Глава 4

Дифференцирование

[24/0%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

4A · Максимальная функция Харди–Литтлвуда[14/0%]

Задача 4A.1

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, а $h: X \rightarrow \mathbb {R}$ — $\mathcal{S}$ -измеримая функция. Докажите, что

\mu (\left\{ x \in X:\left|h(x)\right| \geq c\right\} ) \leq \frac{1}{c^{p}} \int \left|h\right|^{p} d \mu

для всех положительных чисел $c$ и $p$ .

Задача 4A.2

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой, причём $\mu (X) = 1$ и $h \in \mathcal{L}^{1}(\mu )$ . Докажите, что

\mu \left(\left\{ x \in X:\left|h(x)-\int h d \mu \right| \geq c\right\} \right) \leq \frac{1}{c^{2}}\left(\int h^{2} d \mu -\left(\int h d \mu \right)^{2}\right)

для всех $c > 0$ .

Примечание.

Приведённый выше результат называется неравенством Чебышёва; он играет важную роль в теории вероятностей. Пафнутий Чебышёв (1821--1894) был научным руководителем Маркова.

Задача 4A.3

Пусть $(X, \mathcal{S}, \mu )$ — пространство с мерой. Пусть $h \in \mathcal{L}^{1}(\mu )$ и $\left\| h\right\|_{1} > 0$ . Докажите, что существует не более одного числа $c \in (0, \infty )$ , для которого

\mu (\left\{ x \in X:\left|h(x)\right| \geq c\right\} ) = \frac{1}{c}\left\| h\right\| _{1}.

Задача 4A.4

Покажите, что константу 3 в лемме Витали о покрытии (4.4) нельзя заменить меньшей положительной константой.

Примечание.

4.4 (лемма Витали о покрытии): Пусть $I_{1}, \ldots , I_{n}$ — список ограниченных непустых открытых интервалов $\mathbb {R}$ . Тогда существует непересекающийся подсписок $I_{k_{1}}, \ldots , I_{k_{m}}$ такой, что $I_{1} \cup \cdots \cup I_{n} \subseteq (3 * I_{k_{1}}) \cup \cdots \cup (3 * I_{k_{m}})$ , где $3 * I$ обозначает открытый интервал с тем же центром, что и $I$ , и втрое большей длины.

Задача 4A.5

Докажите утверждение, оставленное в качестве упражнения в последнем предложении доказательства леммы Витали о покрытии (4.4).

Примечание.

Доказательство леммы Витали о покрытии (4.4) строит по списку $I_{1}, \ldots , I_{n}$ ограниченных непустых открытых интервалов $\mathbb {R}$ непересекающийся подсписок $I_{k_{1}}, \ldots , I_{k_{m}}$ , на каждом шаге выбирая наибольший из оставшихся интервалов, не пересекающийся с уже выбранными. Для $j \in \left\{ 1, \ldots , n\right\}$ , не входящего в $k_{1}, \ldots , k_{m}$ , пусть $I_{k_{L}}$ — первый интервал этого подсписка, пересекающийся с $I_{j}$ ; таким образом, $I_{j}$ не пересекается с $I_{k_{1}}, \ldots , I_{k_{L-1}}$ . Поскольку $j$ не был выбран на шаге $L$ , имеем $\left|I_{k_{L}}\right| \geq \left|I_{j}\right|$ . Утверждение, которое нужно доказать: поскольку $I_{k_{L}} \cap I_{j} \neq \varnothing$ , это неравенство влечёт $I_{j} \subseteq 3 * I_{k_{L}}$ (где $3 * I$ обозначает открытый интервал с тем же центром, что и $I$ , и втрое большей длины).

Задача 4A.6

Проверьте формулу из примера 4.7 для максимальной функции Харди–Литтлвуда функции $\chi_{[0,1]}$ .

Примечание.

Пример 4.7: для характеристической функции $\chi_{[0,1]}$ отрезка $[0,1]$

\left(\chi _{[0,1]}\right)^{*}(b) = \begin{cases} \frac{1}{2(1-b)} & \text{если } b \leq 0, \\ 1 & \text{если } 0 < b < 1, \\ \frac{1}{2b} & \text{если } b \geq 1.\end{cases}

Задача 4A.7

Найдите формулу для максимальной функции Харди–Литтлвуда характеристической функции множества $[0,1] \cup [2,3]$ .

Задача 4A.8

Найдите формулу для максимальной функции Харди–Литтлвуда функции $h: \mathbb {R} \rightarrow [0, \infty )$ , определённой формулой

h(x) = \begin{cases} x & \text{ если } 0 \leq x \leq 1, \\ 0 & \text{ иначе }.\end{cases}

Задача 4A.9

Пусть $h: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ измерима по Лебегу. Докажите, что

\left\{ b \in \mathbb {R}: h^{*}(b) > c\right\}

является открытым подмножеством $\mathbb {R}$ для каждого $c \in \mathbb {R}$ .

Задача 4A.10

Докажите или приведите контрпример: если $h: \mathbb {R} \rightarrow [0, \infty )$ — возрастающая функция, то $h^{*}$ — возрастающая функция.

Задача 4A.11

Приведите пример борелевски измеримой функции $h: \mathbb {R} \rightarrow [0, \infty )$ , для которой $h^{*}(b) < \infty$ для всех $b \in \mathbb {R}$ , но $\sup \left\{ h^{*}(b): b \in \mathbb {R}\right\} = \infty$ .

Задача 4A.12

Покажите, что $\left|\left\{ b \in \mathbb {R}: h^{*}(b) = \infty \right\} \right| = 0$ для каждой $h \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R})$ .

Задача 4A.13

Покажите, что существует $h \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R})$ , для которой $h^{*}(b) = \infty$ для каждого $b \in \mathbb {Q}$ .

Задача 4A.14

Пусть $h \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R})$ . Докажите, что

\left|\left\{ b \in \mathbb {R}: h^{*}(b) \geq c\right\} \right| \leq \frac{3}{c}\left\| h\right\| _{1}

для каждого $c > 0$ .

Примечание.

Этот результат немного усиливает максимальное неравенство Харди–Литтлвуда (4.8), поскольку множество в левой части выше включает те $b \in \mathbb {R}$ , для которых $h^{*}(b) = c$ . Гораздо более глубокое усиление получается заменой константы 3 в максимальном неравенстве Харди–Литтлвуда меньшей константой. В 2003 году Антониос Мелас ответил на остававшийся открытым вопрос о наилучшей константе. Он доказал, что наименьшая константа, которой можно заменить 3 в максимальном неравенстве Харди–Литтлвуда, равна $(11+\sqrt{61}) / 12 \approx 1.56752$ ; см. Annals of Mathematics 157 (2003), 647--688.

4B · Производные от интегралов[10/0%]

Задача 4B.1

Для $f \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R})$ и промежутка $I$ из $\mathbb {R}$ с $0 < \left|I\right| < \infty$ пусть $f_{I}$ обозначает среднее значение $f$ на $I$ . Другими словами, $f_{I} = \frac{1}{\left|I\right|} \int_{I} f$ .

Пусть $f \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R})$ . Докажите, что

\lim _{t \downarrow 0} \frac{1}{2 t} \int _{b-t}^{b+t}\left|f-f_{[b-t, b+t]}\right| = 0

для почти всех $b \in \mathbb {R}$ .

Задача 4B.2

Пусть $f \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R})$ . Докажите, что

\lim _{t \downarrow 0} \sup \left\{ \frac{1}{\left|I\right|} \int _{I}\left|f-f_{I}\right|: I \text{ — промежуток длины } t \text{ содержащий } b\right\} = 0

для почти всех $b \in \mathbb {R}$ .

Задача 4B.3

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая по Лебегу функция такая, что $f^{2} \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R})$ . Докажите, что

\lim _{t \downarrow 0} \frac{1}{2 t} \int _{b-t}^{b+t}\left|f-f(b)\right|^{2} = 0

для почти всех $b \in \mathbb {R}$ .

Задача 4B.4

Докажите, что теорема Лебега о дифференцировании (4.19) остаётся верной, если предположение $\int_{-\infty }^{\infty }\left|f\right| < \infty$ ослабить до требования $\int_{-\infty }^{x}\left|f\right| < \infty$ для всех $x \in \mathbb {R}$ .

Примечание.

4.19 (теорема Лебега о дифференцировании, вторая версия): Пусть $f \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R})$ . Определим $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $g(x) = \int_{-\infty }^{x} f$ . Тогда $g^{\prime }(b) = f(b)$ для почти всех $b \in \mathbb {R}$ .

Задача 4B.5

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая по Лебегу функция. Докажите, что

\left|f(b)\right| \leq f^{*}(b)

для почти всех $b \in \mathbb {R}$ .

Задача 4B.6

Докажите, что если $h \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R})$ и $\int_{-\infty }^{s} h = 0$ для всех $s \in \mathbb {R}$ , то $h(s) = 0$ для почти всех $s \in \mathbb {R}$ .

Задача 4B.7

Приведите пример борелевского подмножества $\mathbb {R}$ , плотность которого в 0 не определена.

Задача 4B.8

Приведите пример борелевского подмножества $\mathbb {R}$ , плотность которого в 0 равна $\frac{1}{3}$ .

Задача 4B.9

Докажите, что если $t \in [0,1]$ , то существует борелевское множество $E \subseteq \mathbb {R}$ , плотность которого в 0 равна $t$ .

Задача 4B.10

Пусть $E$ — измеримое по Лебегу подмножество $\mathbb {R}$ такое, что плотность $E$ равна 1 в каждой точке $E$ и равна 0 в каждой точке $\mathbb {R} \backslash E$ . Докажите, что $E = \varnothing$ или $E = \mathbb {R}$ .