Глава 11

Анализ Фурье

[51/18%]
Показать
LaTeX
§
11A · Ряды Фурье и интеграл Пуассона[12/50%]
Задача 11A.1

Докажите, что f‾^(n)=f^(−n)‾\hat{\overline{f}}(n) = \overline{\hat{f}(-n)} для всех f∈L1(∂D)f \in L^{1}(\partial \mathbf{D}) и всех n∈Zn \in \mathbb {Z}.

?
Задача 11A.2

Пусть 1≤p≤∞1 \leq p \leq \infty и n∈Zn \in \mathbb {Z}.

?
(a)

Покажите, что функция f↦f^(n)f \mapsto \widehat{f}(n) является ограниченным линейным функционалом на Lp(∂D)L^{p}(\partial \mathbf{D}) с нормой 1.

(b)

Найдите все f∈Lp(∂D)f \in L^{p}(\partial \mathbf{D}), такие что ∥f∥p=1\left\| f\right\|_{p} = 1 и ∣f^(n)∣=1\left|\widehat{f}(n)\right| = 1.

Задача 11A.3

Покажите, что если 0≤r<10 \leq r < 1 и t∈Rt \in \mathbb {R}, то

Pr(eit)=1−r21−2rcos⁡t+r2 P_{r}\left(e^{i t}\right) = \frac{1-r^{2}}{1-2 r \cos t+r^{2}}
?
Задача 11A.4

Пусть f∈L1(∂D),z∈∂Df \in L^{1}(\partial \mathbf{D}), z \in \partial \mathbf{D} и ff непрерывна в точке zz. Докажите, что

lim⁡r↑1(Prf)(z)=f(z) \lim _{r \uparrow 1}\left(\mathcal{P}_{r} f\right)(z) = f(z)
?
Примечание.
?

Результат этого упражнения отличается от 11.18 тем, что здесь мы предполагаем непрерывность лишь в одной точке и даже не предполагаем ограниченность ff, тогда как в 11.18 предполагалась непрерывность во всех точках ∂D\partial \mathrm{D}.

Задача 11A.5

Пусть a,b∈C,f∈L1(∂D),z∈∂D,lim⁡t↓0f(eitz)=aa, b \in \mathbb {C}, f \in L^{1}(\partial \mathbf{D}), z \in \partial \mathbf{D}, \lim_{t \downarrow 0} f\left(e^{i t} z\right) = a и lim⁡t↑0f(eitz)=b\lim_{t \uparrow 0} f\left(e^{i t} z\right) = b. Докажите, что

lim⁡r↑1(Prf)(z)=a+b2 \lim _{r \uparrow 1}\left(\mathcal{P}_{r} f\right)(z) = \frac{a+b}{2}
?
Примечание.
?

Если a≠ba \neq b, то говорят, что ff имеет разрыв первого рода (скачок) в точке zz.

Задача 11A.6

Докажите, что для каждого p∈[1,∞)p \in [1, \infty ) существует f∈L1(∂D)f \in L^{1}(\partial \mathbf{D}), такая что

∑n=−∞∞∣f^(n)∣p=∞ \sum _{n = -\infty }^{\infty }\left|\widehat{f}(n)\right|^{p} = \infty
?
Задача 11A.7

Пусть ζ∈∂D\zeta \in \partial \mathbf{D}. Покажите, что функция

z↦1−∣z∣2∣1−ζ‾z∣2 z \mapsto \frac{1-\left|z\right|^{2}}{\left|1-\overline{\zeta } z\right|^{2}}

гармонична на C\{ζ}\mathbb {C} \backslash \left\{ \zeta \right\}, найдя аналитическую функцию на C\{ζ}\mathbb {C} \backslash \left\{ \zeta \right\}, вещественная часть которой равна указанной выше функции.

?
Задача 11A.8

Пусть f:∂D→Rf: \partial \mathbf{D} \rightarrow \mathbb {R} — функция, определённая формулой

f(x,y)=x4y f(x, y) = x^{4} y

для (x,y)∈R2(x, y) \in \mathbb {R}^{2} с x2+y2=1x^{2}+y^{2} = 1. Найдите многочлен uu от двух переменных x,yx, y, такой что uu гармонична на R2\mathbb {R}^{2} и u∣∂D=f\left.u\right|_{\partial \mathbf{D}} = f.

?
Примечание.
?

Разумеется, u∣D\left.u\right|_{\mathbf{D}} — это интеграл Пуассона от ff. Однако здесь требуется найти явную формулу для uu в замкнутом виде, не используя и не вычисляя интеграл. Может оказаться полезным представлять ff как функцию, определённую формулой f(z)=(Re⁡z)4(Im⁡z)f(z) = (\operatorname {Re} z)^{4}(\operatorname {Im} z) для z∈∂Dz \in \partial \mathbf{D}.

Задача 11A.9

Найдите формулу (в замкнутом виде, а не в виде бесконечной суммы) для Prf\mathcal{P}_{r} f, где ff — функция из второго пункта примера 11.8.

?
Примечание.
?

Пример 11.8 (второй пункт): определим f:∂D→Rf: \partial D \rightarrow \mathbb {R} формулой f(z)=1∣3−z∣2f(z) = \frac{1}{\left|3-z\right|^{2}}. Тогда для z∈∂Dz \in \partial D имеем f(z)=18∑n=−∞∞zn3∣n∣f(z) = \frac{1}{8} \sum_{n=-\infty }^{\infty } \frac{z^{n}}{3^{\left|n\right|}}, а коэффициенты Фурье равны f^(n)=18⋅13∣n∣\widehat{f}(n) = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3^{\left|n\right|}} для всех n∈Zn \in \mathbb {Z}.

Задача 11A.10

Пусть f:∂D→Cf: \partial \mathbf{D} \rightarrow \mathbb {C} трижды непрерывно дифференцируема. Докажите, что

f[1](z)=i∑n=−∞∞nf^(n)zn f^{[1]}(z) = i \sum _{n = -\infty }^{\infty } n \widehat{f}(n) z^{n}

для всех z∈∂Dz \in \partial \mathbf{D}.

?
Задача 11A.11

Пусть C(∂D)C(\partial \mathbf{D}) обозначает банахово пространство непрерывных функций из ∂D\partial \mathbf{D} в C\mathbb {C} с супремум-нормой. Для M∈NM \in \mathbb {N} определим линейный функционал φM:C(∂D)→C\varphi_{M}: C(\partial \mathbf{D}) \rightarrow \mathbb {C} формулой

φM(f)=∑n=−MMf^(n) \varphi _{M}(f) = \sum _{n = -M}^{M} \widehat{f}(n)

Таким образом, φM(f)\varphi_{M}(f) — частичная сумма ряда Фурье ∑n=−∞∞f^(n)zn\sum_{n = -\infty }^{\infty } \widehat{f}(n) z^{n}, вычисленная при z=1z = 1.

?
(a)

Покажите, что

φM(f)=∫−ππf(eit)sin⁡(M+12)tsin⁡t2dt2π \varphi _{M}(f) = \int _{-\pi }^{\pi } f\left(e^{i t}\right) \frac{\sin \left(M+\frac{1}{2}\right) t}{\sin \frac{t}{2}} \frac{d t}{2 \pi }

для любой f∈C(∂D)f \in C(\partial \mathbf{D}) и любого M∈NM \in \mathbb {N}.

(b)

Покажите, что

lim⁡M→∞∫−ππ∣sin⁡(M+12)tsin⁡t2∣dt2π=∞ \lim _{M \rightarrow \infty } \int _{-\pi }^{\pi }\left|\frac{\sin \left(M+\frac{1}{2}\right) t}{\sin \frac{t}{2}}\right| \frac{d t}{2 \pi } = \infty
(c)

Покажите, что lim⁡M→∞∥φM∥=∞\lim_{M \rightarrow \infty }\left\| \varphi_{M}\right\| = \infty.

(d)

Покажите, что существует f∈C(∂D)f \in C(\partial \mathbf{D}), такая что lim⁡M→∞∑n=−MMf^(n)\lim_{M \rightarrow \infty } \sum_{n = -M}^{M} \widehat{f}(n) не существует (как элемент C\mathbb {C}).

Примечание.
?

Поскольку сумма в пункте (d) является частичной суммой ряда Фурье, вычисленной при z=1z = 1, пункт (d)(d) показывает, что ряд Фурье непрерывной функции на ∂D\partial \mathbf{D} не обязан сходиться поточечно на ∂D\partial \mathrm{D}.

Семейство функций (по одной для каждого M∈NM \in \mathbb {N}) на ∂D\partial \mathbf{D}, определённых формулой

eit↦sin⁡(M+12)tsin⁡t2 e^{i t} \mapsto \frac{\sin \left(M+\frac{1}{2}\right) t}{\sin \frac{t}{2}}

называется ядром Дирихле.

Задача 11A.12

Определим f:∂D→Rf: \partial \mathbf{D} \rightarrow \mathbb {R} формулой

f(z)={1 если Im⁡z>0−1 если Im⁡z<00 если Im⁡z=0 f(z) = \begin{cases} 1 & \text{ если } \operatorname {Im} z > 0 \\ -1 & \text{ если } \operatorname {Im} z < 0 \\ 0 & \text{ если } \operatorname {Im} z = 0\end{cases}
?
(a)

Покажите, что если n∈Zn \in \mathbb {Z}, то

f^(n)={−2inπ если n нечётно 0 если n чётно  \widehat{f}(n) = \begin{cases} -\frac{2 i}{n \pi } & \text{ если } n \text{ нечётно } \\ 0 & \text{ если } n \text{ чётно }\end{cases}
(b)

Покажите, что

(Prf)(z)=2πarctan⁡2rIm⁡z1−r2 \left(\mathcal{P}_{r} f\right)(z) = \frac{2}{\pi } \arctan \frac{2 r \operatorname {Im} z}{1-r^{2}}

для любого r∈[0,1)r \in [0,1) и любого z∈∂Dz \in \partial \mathbf{D}.

(c)

Проверьте, что lim⁡r↑1(Prf)(z)=f(z)\lim_{r \uparrow 1}\left(\mathcal{P}_{r} f\right)(z) = f(z) для любого z∈∂Dz \in \partial \mathbf{D}.

(d)

Докажите, что Prf\mathcal{P}_{r} f не сходится к ff равномерно на ∂D\partial \mathbf{D} при r↑1r \uparrow 1.

§
11B · Ряды Фурье и LpL^{p} единичной окружности[18/0%]
Задача 11B.1

Покажите, что семейство {ek}k∈Z\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \mathbb {Z}} тригонометрических функций, определённых в 11.1, является ортонормированным базисом пространства L2((−π,π])L^{2}((-\pi , \pi ]).

?
Задача 11B.2

Используя результат упражнения 12(a) раздела 11A, покажите, что

1+132+152+172+⋯=π28 1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{7^{2}}+\cdots = \frac{\pi ^{2}}{8}
?
Задача 11B.3

Используя методы, аналогичные примеру 11.32, вычислите ∑n=1∞1n4\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{4}}.

?
Примечание.
?

Если у вас есть желание потрудиться, можете также попробовать вычислить ∑n=1∞1/n6\sum_{n = 1}^{\infty } 1 / n^{6}. Аналогичные методы позволяют вычислить ∑n=1∞1/nk\sum_{n = 1}^{\infty } 1 / n^{k} для каждого положительного чётного числа kk. Вы прославитесь, если сумеете вычислить ∑n=1∞1/n3\sum_{n = 1}^{\infty } 1 / n^{3} — на данный момент это открытый вопрос.

Задача 11B.4

Пусть f,g:∂D→Cf, g: \partial \mathbf{D} \rightarrow \mathbb {C} — измеримые функции. Докажите, что функция (w,z)↦f(w)g(zw‾)(w, z) \mapsto f(w) g(z \overline{w}) является измеримой функцией из ∂D×∂D\partial \mathbf{D} \times \partial \mathbf{D} в C\mathbb {C}.

?
Примечание.
?

Здесь σ\sigma-алгебра на ∂D×∂D\partial \mathbf{D} \times \partial \mathbf{D} — это обычная σ\sigma-алгебра произведения, определённая в 5.2.

Задача 11B.5

В каком месте доказательство 11.42 не работает при p=∞p = \infty?

?
Задача 11B.6

Пусть f∈L1(∂D)f \in L^{1}(\partial \mathbf{D}). Докажите, что ff принимает вещественные значения (почти всюду) тогда и только тогда, когда f^(−n)=f^(n)\widehat{f}(-n) = \widehat{f}(n) для всех n∈Zn \in \mathbb {Z}.

?
Задача 11B.7

Пусть f∈L1(∂D)f \in L^{1}(\partial \mathbf{D}). Покажите, что f∈L2(∂D)f \in L^{2}(\partial \mathbf{D}) тогда и только тогда, когда ∑n=−∞∞∣f^(n)∣2<∞\sum_{n = -\infty }^{\infty }\left|\widehat{f}(n)\right|^{2} < \infty.

?
Задача 11B.8

Пусть f∈L2(∂D)f \in L^{2}(\partial \mathbf{D}). Докажите, что ∣f(z)∣=1\left|f(z)\right| = 1 для почти всех z∈∂Dz \in \partial \mathbf{D} тогда и только тогда, когда

∑k=−∞∞f^(k)f^(k−n)‾={1 если n=00 если n≠0 \sum _{k = -\infty }^{\infty } \widehat{f}(k) \overline{\widehat{f}(k-n)} = \begin{cases} 1 & \text{ если } n = 0 \\ 0 & \text{ если } n \neq 0\end{cases}

для всех n∈Zn \in \mathbb {Z}.

?
Задача 11B.9

В этом упражнении для каждого r∈[0,1)r \in [0,1) будем рассматривать Pr\mathcal{P}_{r} как оператор на L2(∂D)L^{2}(\partial \mathbf{D}).

?
(a)

Покажите, что Pr\mathcal{P}_{r} — самосопряжённый компактный оператор для каждого r∈[0,1)r \in [0,1).

(b)

Для каждого r∈[0,1)r \in [0,1) найдите все собственные значения и собственные векторы оператора Pr\mathcal{P}_{r}.

(c)

Докажите или опровергните: lim⁡r↑1∥I−P∥r=0\lim_{r \uparrow 1}\left\| I-\mathcal{P}\right\|_{r} = 0.

Задача 11B.10

Пусть f∈L1(∂D)f \in L^{1}(\partial \mathbf{D}). Определим T:L2(∂D)→L2(∂D)T: L^{2}(\partial \mathbf{D}) \rightarrow L^{2}(\partial \mathbf{D}) формулой Tg=f∗gT g = f * g.

?
(a)

Покажите, что TT — компактный оператор на L2(∂D)L^{2}(\partial \mathbf{D}).

(b)

Докажите, что TT инъективен тогда и только тогда, когда f^(n)≠0\widehat{f}(n) \neq 0 для всех n∈Zn \in \mathbb {Z}.

(c)

Найдите формулу для T∗T^{*}.

(d)

Докажите: TT самосопряжён тогда и только тогда, когда все коэффициенты Фурье функции ff вещественны.

(e)

Покажите, что TT — нормальный оператор.

Задача 11B.11

Покажите, что если f,g∈L1(∂D)f, g \in L^{1}(\partial \mathbf{D}), то

(f∗g)∼(t)=12π∫−ππf~(x)g~(t−x)dx (f * g)^{\sim }(t) = \frac{1}{2 \pi } \int _{-\pi }^{\pi } \widetilde{f}(x) \widetilde{g}(t-x) d x

для тех t∈Rt \in \mathbb {R}, для которых (f∗g)(eit)(f * g)\left(e^{i t}\right) имеет смысл; здесь (f∗g)∼,f~(f * g)^{\sim }, \widetilde{f} и g~\widetilde{g} обозначают перенос на вещественную прямую, как определено в 11.24.

?
Задача 11B.12

Пусть 1≤p≤∞1 \leq p \leq \infty. Докажите, что если f∈Lp(∂D)f \in L^{p}(\partial \mathbf{D}) и g∈Lp′(∂D)g \in L^{p^{\prime }}(\partial \mathbf{D}), то f∗gf * g — непрерывная функция на ∂D\partial \mathbf{D}.

?
Задача 11B.13

Пусть g∈L1(∂D)g \in L^{1}(\partial \mathbf{D}) такая, что g^(n)≠0\widehat{g}(n) \neq 0 для бесконечно многих n∈Zn \in \mathbb {Z}. Докажите, что если f∈L1(∂D)f \in L^{1}(\partial \mathbf{D}), то f∗g≠gf * g \neq g.

?
Задача 11B.14

Покажите, что существует двусторонняя последовательность …,b−2,b−1,b0,b1,b2,…\ldots , b_{-2}, b_{-1}, b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots, такая что lim⁡n→±∞bn=0\lim_{n \rightarrow \pm \infty } b_{n} = 0, но не существует f∈L1(∂D)f \in L^{1}(\partial \mathbf{D}) с f^(n)=bn\widehat{f}(n) = b_{n} для всех n∈Zn \in \mathbb {Z}.

?
Задача 11B.15

Докажите, что если f,g∈L2(∂D)f, g \in L^{2}(\partial \mathbf{D}), то

fg^(n)=∑k=−∞∞f^(k)g^(n−k) \widehat{f g}(n) = \sum _{k = -\infty }^{\infty } \widehat{f}(k) \widehat{g}(n-k)

для всех n∈Zn \in \mathbb {Z}.

?
Задача 11B.16

Пусть f∈L1(∂D)f \in L^{1}(\partial \mathbf{D}). Докажите, что Pr(Psf)=Prsf\mathcal{P}_{r}\left(\mathcal{P}_{s} f\right) = \mathcal{P}_{r s} f для всех r,s∈[0,1)r, s \in [0,1).

?
Задача 11B.17

Пусть p∈[1,∞]p \in [1, \infty ] и f∈Lp(∂D)f \in L^{p}(\partial \mathbf{D}). Докажите, что если 0≤r<s<10 \leq r < s < 1, то

∥Prf∥p≤∥Psf∥p \left\| \mathcal{P}_r f\right\| _{p} \leq \left\| \mathcal{P}_s f\right\| _{p}
?
Задача 11B.18

Докажите неравенство Виртингера: если f:R→Rf: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} — непрерывно дифференцируемая 2π2 \pi-периодическая функция и ∫−ππf(t)dt=0\int_{-\pi }^{\pi } f(t) d t = 0, то

∫−ππ(f(t))2dt≤∫−ππ(f′(t))2dt \int _{-\pi }^{\pi }(f(t))^{2} d t \leq \int _{-\pi }^{\pi }\left(f^{\prime }(t)\right)^{2} d t

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда f(t)=asin⁡(t)+bcos⁡(t)f(t) = a \sin (t)+b \cos (t) для некоторых постоянных a,ba, b.

?
§
11C · Преобразование Фурье[21/14%]
Задача 11C.1

Пусть f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}). Докажите, что ∥f^∥∞=∥f∥1\left\| \widehat{f}\right\|_{\infty } = \left\| f\right\|_{1} тогда и только тогда, когда существуют ζ∈∂D\zeta \in \partial \mathbf{D} и t∈Rt \in \mathbb {R}, такие что ζf(x)e−itx≥0\zeta f(x) e^{-i t x} \geq 0 для почти всех x∈Rx \in \mathbb {R}.

?
Задача 11C.2

Пусть f(x)=xe−πx2f(x) = x e^{-\pi x^{2}} для всех x∈Rx \in \mathbb {R}. Покажите, что f^=−if\widehat{f} = -i f.

?
Задача 11C.3

Пусть f(x)=4πx2e−πx2−e−πx2f(x) = 4 \pi x^{2} e^{-\pi x^{2}}-e^{-\pi x^{2}} для всех x∈Rx \in \mathbb {R}. Покажите, что f^=−f\widehat{f} = -f.

?
Задача 11C.4

Найдите f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}), такую что f≠0f \neq 0 и f^=if\widehat{f} = i f.

?
Задача 11C.5

Докажите, что если pp — многочлен на R\mathbb {R} с комплексными коэффициентами и f:R→Cf: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} определена как f(x)=p(x)e−πx2f(x) = p(x) e^{-\pi x^{2}}, то существует многочлен qq на R\mathbb {R} с комплексными коэффициентами, такой что deg⁡q=deg⁡p\operatorname {deg} q = \operatorname {deg} p и f^(t)=q(t)e−πt2\widehat{f}(t) = q(t) e^{-\pi t^{2}} для всех t∈Rt \in \mathbb {R}.

?
Задача 11C.6

Пусть

f(x)={xe−2πx если x>00 если x≤0 f(x) = \begin{cases} x e^{-2 \pi x} & \text{ если } x > 0 \\ 0 & \text{ если } x \leq 0\end{cases}

Покажите, что f^(t)=14π2(1+it)2\widehat{f}(t) = \frac{1}{4 \pi^{2}(1+i t)^{2}} для всех t∈Rt \in \mathbb {R}.

?
Задача 11C.7

Докажите формулы из 11.55 для преобразований Фурье сдвигов, поворотов и растяжений.

?
Задача 11C.8

Пусть f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}) и n∈Nn \in \mathbb {N}. Определим g:R→Cg: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} формулой g(x)=xnf(x)g(x) = x^{n} f(x). Докажите, что если g∈L1(R)g \in L^{1}(\mathbb {R}), то f^\widehat{f} является nn раз непрерывно дифференцируемой на R\mathbb {R} и

(f^)(n)(t)=(−2πi)ng^(t) (\widehat{f})^{(n)}(t) = (-2 \pi i)^{n} \widehat{g}(t)

для всех t∈Rt \in \mathbb {R}.

?
Задача 11C.9

Пусть n∈Nn \in \mathbb {N} и f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}) является nn раз непрерывно дифференцируемой, причём f(k)∈L1(R)f^{(k)} \in L^{1}(\mathbb {R}) для k=1,…,nk = 1, \ldots , n. Докажите, что если t∈Rt \in \mathbb {R}, то

f(n)^(t)=(2πit)nf^(t) \widehat{f^{(n)}}(t) = (2 \pi i t)^{n} \widehat{f}(t)
?
Задача 11C.10

Пусть 1≤p≤∞1 \leq p \leq \infty, f∈Lp(R)f \in L^{p}(\mathbb {R}) и g∈Lp′(R)g \in L^{p^{\prime }}(\mathbb {R}). Докажите, что f∗gf * g — равномерно непрерывная функция на R\mathbb {R}.

?
Задача 11C.11

Пусть f∈L∞(R),x∈Rf \in L^{\infty }(\mathbb {R}), x \in \mathbb {R} и ff непрерывна в точке xx. Докажите, что

lim⁡y↓0(Pyf)(x)=f(x). \lim _{y \downarrow 0}\left(\mathcal{P}_{y} f\right)(x) = f(x).
?
Задача 11C.12

Пусть p∈[1,∞]p \in [1, \infty ] и f∈Lp(R)f \in L^{p}(\mathbb {R}). Докажите, что Py(Py′f)=Py+y′f\mathcal{P}_{y}\left(\mathcal{P}_{y^{\prime }} f\right) = \mathcal{P}_{y+y^{\prime }} f для всех y,y′>0y, y^{\prime } > 0.

?
Задача 11C.13

Пусть p∈[1,∞]p \in [1, \infty ] и f∈Lp(R)f \in L^{p}(\mathbb {R}). Докажите, что если 0<y<y′0 < y < y^{\prime }, то

∥Pyf∥p≥∥Py′f∥p \left\| \mathcal{P}_{y} f\right\| _{p} \geq \left\| \mathcal{P}_{y^{\prime }} f\right\| _{p}
?
Задача 11C.14

Пусть f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}).

?
(a)

Докажите, что f‾^(t)=f^(−t)‾\widehat{\overline{f}}(t) = \overline{\hat{f}(-t)} для всех t∈Rt \in \mathbb {R}.

(b)

Докажите, что f(x)∈Rf(x) \in \mathbb {R} для почти всех x∈Rx \in \mathbb {R} тогда и только тогда, когда f^(t)=f^(−t)^\widehat{f}(t) = \widehat{\widehat{f}(-t)} для всех t∈Rt \in \mathbb {R}.

Задача 11C.15

Определим f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}) формулой f(x)=e−x4χ[0,∞)(x)f(x) = e^{-x^{4}} \chi_{[0, \infty )}(x). Покажите, что f^∉L1(R)\widehat{f} \notin L^{1}(\mathbb {R}).

?
Задача 11C.16

Пусть f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}) и f^∈L1(R)\widehat{f} \in L^{1}(\mathbb {R}). Докажите, что f∈L2(R)f \in L^{2}(\mathbb {R}) и f^∈L2(R)\widehat{f} \in L^{2}(\mathbb {R}).

?
Задача 11C.17

Докажите, что существует непрерывная функция g:R→Rg: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}, такая что lim⁡t→±∞g(t)=0\lim_{t \rightarrow \pm \infty } g(t) = 0 и g∉{f^:f∈L1(R)}g \notin \left\{ \widehat{f}: f \in L^{1}(\mathbb {R})\right\}.

?
Задача 11C.18

Докажите, что если f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}), то ∥f^∥2=∥f∥2\left\| \widehat{f}\right\|_{2} = \left\| f\right\|_{2}.

?
Примечание.
?

Это упражнение слегка усиливает теорему Планшереля (11.82), поскольку здесь используется более слабое предположение f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}) вместо f∈L1(R)∩L2(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}) \cap L^{2}(\mathbb {R}). Благодаря теореме Планшереля, здесь достаточно доказать, что если f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}) и ∥f∥2=∞\left\| f\right\|_{2} = \infty, то ∥f^∥2=∞\left\| \widehat{f}\right\|_{2} = \infty.

Задача 11C.19

Пусть y>0y > 0. Определим оператор TT на L2(R)L^{2}(\mathbb {R}) формулой Tf=f∗PyT f = f * P_{y}.

?
(a)

Покажите, что TT — самосопряжённый оператор на L2(R)L^{2}(\mathbb {R}).

(b)

Покажите, что sp⁡(T)=[0,1]\operatorname {sp}(T) = [0,1].

Примечание.
?

Поскольку спектр любого компактного оператора является счётным множеством (по 10.93), пункт (b) выше показывает, что TT не является компактным оператором. Это заключение отличается от ситуации на единичной окружности — см. упражнение 9 раздела 11B.

Задача 11C.20

Докажите, что если f∈L1(R)f \in L^{1}(\mathbb {R}) и g∈L2(R)g \in L^{2}(\mathbb {R}), то F(f∗g)=f^Fg\mathcal{F}(f * g) = \widehat{f} \mathcal{F} g.

?
Задача 11C.21

Докажите, что если f,g∈L2(R)f, g \in L^{2}(\mathbb {R}), то fg^=(Ff)∗(Fg)\widehat{f g} = (\mathcal{F} f) *(\mathcal{F} g).

?