Произведения мер

Пусть $(X, \mathcal{S})$ и $(Y, \mathcal{T})$ — измеримые пространства. Докажите, что если $A$ — непустое подмножество $X$, а $B$ — непустое подмножество $Y$, такие что $A \times B \in \mathcal{S} \otimes \mathcal{T}$, то $A \in \mathcal{S}$ и $B \in \mathcal{T}$.

Пусть $(X, \mathcal{S})$ — измеримое пространство. Докажите, что если $E \in \mathcal{S} \otimes \mathcal{S}$, то

Пусть $\mathcal{B}$ обозначает $\sigma$-алгебру борелевских подмножеств $\mathbb {R}$. Покажите, что существует множество $E \subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R}$, такое что $[E]_{a} \in \mathcal{B}$ и $[E]^{a} \in \mathcal{B}$ для каждого $a \in \mathbb {R}$, но $E \notin \mathcal{B} \otimes \mathcal{B}$.

Пусть $(X, \mathcal{S})$ и $(Y, \mathcal{T})$ — измеримые пространства. Докажите, что если $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ является $\mathcal{S}$-измеримой, $g: Y \rightarrow \mathbb {R}$ является $\mathcal{T}$-измеримой и $h: X \times Y \rightarrow \mathbb {R}$ определена как $h(x, y) = f(x) g(y)$, то $h$ является $(\mathcal{S} \otimes \mathcal{T})$-измеримой.

Проверьте утверждение из примера 5.11 о том, что совокупность конечных объединений промежутков в $\mathbb {R}$ замкнута относительно дополнения.

Проверьте утверждение из примера 5.12 о том, что совокупность счётных объединений промежутков в $\mathbb {R}$ не замкнута относительно дополнения.

Пусть $\mathcal{A}$ — непустая совокупность подмножеств множества $W$. Покажите, что $\mathcal{A}$ является алгеброй на $W$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{A}$ замкнута относительно конечных пересечений и относительно дополнения.

Пусть $\mu$ — мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

1. Мера $\mu$ является $\sigma$-конечной.

2. Существует возрастающая последовательность $X_{1} \subseteq X_{2} \subseteq \cdots$ множеств из $\mathcal{S}$, такая что $X = \bigcup_{k = 1}^{\infty } X_{k}$ и $\mu \left(X_{k}\right) < \infty$ для каждого $k \in \mathbb {N}$.

3. Существует последовательность попарно непересекающихся множеств $X_{1}, X_{2}, X_{3}, \ldots$ из $\mathcal{S}$, такая что $X = \bigcup_{k = 1}^{\infty } X_{k}$ и $\mu \left(X_{k}\right) < \infty$ для каждого $k \in \mathbb {N}$.

Пусть $\mu$ и $\nu$ — $\sigma$-конечные меры. Докажите, что $\mu \times \nu$ является $\sigma$-конечной мерой.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ и $(Y, \mathcal{T}, \nu )$ — $\sigma$-конечные пространства с мерой. Докажите, что если $\omega$ — мера на $\mathcal{S} \otimes \mathcal{T}$, такая что $\omega (A \times B) = \mu (A) \nu (B)$ для всех $A \in \mathcal{S}$ и всех $B \in \mathcal{T}$, то $\omega = \mu \times \nu$.

Пусть $(X, \mathcal{S})$ — измеримое пространство и $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ — функция. Пусть $\mathcal{B}$ обозначает $\sigma$-алгебру борелевских подмножеств $(0, \infty )$. Докажите, что $U_{f} \in \mathcal{S} \otimes \mathcal{B}$ тогда и только тогда, когда $f$ является $\mathcal{S}$-измеримой функцией.

Пусть $(X, \mathcal{S})$ — измеримое пространство и $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ — функция. Пусть $\operatorname {graph}(f) \subseteq X \times \mathbb {R}$ обозначает график функции $f$:

Пусть $\mathcal{B}$ обозначает $\sigma$-алгебру борелевских подмножеств $\mathbb {R}$. Докажите, что $\operatorname {graph}(f) \in \mathcal{S} \otimes \mathcal{B}$, если $f$ является $\mathcal{S}$-измеримой функцией.

Покажите, что множество $G \subseteq \mathbb {R}^{n}$ открыто в $\mathbb {R}^{n}$ тогда и только тогда, когда для каждого $\left(b_{1}, \ldots , b_{n}\right) \in G$ существует $r > 0$, такое что

Покажите, что существует множество $E \subseteq \mathbb {R}^{2}$ (рассматривая $\mathbb {R}^{2}$ как $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$), такое что сечения $[E]_{a}$ и $[E]^{a}$ являются открытыми подмножествами $\mathbb {R}$ для каждого $a \in \mathbb {R}$, но $E \notin \mathcal{B}_{2}$.

Пусть $(X, \mathcal{S}),(Y, \mathcal{T})$ и $(Z, \mathcal{U})$ — измеримые пространства. Определим $\mathcal{S} \otimes \mathcal{T} \otimes \mathcal{U}$ как наименьшую $\sigma$-алгебру на $X \times Y \times Z$, содержащую

Докажите, что если сделать очевидные отождествления произведений $(X \times Y) \times Z$ и $X \times (Y \times Z)$ с $X \times Y \times Z$, то

Покажите, что мера Лебега на $\mathbb {R}^{n}$ инвариантна относительно сдвигов. Точнее, покажите, что если $E \in \mathcal{B}_{n}$ и $a \in \mathbb {R}^{n}$, то $a+E \in \mathcal{B}_{n}$ и $\lambda_{n}(a+E) = \lambda_{n}(E)$, где

Пусть $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ является $\mathcal{B}_{n}$-измеримой и $t \in \mathbb {R} \backslash \left\{ 0\right\}$. Определим $f_{t}: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ как $f_{t}(x) = f(t x)$.

Пусть $\lambda$ обозначает меру Лебега на $(\mathbb {R}, \mathcal{L})$, где $\mathcal{L}$ — $\sigma$-алгебра измеримых по Лебегу подмножеств $\mathbb {R}$. Покажите, что существуют подмножества $E$ и $F$ множества $\mathbb {R}^{2}$, такие что

• $F \in \mathcal{L} \otimes \mathcal{L}$ и $(\lambda \times \lambda )(F) = 0$;

• $E \subseteq F$, но $E \notin \mathcal{L} \otimes \mathcal{L}$.

Пусть $m \in \mathbb {N}$. Проверьте, что совокупность множеств $\mathcal{E}_{m}$, фигурирующая в доказательстве 5.41, является монотонным классом.

Покажите, что открытый единичный шар в $\mathbb {R}^{n}$ является открытым подмножеством $\mathbb {R}^{n}$.

Пусть $G_{1}$ — непустое подмножество $\mathbb {R}^{m}$ и $G_{2}$ — непустое подмножество $\mathbb {R}^{n}$. Докажите, что $G_{1} \times G_{2}$ является открытым подмножеством $\mathbb {R}^{m} \times \mathbb {R}^{n}$ тогда и только тогда, когда $G_{1}$ является открытым подмножеством $\mathbb {R}^{m}$, а $G_{2}$ является открытым подмножеством $\mathbb {R}^{n}$.

Пусть $F_{1}$ — непустое подмножество $\mathbb {R}^{m}$ и $F_{2}$ — непустое подмножество $\mathbb {R}^{n}$. Докажите, что $F_{1} \times F_{2}$ является замкнутым подмножеством $\mathbb {R}^{m} \times \mathbb {R}^{n}$ тогда и только тогда, когда $F_{1}$ является замкнутым подмножеством $\mathbb {R}^{m}$, а $F_{2}$ является замкнутым подмножеством $\mathbb {R}^{n}$.

Пусть $E$ — подмножество $\mathbb {R}^{m} \times \mathbb {R}^{n}$ и

Для читателей, знакомых с гамма-функцией $\Gamma$: докажите, что

для каждого натурального числа $n$.

Определим $f: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ как