Банк задач по математике

Задача 11A.1

Докажите, что $\hat{\overline{f}}(n) = \overline{\hat{f}(-n)}$ для всех $f \in L^{1}(\partial \mathbf{D})$ и всех $n \in \mathbb {Z}$ .

?

Задача 11A.2

(a)(b)

Пусть $1 \leq p \leq \infty$ и $n \in \mathbb {Z}$ .

?

(a)

Покажите, что функция $f \mapsto \widehat{f}(n)$ является ограниченным линейным функционалом на $L^{p}(\partial \mathbf{D})$ с нормой 1.

(b)

Найдите все $f \in L^{p}(\partial \mathbf{D})$ , такие что $\left\| f\right\|_{p} = 1$ и $\left|\widehat{f}(n)\right| = 1$ .

Задача 11A.3

Покажите, что если $0 \leq r < 1$ и $t \in \mathbb {R}$ , то

P_{r}\left(e^{i t}\right) = \frac{1-r^{2}}{1-2 r \cos t+r^{2}}

?

Задача 11A.4

Пусть $f \in L^{1}(\partial \mathbf{D}), z \in \partial \mathbf{D}$ и $f$ непрерывна в точке $z$ . Докажите, что

\lim _{r \uparrow 1}\left(\mathcal{P}_{r} f\right)(z) = f(z)

?

Примечание.

?

Результат этого упражнения отличается от 11.18 тем, что здесь мы предполагаем непрерывность лишь в одной точке и даже не предполагаем ограниченность $f$ , тогда как в 11.18 предполагалась непрерывность во всех точках $\partial \mathrm{D}$ .

Задача 11A.5

Пусть $a, b \in \mathbb {C}, f \in L^{1}(\partial \mathbf{D}), z \in \partial \mathbf{D}, \lim_{t \downarrow 0} f\left(e^{i t} z\right) = a$ и $\lim_{t \uparrow 0} f\left(e^{i t} z\right) = b$ . Докажите, что

\lim _{r \uparrow 1}\left(\mathcal{P}_{r} f\right)(z) = \frac{a+b}{2}

?

Примечание.

?

Если $a \neq b$ , то говорят, что $f$ имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $z$ .

Задача 11A.6

Докажите, что для каждого $p \in [1, \infty )$ существует $f \in L^{1}(\partial \mathbf{D})$ , такая что

\sum _{n = -\infty }^{\infty }\left|\widehat{f}(n)\right|^{p} = \infty

?

Задача 11A.7

Пусть $\zeta \in \partial \mathbf{D}$ . Покажите, что функция

z \mapsto \frac{1-\left|z\right|^{2}}{\left|1-\overline{\zeta } z\right|^{2}}

гармонична на $\mathbb {C} \backslash \left\{ \zeta \right\}$ , найдя аналитическую функцию на $\mathbb {C} \backslash \left\{ \zeta \right\}$ , вещественная часть которой равна указанной выше функции.

?

Задача 11A.8

Пусть $f: \partial \mathbf{D} \rightarrow \mathbb {R}$ — функция, определённая формулой

f(x, y) = x^{4} y

для $(x, y) \in \mathbb {R}^{2}$ с $x^{2}+y^{2} = 1$ . Найдите многочлен $u$ от двух переменных $x, y$ , такой что $u$ гармонична на $\mathbb {R}^{2}$ и $\left.u\right|_{\partial \mathbf{D}} = f$ .

?

Примечание.

?

Разумеется, $\left.u\right|_{\mathbf{D}}$ — это интеграл Пуассона от $f$ . Однако здесь требуется найти явную формулу для $u$ в замкнутом виде, не используя и не вычисляя интеграл. Может оказаться полезным представлять $f$ как функцию, определённую формулой $f(z) = (\operatorname {Re} z)^{4}(\operatorname {Im} z)$ для $z \in \partial \mathbf{D}$ .

Задача 11A.9

Найдите формулу (в замкнутом виде, а не в виде бесконечной суммы) для $\mathcal{P}_{r} f$ , где $f$ — функция из второго пункта примера 11.8.

?

Примечание.

?

Пример 11.8 (второй пункт): определим $f: \partial D \rightarrow \mathbb {R}$ формулой $f(z) = \frac{1}{\left|3-z\right|^{2}}$ . Тогда для $z \in \partial D$ имеем $f(z) = \frac{1}{8} \sum_{n=-\infty }^{\infty } \frac{z^{n}}{3^{\left|n\right|}}$ , а коэффициенты Фурье равны $\widehat{f}(n) = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3^{\left|n\right|}}$ для всех $n \in \mathbb {Z}$ .

Задача 11A.10

Пусть $f: \partial \mathbf{D} \rightarrow \mathbb {C}$ трижды непрерывно дифференцируема. Докажите, что

f^{[1]}(z) = i \sum _{n = -\infty }^{\infty } n \widehat{f}(n) z^{n}

для всех $z \in \partial \mathbf{D}$ .

?

Задача 11A.11

(a)(b)(c)(d)

Пусть $C(\partial \mathbf{D})$ обозначает банахово пространство непрерывных функций из $\partial \mathbf{D}$ в $\mathbb {C}$ с супремум-нормой. Для $M \in \mathbb {N}$ определим линейный функционал $\varphi_{M}: C(\partial \mathbf{D}) \rightarrow \mathbb {C}$ формулой

\varphi _{M}(f) = \sum _{n = -M}^{M} \widehat{f}(n)

Таким образом, $\varphi_{M}(f)$ — частичная сумма ряда Фурье $\sum_{n = -\infty }^{\infty } \widehat{f}(n) z^{n}$ , вычисленная при $z = 1$ .

?

(a)

Покажите, что

\varphi _{M}(f) = \int _{-\pi }^{\pi } f\left(e^{i t}\right) \frac{\sin \left(M+\frac{1}{2}\right) t}{\sin \frac{t}{2}} \frac{d t}{2 \pi }

для любой $f \in C(\partial \mathbf{D})$ и любого $M \in \mathbb {N}$ .

(b)

Покажите, что

\lim _{M \rightarrow \infty } \int _{-\pi }^{\pi }\left|\frac{\sin \left(M+\frac{1}{2}\right) t}{\sin \frac{t}{2}}\right| \frac{d t}{2 \pi } = \infty

(c)

Покажите, что $\lim_{M \rightarrow \infty }\left\| \varphi_{M}\right\| = \infty$ .

(d)

Покажите, что существует $f \in C(\partial \mathbf{D})$ , такая что $\lim_{M \rightarrow \infty } \sum_{n = -M}^{M} \widehat{f}(n)$ не существует (как элемент $\mathbb {C}$ ).

Примечание.

?

Поскольку сумма в пункте (d) является частичной суммой ряда Фурье, вычисленной при $z = 1$ , пункт $(d)$ показывает, что ряд Фурье непрерывной функции на $\partial \mathbf{D}$ не обязан сходиться поточечно на $\partial \mathrm{D}$ .

Семейство функций (по одной для каждого $M \in \mathbb {N}$ ) на $\partial \mathbf{D}$ , определённых формулой

e^{i t} \mapsto \frac{\sin \left(M+\frac{1}{2}\right) t}{\sin \frac{t}{2}}

называется ядром Дирихле.

Задача 11A.12

(a)(b)(c)(d)

Определим $f: \partial \mathbf{D} \rightarrow \mathbb {R}$ формулой

f(z) = \begin{cases} 1 & \text{ если } \operatorname {Im} z > 0 \\ -1 & \text{ если } \operatorname {Im} z < 0 \\ 0 & \text{ если } \operatorname {Im} z = 0\end{cases}

?

(a)

Покажите, что если $n \in \mathbb {Z}$ , то

\widehat{f}(n) = \begin{cases} -\frac{2 i}{n \pi } & \text{ если } n \text{ нечётно } \\ 0 & \text{ если } n \text{ чётно }\end{cases}

(b)

Покажите, что

\left(\mathcal{P}_{r} f\right)(z) = \frac{2}{\pi } \arctan \frac{2 r \operatorname {Im} z}{1-r^{2}}

для любого $r \in [0,1)$ и любого $z \in \partial \mathbf{D}$ .

(c)

Проверьте, что $\lim_{r \uparrow 1}\left(\mathcal{P}_{r} f\right)(z) = f(z)$ для любого $z \in \partial \mathbf{D}$ .

(d)

Докажите, что $\mathcal{P}_{r} f$ не сходится к $f$ равномерно на $\partial \mathbf{D}$ при $r \uparrow 1$ .

Ряды Фурье и интеграл Пуассона