Произведения пространств с мерой

Пусть $(X, \mathcal{S})$ и $(Y, \mathcal{T})$ — измеримые пространства. Докажите, что если $A$ — непустое подмножество $X$, а $B$ — непустое подмножество $Y$, такие что $A \times B \in \mathcal{S} \otimes \mathcal{T}$, то $A \in \mathcal{S}$ и $B \in \mathcal{T}$.

Пусть $(X, \mathcal{S})$ — измеримое пространство. Докажите, что если $E \in \mathcal{S} \otimes \mathcal{S}$, то

Пусть $\mathcal{B}$ обозначает $\sigma$-алгебру борелевских подмножеств $\mathbb {R}$. Покажите, что существует множество $E \subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R}$, такое что $[E]_{a} \in \mathcal{B}$ и $[E]^{a} \in \mathcal{B}$ для каждого $a \in \mathbb {R}$, но $E \notin \mathcal{B} \otimes \mathcal{B}$.

Пусть $(X, \mathcal{S})$ и $(Y, \mathcal{T})$ — измеримые пространства. Докажите, что если $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ является $\mathcal{S}$-измеримой, $g: Y \rightarrow \mathbb {R}$ является $\mathcal{T}$-измеримой и $h: X \times Y \rightarrow \mathbb {R}$ определена как $h(x, y) = f(x) g(y)$, то $h$ является $(\mathcal{S} \otimes \mathcal{T})$-измеримой.

Проверьте утверждение из примера 5.11 о том, что совокупность конечных объединений промежутков в $\mathbb {R}$ замкнута относительно дополнения.

Проверьте утверждение из примера 5.12 о том, что совокупность счётных объединений промежутков в $\mathbb {R}$ не замкнута относительно дополнения.

Пусть $\mathcal{A}$ — непустая совокупность подмножеств множества $W$. Покажите, что $\mathcal{A}$ является алгеброй на $W$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{A}$ замкнута относительно конечных пересечений и относительно дополнения.

Пусть $\mu$ — мера на измеримом пространстве $(X, \mathcal{S})$. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

1. Мера $\mu$ является $\sigma$-конечной.

2. Существует возрастающая последовательность $X_{1} \subseteq X_{2} \subseteq \cdots$ множеств из $\mathcal{S}$, такая что $X = \bigcup_{k = 1}^{\infty } X_{k}$ и $\mu \left(X_{k}\right) < \infty$ для каждого $k \in \mathbb {N}$.

3. Существует последовательность попарно непересекающихся множеств $X_{1}, X_{2}, X_{3}, \ldots$ из $\mathcal{S}$, такая что $X = \bigcup_{k = 1}^{\infty } X_{k}$ и $\mu \left(X_{k}\right) < \infty$ для каждого $k \in \mathbb {N}$.

Пусть $\mu$ и $\nu$ — $\sigma$-конечные меры. Докажите, что $\mu \times \nu$ является $\sigma$-конечной мерой.

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ и $(Y, \mathcal{T}, \nu )$ — $\sigma$-конечные пространства с мерой. Докажите, что если $\omega$ — мера на $\mathcal{S} \otimes \mathcal{T}$, такая что $\omega (A \times B) = \mu (A) \nu (B)$ для всех $A \in \mathcal{S}$ и всех $B \in \mathcal{T}$, то $\omega = \mu \times \nu$.