26.7

Линейные функции на евклидовом пространстве (26.63-26.74)

[12/83%]
Показать
LaTeX
Задача 26.63

Найти коэффициенты линейной функции, присоединенной к данному вектору. Вектор задан координатным столбцом а в базисе с матрицей Грама Γ\Gamma:

?
(1)

a=[111],Γ=A294\mathbf{a} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \Gamma = \mathbf{A}_{294}. A294=[2−20−292022]\mathbf{A}_{294} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -2 & 0 \\ -2 & 9 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

a=[11−1],Γ=A308\mathbf{a} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ - 1\end{smallmatrix}\right], \Gamma = \mathbf{A}_{308}. A308=[5−12−110204]\mathbf{A}_{308} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(3)

a=[−210],Γ=A207\mathbf{a} =\left[\begin{smallmatrix} - 2 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{207}. A207=[12025−20−25]\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.64

Найти координатный столбец вектора, присоединенного к данной линейной функции. Функция задана строкой коэффициентов φ\varphi в базисе с матрицей Грама Γ\Gamma:

?
(1)

φ=[404],Γ=A294\varphi =\left[\begin{smallmatrix} 4 & 0 & 4\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{294}. A294=[2−20−292022]\mathbf{A}_{294} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & -2 & 0 \\ -2 & 9 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

φ=[402],Γ=A308\varphi =\left[\begin{smallmatrix} 4 & 0 & 2\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{308}. A308=[5−12−110204]\mathbf{A}_{308} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{smallmatrix}\right].

(3)

φ=[353],Γ=A207\varphi =\left[\begin{smallmatrix} 3 & 5 & 3\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{207}. A207=[12025−20−25]\mathbf{A}_{207} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.65

В пространстве квадратных матриц порядка nn со скалярным произведением (X,Y)=tr⁡XTY(X, Y) = \operatorname {tr} X^{T} Y найти вектор (матрицу) CC, присоединенный к функции:

?
(1)

f(X)=tr⁡Xf(X) = \operatorname {tr} X;

(2)

f(X)=∑i,jxijf(X) = \sum_{i, j} x_{ij};

(3)

n=4n = 4 и f(X)f(X) равно элементу произведения матрицы A444\mathbf{A}_{444} на XX, расположенному в первой строке и первом столбце. A444=[54132114321113−22]\mathbf{A}_{444} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & 4 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \end{smallmatrix}\right].

Задача 26.66

В пространстве многочленов степени ⩽3\leqslant 3 со стандартным скалярным произведением линейная функция сопоставляет многочлену p(t)p(t) его свободный член p(0)p(0). Найти вектор (многочлен), присоединенный к этой линейной функции.

?
Задача 26.67

В базисе ee переставлены векторы. Как изменится его биортогональный базис?

?
Задача 26.68

В арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением столбцы ξ1,…,ξn\xi_{1}, \ldots , \xi_{n} составляют базис. Найти соответствующий биортогональный базис:

?
(1)

ξ1=[20],ξ2=[03]\xi_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 0 \end{smallmatrix}\right], \quad \xi_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 3\end{smallmatrix}\right]

(2)

ξ1=[12],ξ2=[21]\xi_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \quad \xi_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right]

(3)

ξ1=[13],ξ2=[25]\xi_{1} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \quad \xi_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 5 \end{smallmatrix}\right]

(4)

ξ1=[111],ξ2=[110],ξ3=[100]\xi_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \xi_{2} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right], \quad \xi_{3} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{smallmatrix}\right].

Задача 26.69

В евклидовом пространстве в базисе ee с матрицей Грама Γ\Gamma даны координаты векторов базиса h\mathbf{h}. Найти координаты векторов биортогонального базиса h∗\mathbf{h}^{ * }:

?
(1)

[13],[25],Γ=A19\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 2 \\ 5 \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{19}. A19=[1112]\mathbf{A}_{19} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(2)

[1−1],[11],Γ=A32\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{32}. A32=[13310]\mathbf{A}_{32} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 10 \end{smallmatrix}\right].

(3)

[100],[110],[111],Γ=A387\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{387}. A387=[210121012]\mathbf{A}_{387} = \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right].

(4)

[011],[121],[−111],Γ=A385\left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma = \mathbf{A}_{385}.

Задача 26.70

В пространстве многочленов степени не выше 2 со стандартным скалярным произведением найти базис, биортогональный базису 1,t,t21, t, t^{2}.

?
Задача 26.71

Доказать, что координаты вектора xx в базисе ee можно вычислить по формулам ξi=(x,ei∗),i=1,…,n\xi^{i} = \left(x, e_{i}^{ * }\right), \quad i = 1, \ldots , n, где ei∗e_{i}^{ * } — векторы базиса, биортогонального е.

?
Задача 26.72

Доказать, что скалярное произведение в евклидовом пространстве можно вычислить по формуле (x,y)=ξ1η1∗+……+ξnηn∗(x, y) = \xi^{1} \eta_{1}^{ * } + \ldots \ldots + \xi^{n} \eta_{n}^{ * }, где ξ1,…,ξn\xi_{1}, \ldots , \xi_{n} — координаты вектора xx в базисе e\mathbf{e}, a η1∗,…,ηn∗\eta_{1}^{ * }, \ldots , \eta_{n}^{ * } — координаты вектора yy в биортогональном базисе e∗\mathbf{e}^{ * }.

?
Задача 26.73
?
(1)

Найти матрицу перехода от базиса ee к его биортогональному базису e∗\mathbf{e}^{ * }.

(2)

Используя полученный результат, доказать, что Γe∗=Γe−1\Gamma_{\mathbf{e}^{ * }} = \Gamma_{\mathbf{e}}^{ - 1}.

Задача 26.74

Пусть SS — матрица перехода от базиса e\mathbf{e} к базису f\mathbf{f}. Найти матрицу перехода от базиса e∗\mathbf{e}^{ * }, биортогонального e\mathbf{e}, к базису f∗\mathbf{f}^{ * }, биортогональному f\mathbf{f}.

?