Банк задач по математике

Задача 5B.1

(a)(b)

?

(a)

Пусть $\lambda$ обозначает меру Лебега на $[0,1]$ . Покажите, что

\int _{[0,1]} \int _{[0,1]} \frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d \lambda (y) d \lambda (x) = \frac{\pi }{4}

и

\int _{[0,1]} \int _{[0,1]} \frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d \lambda (x) d \lambda (y) = -\frac{\pi }{4}

(b)

Объясните, почему (a) не противоречит ни теореме Тонелли, ни теореме Фубини.

Задача 5B.2

(a)(b)

?

(a)

Приведите пример дважды индексированного набора $\left\{ x_{m, n}: m, n \in \mathbb {N}\right\}$ вещественных чисел, такого что

\sum _{m = 1}^{\infty } \sum _{n = 1}^{\infty } x_{m, n} = 0 \quad \text{ и } \quad \sum _{n = 1}^{\infty } \sum _{m = 1}^{\infty } x_{m, n} = \infty

(b)

Объясните, почему (a) не противоречит ни теореме Тонелли, ни теореме Фубини.

Задача 5B.3

Пусть $(X, \mathcal{S})$ — измеримое пространство и $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ — функция. Пусть $\mathcal{B}$ обозначает $\sigma$ -алгебру борелевских подмножеств $(0, \infty )$ . Докажите, что $U_{f} \in \mathcal{S} \otimes \mathcal{B}$ тогда и только тогда, когда $f$ является $\mathcal{S}$ -измеримой функцией.

?

Примечание.

?

Определение (область под графиком; $U_{f}$ ): Пусть $X$ — множество, а $f: X \rightarrow [0, \infty ]$ — функция. Тогда область под графиком $f$ , обозначаемая $U_{f}$ , определяется как $U_{f} = \left\{ (x, t) \in X \times (0, \infty ): 0 < t < f(x)\right\}$ .

Задача 5B.4

Пусть $(X, \mathcal{S})$ — измеримое пространство и $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ — функция. Пусть $\operatorname {graph}(f) \subseteq X \times \mathbb {R}$ обозначает график функции $f$ :

\operatorname {graph}(f) = \left\{ (x, f(x)): x \in X\right\}

Пусть $\mathcal{B}$ обозначает $\sigma$ -алгебру борелевских подмножеств $\mathbb {R}$ . Докажите, что $\operatorname {graph}(f) \in \mathcal{S} \otimes \mathcal{B}$ , если $f$ является $\mathcal{S}$ -измеримой функцией.

?

Повторные интегралы