrix}\right], [31−13]\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \\ - 1 \\ 3\end{smallmatrix}\right], [1−133]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ - 1 \\ 3 \\ 3\end{smallmatrix}\right]

(5)

[1212]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right], [2301]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ 1\end{smallmatrix}\right], [32−12]\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \\ 2\end{smallmatrix}\right], [4121]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(6)

[1423]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \\ 3\end{smallmatrix}\right], [1503]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 5 \\ 0 \\ 3\end{smallmatrix}\right], [−1927]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 9 \\ 2 \\ 7\end{smallmatrix}\right]

(7)

[4−2−10],[9−2−20],[−3−1111]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \\ 0\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 9 \\ -2 \\ -2 \\ 0\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} -3 \\ -1 \\ 11 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(8)

[1213],[4326],[43−74]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \\ 6\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ -7 \\ 4\end{smallmatrix}\right]

Задача 26.44

Ортогонализовать и нормировать систему векторов, заданных в базисе ee своими координатными столбцами. Матрица Грама Γ\Gamma базиса ee задана:

?
(1)

[13],[24],Γ=A19\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 4\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{19}. A19=[1112]\mathbf{A}_{19} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

[120]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 0\end{smallmatrix}\right], [203]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \\ 3\end{smallmatrix}\right], [186]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 8 \\ 6\end{smallmatrix}\right], Γ=A387\Gamma = \mathbf{A}_{387}. A387=[210121012]\mathbf{A}_{387} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(3)

[111]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], [421]\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right], [19−8]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 9 \\ - 8\end{smallmatrix}\right], Γ=A386\Gamma = \mathbf{A}_{386}. A386=[20−1021−112]\mathbf{A}_{386} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

[−321]\left[\begin{smallmatrix} - 3 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right], [−854]\left[\begin{smallmatrix} - 8 \\ 5 \\ 4\end{smallmatrix}\right], [240]\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 4 \\ 0\end{smallmatrix}\right], Γ=A207\Gamma = \mathbf{A}_{207}. A207=[12025−20−25]\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.45
?
(1)

С помощью процесса ортогонализации доказать, что невырожденная квадратная матрица может быть разло — жена в произведение ортогональной матрицы QQ и верхней треугольной матрицы RR с положительными диагональными элементами (QR — разложение).

(2)

Доказать единственность QRQR — разложения невырожденной матрицы.

Задача 26.46

Получить QRQR — разложение данной матрицы (задача 26. 45):

?
(1)

[1−216]\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 2 \\ 1 & 6\end{smallmatrix}\right]

(2)

[391−7]\left[\begin{smallmatrix} 3 & 9 \\ 1 & - 7\end{smallmatrix}\right]

(3)

[12010001−1]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1\end{smallmatrix}\right]

(4)

[1341−12−22−22−2]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & - 1 & 2 \\ - 2\sqrt{2} & - 2\sqrt{2} & - \sqrt{2}\end{smallmatrix}\right]

(5)

[1331131−111−13−1−133]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 3 \\ - 1 & - 1 & 3 & 3\end{smallmatrix}\right]

(6)

[1234232110−122121]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 1\end{smallmatrix}\right].

Задача 26.47

Доказать, что матрица Грама произвольного базиса может быть разложена в произведение Γ=RTR\Gamma = R^{T} R, где RR — верхняя треугольная матрица с положительными элементами на диагонали. (Сравнить это с задачей 25. 29.)

?
Задача 26.48

В евклидовом пространстве известна матрица Грама базиса f\mathbf{f}. Найти матрицу перехода к ортонормированному базису, получаемому ортогонализацией f\mathbf{f}:

?
(1)

Γ=[25513]\Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 13\end{smallmatrix}\right]

(2)

Γ=[13313]\Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 13\end{smallmatrix}\right]

(3)

Γ=[1232583814]\Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 8 & 14\end{smallmatrix}\right]

(4)

Γ=[40040440048040020]\Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 4 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 8 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 20\end{smallmatrix}\right].

Подпараграф
26.4 · Объем (26.49-26.54)[6/67%]
Задача 26.49

Доказать, что детерминант матрицы Грама системы векторов не меняется при ортогонализации этой системы (без нормировки векторов).

?
Задача 26.50

Найти объем параллелепипеда, построенного на заданных векторах. Координатные столбцы векторов в ортонормированном базисе составляют матрицу:

?
(1)

A617\mathbf{A}_{617} при n=4n = 4. A617=[111…11011…11………………000…11000…01]\mathbf{A}_{617} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

[111111−1110−11]\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

A395\mathbf{A}_{395}. A395=[143032010021]\mathbf{A}_{395} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

A397\mathbf{A}_{397}. A397=[013235357340]\mathbf{A}_{397} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \\ 3 & 4 & 0 \end{smallmatrix}\right].

(5)

A398\mathbf{A}_{398}. A398=[−1−1−1100010001]\mathbf{A}_{398} = \left[\begin{smallmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(6)

A412\mathbf{A}_{412}. A412=[00111−5100010003]\mathbf{A}_{412} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -5 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{smallmatrix}\right].

(7)

A436\mathbf{A}_{436}. A436=[1111101100100011]\mathbf{A}_{436} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.51

Найти объем параллелепипеда, построенного на за — данных векторах. Координатные столбщы векторов в базисе е. составляют матрицу AA. Матрица Грама базиса ee равна Γ\Gamma:

?
(1)

A=A402,Γ=[2100121001210012]A = \mathbf{A}_{402}, \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{smallmatrix}\right]. A402=[100100010001]\mathbf{A}_{402} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right].

(2)

A=A404,Γ=A630A = \mathbf{A}_{404}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{630} при n=4n = 4. A404=[100010001−2−33],A630=[111…11121…11113…11………………111…1n]\mathbf{A}_{404} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & -3 & 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{630} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & \ldots & 1 & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & n \end{smallmatrix}\right].

(3)

A=A397,Γ=A424A = \mathbf{A}_{397}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{424}. A397=[013235357340],A424=[200−102−100−120−1002]\mathbf{A}_{397} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \\ 3 & 4 & 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{424} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.52

Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах f1,…,fnf_{1}, \ldots , f_{n}, не превосходит произведения длин его ребер:

V{f1,…,fn}=det⁡Γ(f1,…,fn)⩽∣f1∣2…∣fn∣2, V\left\{ f_{1}, \ldots , f_{n}\right\} = \operatorname {det} \Gamma \left(f_{1}, \ldots , f_{n}\right) \leqslant \left|f_{1}\right|^{2} \ldots \left|f_{n}\right|^{2},

и равенство имеет место тогда и только тогда, когда ребра попарно ортогональны.

?
Задача 26.53

Для квадратной матрицы AA порядка nn:

?
(1)

доказать неравенство Адамара

∣det⁡A∣2⩽∏k=1n(∑i=1n∣aik∣2) |\operatorname {det} A|^{2} \leqslant \prod _{k = 1}^{n}\left(\sum _{i = 1}^{n}\left|a_{ik}\right|^{2}\right)
(2)

выяснить условия, при которых неравенство Адамара выполнено как равенство

(3)

выписать неравенство Аламара для матрицы A18\mathbf{A}_{18}. Чем объясняется такая большая разница между правой и левой частью? A18=[1234]\mathbf{A}_{18} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.54
?
(1)

Пусть e1,…,ene_{1}, \ldots , e_{n} — базис в евклидовом пространстве, и ek+1′′,…,en′′e_{k + 1}^{\prime \prime }, \ldots , e_{n}^{\prime \prime } — ортогональные проекции векторов ek+1,……,ene_{k + 1}, \ldots \ldots , e_{n} на ортогональное дополнение линейной оболочки e1,…,eke_{1}, \ldots , e_{k}. Доказать, что V{e1,…,en}=V{e1,…,ek}V{ek+1′′,…,en′′}V\left\{ e_{1}, \ldots , e_{n}\right\} = V\left\{ e_{1}, \ldots , e_{k}\right\} V\left\{ e_{k + 1}^{\prime \prime }, \ldots , e_{n}^{\prime \prime }\right\}.

(2)

В nn-мерном евклидовом пространстве дано подпространство L\mathcal{L} и линейно независимые векторы a1,…,apa_{1}, \ldots , a_{p}. Обозначим a1′,…,ap′a_{1}^{\prime }, \ldots , a_{p}^{\prime } ортогональные проекции этих векторов на L\mathcal{L}. Доказать, что det⁡Γ(a1,…,ap)⩾det⁡Γ(a1′,…,ap′)\operatorname {det} \Gamma \left(a_{1}, \ldots , a_{p}\right) \geqslant \operatorname {det} \Gamma \left(a_{1}^{\prime }, \ldots , a_{p}^{\prime }\right).

(3)

Доказать, что объем параллелепипеда V{f1,…,fn}V\left\{ f_{1}, \ldots , f_{n}\right\}, построенного на векторах f1,…,fnf_{1}, \ldots , f_{n}, не превосходит произведения объемов V{f1,…,fk}V\left\{ f_{1}, \ldots , f_{k}\right\} и V{fk+1,…,fn}V\left\{ f_{k + 1}, \ldots , f_{n}\right\}.

Подпараграф
26.5 · Угол между вектором и подпространством (26.55-26.58)[4/25%]
Задача 26.55

Пусть x′x^{\prime } — ортогональная проекция вектора xx на подпространство L\mathcal{L}. Доказать, что угол вектора xx и подпространства L\mathcal{L} равен углу между xx и x′x^{\prime }, если x′≠ox^{\prime } \neq o, и равен π/2\pi / 2, если x′=ox^{\prime } = o.

?
Задача 26.56

Пусть x′x^{\prime } — ортогональная проекция вектора xx на подпространство L\mathcal{L} и угол вектора xx и подпространства L\mathcal{L} равен φ\varphi. Доказать, что cos⁡φ=∣x′∣/∣x∣\cos \varphi = \left|x^{\prime }\right| / \left|x\right|.

?
Задача 26.57

Доказать, что сумма углов вектора xx с подпространствами L\mathcal{L} и L⊥\mathcal{L}^{\perp } равна π/2\pi / 2.

?
Задача 26.58

В ортонормированном базисе векторы xx и f1,…,fkf_{1}, \ldots , f_{k} заданы их координатными столбцами ξ\xi и φ1,…,φk\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{k}. Найти угол между вектором xx и подпространством L\mathcal{L}, натянутым на xx и f1,…,fkf_{1}, \ldots , f_{k}:

?
(1)

ξ=[1212],φ1=[50−42],φ2=[31−50]\xi =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \varphi_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 0 \\ - 4 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \varphi_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \\ - 5 \\ 0\end{smallmatrix}\right];

(2)

ξ=[1133],φ1=[−4423],φ2=[−5210]\xi =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \\ 3\end{smallmatrix}\right], \varphi_{1} =\left[\begin{smallmatrix} -4 \\ 4 \\ 2 \\ 3\end{smallmatrix}\right], \varphi_{2} =\left[\begin{smallmatrix} -5 \\ 2 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right];

(3)

ξ=[2626],φ1=[0−1−11],φ2=[101−1],φ3=[−3110]\xi =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 6 \\ 2 \\ 6\end{smallmatrix}\right], \varphi_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ - 1 \\ - 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \varphi_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ - 1\end{smallmatrix}\right], \varphi_{3} =\left[\begin{smallmatrix} -3 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right];

Подпараграф
26.6 · Отражение (26.59-26.62)[4/100%]
Задача 26.59

Пусть ненулевые векторы xx и aa заданы их координатными столбцами ξ\mathbf{\xi } и a\mathbf{a} соответственно, подпространство L\mathcal{L} определяется уравнением (a,x)=0(a, x) = 0. Найти образ yy при отражении вектора xx в подпространстве L\mathcal{L}:

?
(1)

ξ=[11],a=[10]\xi = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], базис ортонормированный

(2)

ξ=c162,a=c171\xi = \mathbf{c}_{162}, \quad \mathbf{a} = \mathbf{c}_{171}, базис ортонормированный. c162=[9036],c171=[−1110]\mathbf{c}_{162} = \left[\begin{smallmatrix} 9 \\ 0 \\ 3 \\ 6 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{171} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right].

(3)

ξ=[11],a=[10]\xi = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], базис с матрицей Грама A19\mathbf{A}_{19}. A19=[1112]\mathbf{A}_{19} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

ξ=[221−1],a=[1100]\xi =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \\ - 1\end{smallmatrix}\right], \quad \mathbf{a} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{smallmatrix}\right], базис с матрицей Грама [4004044004804008]\left[\begin{smallmatrix} 4 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 8 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 8\end{smallmatrix}\right].

Задача 26.60

В ортонормированном базисе подпространство L\mathcal{L} задано системой линейных уравнений с матрицей AA, а вектор xx — координатным столбцом ξ\xi. Найти образ yy при отражении вектора xx в подпространстве L\mathcal{L}:

?
(1)

A=[111],ξ=[123]A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{smallmatrix}\right]

(2)

A=[32−5−1−12],ξ=[426]A =\left[\begin{smallmatrix} 3 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 2\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 2 \\ 6\end{smallmatrix}\right]

(3)

A=[11111],ξ=[54321]A =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]

(4)

A=[2−3513−561],ξ=[7−594]A =\left[\begin{smallmatrix} 2 & - 3 & 5 & 1 \\ 3 & - 5 & 6 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} 7 \\ - 5 \\ 9 \\ 4\end{smallmatrix}\right]

(5)

A=[435−2324−1],ξ=[−2420]A =\left[\begin{smallmatrix} 4 & 3 & 5 & -2 \\ 3 & 2 & 4 & -1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi =\left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 4 \\ 2 \\ 0\end{smallmatrix}\right]

(6)

A=[1031341018311],ξ=[−2420]A =\left[\begin{smallmatrix} 10 & 3 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 0 & 1 \\ 8 & 3 & 1 & 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi = \left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 4 \\ 2 \\ 0\end{smallmatrix}\right].

Задача 26.61

При каком необходимом и достаточном условии вектор xx можно перевести в вектор yy с помощью отражения в (n−1)(n - 1)-мерном подпространстве L\mathcal{L}? Как найти такое подпространство, если условие выполнено?

?
Задача 26.62

Подобрать (n−1)(n - 1)-мерное подпространство L\mathcal{L} так, чтобы вектор xx при отражении в нем перешел в данный вектор yy. Векторы заданы в ортонормированном базисе их координатными столбцами ξ\xi и η\eta:

?
(1)

ξ=[12],η=[21]\xi =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \quad \eta = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]

(2)

ξ=c192,η=c197\xi = \mathbf{c}_{192}, \quad \eta = \mathbf{c}_{197}. c192=[1030],c197=[1122]\mathbf{c}_{192} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{197} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right].

(3)

ξ=c160,η=c182\xi = \mathbf{c}_{160}, \quad \eta = \mathbf{c}_{182}. c160=[4530],c182=[1001]\mathbf{c}_{160} = \left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{182} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

ξ=c203,η=c168\xi = \mathbf{c}_{203}, \quad \eta = \mathbf{c}_{168}. c203=[2222],c168=[0100]\mathbf{c}_{203} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{168} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{smallmatrix}\right].

Подпараграф
26.7 · Линейные функции на евклидовом пространстве (26.63-26.74)[12/83%]
Задача 26.63

Найти коэффициенты линейной функции, присоединенной к данному вектору. Вектор задан координатным столбцом а в базисе с матрицей Грама Γ\Gamma:

?
(1)

a=[111],Γ=A294\mathbf{a} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \Gamma = \mathbf{A}_{294}. A294=[2−20−292022]\mathbf{A}_{294} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -2 & 0 \\ -2 & 9 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

a=[11−1],Γ=A308\mathbf{a} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ - 1\end{smallmatrix}\right], \Gamma = \mathbf{A}_{308}. A308=[5−12−110204]\mathbf{A}_{308} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(3)

a=[−210],Γ=A207\mathbf{a} =\left[\begin{smallmatrix} - 2 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{207}. A207=[12025−20−25]\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.64

Найти координатный столбец вектора, присоединенного к данной линейной функции. Функция задана строкой коэффициентов φ\varphi в базисе с матрицей Грама Γ\Gamma:

?
(1)

φ=[404],Γ=A294\varphi =\left[\begin{smallmatrix} 4 & 0 & 4\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{294}. A294=[2−20−292022]\mathbf{A}_{294} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -2 & 0 \\ -2 & 9 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

φ=[402],Γ=A308\varphi =\left[\begin{smallmatrix} 4 & 0 & 2\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{308}. A308=[5−12−110204]\mathbf{A}_{308} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(3)

φ=[353],Γ=A207\varphi =\left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 & 3\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{207}. A207=[12025−20−25]\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.65

В пространстве квадратных матриц порядка nn со скалярным произведением (X,Y)=tr⁡XTY(X, Y) = \operatorname {tr} X^{T} Y найти вектор (матрицу) CC, присоединенный к функции:

?
(1)

f(X)=tr⁡Xf(X) = \operatorname {tr} X;

(2)

f(X)=∑i,jxijf(X) = \sum_{i, j} x_{ij};

(3)

n=4n = 4 и f(X)f(X) равно элементу произведения матрицы A444\mathbf{A}_{444} на XX, расположенному в первой строке и первом столбце. A444=[54132114321113−22]\mathbf{A}_{444} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & 4 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.66

В пространстве многочленов степени ⩽3\leqslant 3 со стандартным скалярным произведением линейная функция сопоставляет многочлену p(t)p(t) его свободный член p(0)p(0). Найти вектор (многочлен), присоединенный к этой линейной функции.

?
Задача 26.67

В базисе ee переставлены векторы. Как изменится его биортогональный базис?

?
Задача 26.68

В арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением столбцы ξ1,…,ξn\xi_{1}, \ldots , \xi_{n} составляют базис. Найти соответствующий биортогональный базис:

?
(1)

ξ1=[20],ξ2=[03]\xi_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \quad \xi_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 3\end{smallmatrix}\right]

(2)

ξ1=[12],ξ2=[21]\xi_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \quad \xi_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]

(3)

ξ1=[13],ξ2=[25]\xi_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \quad \xi_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 5 \end{smallmatrix}\right]

(4)

ξ1=[111],ξ2=[110],ξ3=[100]\xi_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right], \quad \xi_{3} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{smallmatrix}\right].

Задача 26.69

В евклидовом пространстве в базисе ee с матрицей Грама Γ\Gamma даны координаты векторов базиса h\mathbf{h}. Найти координаты векторов биортогонального базиса h∗\mathbf{h}^{ * }:

?
(1)

[13],[25],Γ=A19\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 5 \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{19}. A19=[1112]\mathbf{A}_{19} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

[1−1],[11],Γ=A32\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{32}. A32=[13310]\mathbf{A}_{32} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 10 \end{smallmatrix}\right].

(3)

[100],[110],[111],Γ=A387\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{387}. A387=[210121012]\mathbf{A}_{387} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

[011],[121],[−111],Γ=A385\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{385}.

Задача 26.70

В пространстве многочленов степени не выше 2 со стандартным скалярным произведением найти базис, биортогональный базису 1,t,t21, t, t^{2}.

?
Задача 26.71

Доказать, что координаты вектора xx в базисе ee можно вычислить по формулам ξi=(x,ei∗),i=1,…,n\xi^{i} = \left(x, e_{i}^{ * }\right), \quad i = 1, \ldots , n, где ei∗e_{i}^{ * } — векторы базиса, биортогонального е.

?
Задача 26.72

Доказать, что скалярное произведение в евклидовом пространстве можно вычислить по формуле (x,y)=ξ1η1∗+……+ξnηn∗(x, y) = \xi^{1} \eta_{1}^{ * } + \ldots \ldots + \xi^{n} \eta_{n}^{ * }, где ξ1,…,ξn\xi_{1}, \ldots , \xi_{n} — координаты вектора xx в базисе e\mathbf{e}, a η1∗,…,ηn∗\eta_{1}^{ * }, \ldots , \eta_{n}^{ * } — координаты вектора yy в биортогональном базисе e∗\mathbf{e}^{ * }.

?
Задача 26.73
?
(1)

Найти матрицу перехода от базиса ee к его биортогональному базису e∗\mathbf{e}^{ * }.

(2)

Используя полученный результат, доказать, что Γe∗=Γe−1\Gamma_{\mathbf{e}^{ * }} = \Gamma_{\mathbf{e}}^{ - 1}.

Задача 26.74

Пусть SS — матрица перехода от базиса e\mathbf{e} к базису f\mathbf{f}. Найти матрицу перехода от базиса e∗\mathbf{e}^{ * }, биортогонального e\mathbf{e}, к базису f∗\mathbf{f}^{ * }, биортогональному f\mathbf{f}.

?