Ортогонализация (26.42-26.48)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ -2\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 7 \\ -2\end{smallmatrix}\right]$;

$\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ - 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 6 \\ 2 \\ 6\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \\ 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 1 \\ 3\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 6 \\ - 8\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 6 \\ 2 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \\ - 3\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 6 \\ -7 \\ - 2\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \\ 1\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 13 \\ -1 \\ -3\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \\ 2\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \\ 2\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -5 \\ -5 \\ -1\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 9 \\ -7\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \\ - 1\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 0 \\ 3\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ -2\sqrt{2}\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ -1 \\ -\sqrt{2}\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 2 \\ -\sqrt{2}\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ - 1\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \\ - 1\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \\ - 1 \\ 3\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ - 1 \\ 3 \\ 3\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ 1\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \\ 2\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \\ 3\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 5 \\ 0 \\ 3\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 9 \\ 2 \\ 7\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \\ 0\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 9 \\ -2 \\ -2 \\ 0\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} -3 \\ -1 \\ 11 \\ 1\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \\ 6\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 3 \\ -7 \\ 4\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3\end{smallmatrix}\right],\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 4\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{19}$. $\mathbf{A}_{19} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right]$.

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 0\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \\ 3\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 8 \\ 6\end{smallmatrix}\right]$, $\Gamma = \mathbf{A}_{387}$. $\mathbf{A}_{387} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right]$.

$\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 4 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 9 \\ - 8\end{smallmatrix}\right]$, $\Gamma = \mathbf{A}_{386}$. $\mathbf{A}_{386} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right]$.

$\left[\begin{smallmatrix} - 3 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} - 8 \\ 5 \\ 4\end{smallmatrix}\right]$, $\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 4 \\ 0\end{smallmatrix}\right]$, $\Gamma = \mathbf{A}_{207}$. $\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right]$.

С помощью процесса ортогонализации доказать, что невырожденная квадратная матрица может быть разло — жена в произведение ортогональной матрицы $Q$ и верхней треугольной матрицы $R$ с положительными диагональными элементами (QR — разложение).

Доказать единственность $QR$ — разложения невырожденной матрицы.

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & - 2 \\ 1 & 6\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 3 & 9 \\ 1 & - 7\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & - 1 & 2 \\ - 2\sqrt{2} & - 2\sqrt{2} & - \sqrt{2}\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 3 \\ - 1 & - 1 & 3 & 3\end{smallmatrix}\right]$

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 1\end{smallmatrix}\right]$.

$\Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 13\end{smallmatrix}\right]$

$\Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 13\end{smallmatrix}\right]$

$\Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 8 & 14\end{smallmatrix}\right]$

$\Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 4 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 8 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 20\end{smallmatrix}\right]$.