4A

Максимальная функция Харди–Литтлвуда

[14/0%]
Показать
LaTeX
Задача 4A.1

Пусть (X,S,μ)(X, \mathcal{S}, \mu ) — пространство с мерой, а h:X→Rh: X \rightarrow \mathbb {R} — S\mathcal{S}-измеримая функция. Докажите, что

μ({x∈X:∣h(x)∣≥c})≤1cp∫∣h∣pdμ \mu (\left\{ x \in X:\left|h(x)\right| \geq c\right\} ) \leq \frac{1}{c^{p}} \int \left|h\right|^{p} d \mu

для всех положительных чисел cc и pp.

?
Задача 4A.2

Пусть (X,S,μ)(X, \mathcal{S}, \mu ) — пространство с мерой, причём μ(X)=1\mu (X) = 1 и h∈L1(μ)h \in \mathcal{L}^{1}(\mu ). Докажите, что

μ({x∈X:∣h(x)−∫hdμ∣≥c})≤1c2(∫h2dμ−(∫hdμ)2) \mu \left(\left\{ x \in X:\left|h(x)-\int h d \mu \right| \geq c\right\} \right) \leq \frac{1}{c^{2}}\left(\int h^{2} d \mu -\left(\int h d \mu \right)^{2}\right)

для всех c>0c > 0.

?
Примечание.
?

Приведённый выше результат называется неравенством Чебышёва; он играет важную роль в теории вероятностей. Пафнутий Чебышёв (1821--1894) был научным руководителем Маркова.

Задача 4A.3

Пусть (X,S,μ)(X, \mathcal{S}, \mu ) — пространство с мерой. Пусть h∈L1(μ)h \in \mathcal{L}^{1}(\mu ) и ∥h∥1>0\left\| h\right\|_{1} > 0. Докажите, что существует не более одного числа c∈(0,∞)c \in (0, \infty ), для которого

μ({x∈X:∣h(x)∣≥c})=1c∥h∥1. \mu (\left\{ x \in X:\left|h(x)\right| \geq c\right\} ) = \frac{1}{c}\left\| h\right\| _{1}.
?
Задача 4A.4

Покажите, что константу 3 в лемме Витали о покрытии (4.4) нельзя заменить меньшей положительной константой.

?
Примечание.
?

4.4 (лемма Витали о покрытии): Пусть I1,…,InI_{1}, \ldots , I_{n} — список ограниченных непустых открытых интервалов R\mathbb {R}. Тогда существует непересекающийся подсписок Ik1,…,IkmI_{k_{1}}, \ldots , I_{k_{m}} такой, что I1∪⋯∪In⊆(3∗Ik1)∪⋯∪(3∗Ikm)I_{1} \cup \cdots \cup I_{n} \subseteq (3 * I_{k_{1}}) \cup \cdots \cup (3 * I_{k_{m}}), где 3∗I3 * I обозначает открытый интервал с тем же центром, что и II, и втрое большей длины.

Задача 4A.5

Докажите утверждение, оставленное в качестве упражнения в последнем предложении доказательства леммы Витали о покрытии (4.4).

?
Примечание.
?

Доказательство леммы Витали о покрытии (4.4) строит по списку I1,…,InI_{1}, \ldots , I_{n} ограниченных непустых открытых интервалов R\mathbb {R} непересекающийся подсписок Ik1,…,IkmI_{k_{1}}, \ldots , I_{k_{m}}, на каждом шаге выбирая наибольший из оставшихся интервалов, не пересекающийся с уже выбранными. Для j∈{1,…,n}j \in \left\{ 1, \ldots , n\right\}, не входящего в k1,…,kmk_{1}, \ldots , k_{m}, пусть IkLI_{k_{L}} — первый интервал этого подсписка, пересекающийся с IjI_{j}; таким образом, IjI_{j} не пересекается с Ik1,…,IkL−1I_{k_{1}}, \ldots , I_{k_{L-1}}. Поскольку jj не был выбран на шаге LL, имеем ∣IkL∣≥∣Ij∣\left|I_{k_{L}}\right| \geq \left|I_{j}\right|. Утверждение, которое нужно доказать: поскольку IkL∩Ij≠∅I_{k_{L}} \cap I_{j} \neq \varnothing, это неравенство влечёт Ij⊆3∗IkLI_{j} \subseteq 3 * I_{k_{L}} (где 3∗I3 * I обозначает открытый интервал с тем же центром, что и II, и втрое большей длины).

Задача 4A.6

Проверьте формулу из примера 4.7 для максимальной функции Харди–Литтлвуда функции χ[0,1]\chi_{[0,1]}.

?
Примечание.
?

Пример 4.7: для характеристической функции χ[0,1]\chi_{[0,1]} отрезка [0,1][0,1]

(χ[0,1])∗(b)={12(1−b)если b≤0,1если 0<b<1,12bесли b≥1. \left(\chi _{[0,1]}\right)^{*}(b) = \begin{cases} \frac{1}{2(1-b)} & \text{если } b \leq 0, \\ 1 & \text{если } 0 < b < 1, \\ \frac{1}{2b} & \text{если } b \geq 1.\end{cases}
Задача 4A.7

Найдите формулу для максимальной функции Харди–Литтлвуда характеристической функции множества [0,1]∪[2,3][0,1] \cup [2,3].

?
Задача 4A.8

Найдите формулу для максимальной функции Харди–Литтлвуда функции h:R→[0,∞)h: \mathbb {R} \rightarrow [0, \infty ), определённой формулой

h(x)={x если 0≤x≤1,0 иначе . h(x) = \begin{cases} x & \text{ если } 0 \leq x \leq 1, \\ 0 & \text{ иначе }.\end{cases}
?
Задача 4A.9

Пусть h:R→Rh: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} измерима по Лебегу. Докажите, что

{b∈R:h∗(b)>c} \left\{ b \in \mathbb {R}: h^{*}(b) > c\right\}

является открытым подмножеством R\mathbb {R} для каждого c∈Rc \in \mathbb {R}.

?
Задача 4A.10

Докажите или приведите контрпример: если h:R→[0,∞)h: \mathbb {R} \rightarrow [0, \infty ) — возрастающая функция, то h∗h^{*} — возрастающая функция.

?
Задача 4A.11

Приведите пример борелевски измеримой функции h:R→[0,∞)h: \mathbb {R} \rightarrow [0, \infty ), для которой h∗(b)<∞h^{*}(b) < \infty для всех b∈Rb \in \mathbb {R}, но sup⁡{h∗(b):b∈R}=∞\sup \left\{ h^{*}(b): b \in \mathbb {R}\right\} = \infty.

?
Задача 4A.12

Покажите, что ∣{b∈R:h∗(b)=∞}∣=0\left|\left\{ b \in \mathbb {R}: h^{*}(b) = \infty \right\} \right| = 0 для каждой h∈L1(R)h \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R}).

?
Задача 4A.13

Покажите, что существует h∈L1(R)h \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R}), для которой h∗(b)=∞h^{*}(b) = \infty для каждого b∈Qb \in \mathbb {Q}.

?
Задача 4A.14

Пусть h∈L1(R)h \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R}). Докажите, что

∣{b∈R:h∗(b)≥c}∣≤3c∥h∥1 \left|\left\{ b \in \mathbb {R}: h^{*}(b) \geq c\right\} \right| \leq \frac{3}{c}\left\| h\right\| _{1}

для каждого c>0c > 0.

?
Примечание.
?

Этот результат немного усиливает максимальное неравенство Харди–Литтлвуда (4.8), поскольку множество в левой части выше включает те b∈Rb \in \mathbb {R}, для которых h∗(b)=ch^{*}(b) = c. Гораздо более глубокое усиление получается заменой константы 3 в максимальном неравенстве Харди–Литтлвуда меньшей константой. В 2003 году Антониос Мелас ответил на остававшийся открытым вопрос о наилучшей константе. Он доказал, что наименьшая константа, которой можно заменить 3 в максимальном неравенстве Харди–Литтлвуда, равна (11+61)/12≈1.56752(11+\sqrt{61}) / 12 \approx 1.56752; см. Annals of Mathematics 157 (2003), 647--688.