4B

Производные от интегралов

[10/0%]
Показать
LaTeX
Задача 4B.1

Для f∈L1(R)f \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R}) и промежутка II из R\mathbb {R} с 0<∣I∣<∞0 < \left|I\right| < \infty пусть fIf_{I} обозначает среднее значение ff на II. Другими словами, fI=1∣I∣∫Iff_{I} = \frac{1}{\left|I\right|} \int_{I} f.

Пусть f∈L1(R)f \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R}). Докажите, что

lim⁡t↓012t∫b−tb+t∣f−f[b−t,b+t]∣=0 \lim _{t \downarrow 0} \frac{1}{2 t} \int _{b-t}^{b+t}\left|f-f_{[b-t, b+t]}\right| = 0

для почти всех b∈Rb \in \mathbb {R}.

?
Задача 4B.2

Для f∈L1(R)f \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R}) и промежутка II из R\mathbb {R} с 0<∣I∣<∞0 < \left|I\right| < \infty пусть fIf_{I} обозначает среднее значение ff на II. Другими словами, fI=1∣I∣∫Iff_{I} = \frac{1}{\left|I\right|} \int_{I} f.

Пусть f∈L1(R)f \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R}). Докажите, что

lim⁡t↓0sup⁡{1∣I∣∫I∣f−fI∣:I — промежуток длины t содержащий b}=0 \lim _{t \downarrow 0} \sup \left\{ \frac{1}{\left|I\right|} \int _{I}\left|f-f_{I}\right|: I \text{ — промежуток длины } t \text{ содержащий } b\right\} = 0

для почти всех b∈Rb \in \mathbb {R}.

?
Задача 4B.3

Пусть f:R→Rf: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} — измеримая по Лебегу функция такая, что f2∈L1(R)f^{2} \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R}). Докажите, что

lim⁡t↓012t∫b−tb+t∣f−f(b)∣2=0 \lim _{t \downarrow 0} \frac{1}{2 t} \int _{b-t}^{b+t}\left|f-f(b)\right|^{2} = 0

для почти всех b∈Rb \in \mathbb {R}.

?
Задача 4B.4

Докажите, что теорема Лебега о дифференцировании (4.19) остаётся верной, если предположение ∫−∞∞∣f∣<∞\int_{-\infty }^{\infty }\left|f\right| < \infty ослабить до требования ∫−∞x∣f∣<∞\int_{-\infty }^{x}\left|f\right| < \infty для всех x∈Rx \in \mathbb {R}.

?
Примечание.
?

4.19 (теорема Лебега о дифференцировании, вторая версия): Пусть f∈L1(R)f \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R}). Определим g:R→Rg: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} формулой g(x)=∫−∞xfg(x) = \int_{-\infty }^{x} f. Тогда g′(b)=f(b)g^{\prime }(b) = f(b) для почти всех b∈Rb \in \mathbb {R}.

Задача 4B.5

Пусть f:R→Rf: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} — измеримая по Лебегу функция. Докажите, что

∣f(b)∣≤f∗(b) \left|f(b)\right| \leq f^{*}(b)

для почти всех b∈Rb \in \mathbb {R}.

?
Задача 4B.6

Докажите, что если h∈L1(R)h \in \mathcal{L}^{1}(\mathbb {R}) и ∫−∞sh=0\int_{-\infty }^{s} h = 0 для всех s∈Rs \in \mathbb {R}, то h(s)=0h(s) = 0 для почти всех s∈Rs \in \mathbb {R}.

?
Задача 4B.7

Приведите пример борелевского подмножества R\mathbb {R}, плотность которого в 0 не определена.

?
Задача 4B.8

Приведите пример борелевского подмножества R\mathbb {R}, плотность которого в 0 равна 13\frac{1}{3}.

?
Задача 4B.9

Докажите, что если t∈[0,1]t \in [0,1], то существует борелевское множество E⊆RE \subseteq \mathbb {R}, плотность которого в 0 равна tt.

?
Задача 4B.10

Пусть EE — измеримое по Лебегу подмножество R\mathbb {R} такое, что плотность EE равна 1 в каждой точке EE и равна 0 в каждой точке R\E\mathbb {R} \backslash E. Докажите, что E=∅E = \varnothing или E=RE = \mathbb {R}.

?