26.5

Угол между вектором и подпространством (26.55-26.58)

[4/25%]
Показать
LaTeX
Задача 26.55

Пусть x′x^{\prime } — ортогональная проекция вектора xx на подпространство L\mathcal{L}. Доказать, что угол вектора xx и подпространства L\mathcal{L} равен углу между xx и x′x^{\prime }, если x′≠ox^{\prime } \neq o, и равен π/2\pi / 2, если x′=ox^{\prime } = o.

?
Задача 26.56

Пусть x′x^{\prime } — ортогональная проекция вектора xx на подпространство L\mathcal{L} и угол вектора xx и подпространства L\mathcal{L} равен φ\varphi. Доказать, что cos⁡φ=∣x′∣/∣x∣\cos \varphi = \left|x^{\prime }\right| / \left|x\right|.

?
Задача 26.57

Доказать, что сумма углов вектора xx с подпространствами L\mathcal{L} и L⊥\mathcal{L}^{\perp } равна π/2\pi / 2.

?
Задача 26.58

В ортонормированном базисе векторы xx и f1,…,fkf_{1}, \ldots , f_{k} заданы их координатными столбцами ξ\xi и φ1,…,φk\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{k}. Найти угол между вектором xx и подпространством L\mathcal{L}, натянутым на xx и f1,…,fkf_{1}, \ldots , f_{k}:

?
(1)

ξ=[1212],φ1=[50−42],φ2=[31−50]\xi =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \varphi_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 5 \\ 0 \\ - 4 \\ 2\end{smallmatrix}\right], \varphi_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 3 \\ 1 \\ - 5 \\ 0\end{smallmatrix}\right];

(2)

ξ=[1133],φ1=[−4423],φ2=[−5210]\xi =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \\ 3\end{smallmatrix}\right], \varphi_{1} =\left[\begin{smallmatrix} -4 \\ 4 \\ 2 \\ 3\end{smallmatrix}\right], \varphi_{2} =\left[\begin{smallmatrix} -5 \\ 2 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right];

(3)

ξ=[2626],φ1=[0−1−11],φ2=[101−1],φ3=[−3110]\xi =\left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 6 \\ 2 \\ 6\end{smallmatrix}\right], \varphi_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ - 1 \\ - 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \varphi_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ - 1\end{smallmatrix}\right], \varphi_{3} =\left[\begin{smallmatrix} -3 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right];