11B

Ряды Фурье и LpL^{p} единичной окружности

[18/0%]
Показать
LaTeX
Задача 11B.1

Покажите, что семейство {ek}k∈Z\left\{ e_{k}\right\}_{k \in \mathbb {Z}} тригонометрических функций, определённых в 11.1, является ортонормированным базисом пространства L2((−π,π])L^{2}((-\pi , \pi ]).

?
Задача 11B.2

Используя результат упражнения 12(a) раздела 11A, покажите, что

1+132+152+172+⋯=π28 1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{7^{2}}+\cdots = \frac{\pi ^{2}}{8}
?
Задача 11B.3

Используя методы, аналогичные примеру 11.32, вычислите ∑n=1∞1n4\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{4}}.

?
Примечание.
?

Если у вас есть желание потрудиться, можете также попробовать вычислить ∑n=1∞1/n6\sum_{n = 1}^{\infty } 1 / n^{6}. Аналогичные методы позволяют вычислить ∑n=1∞1/nk\sum_{n = 1}^{\infty } 1 / n^{k} для каждого положительного чётного числа kk. Вы прославитесь, если сумеете вычислить ∑n=1∞1/n3\sum_{n = 1}^{\infty } 1 / n^{3} — на данный момент это открытый вопрос.

Задача 11B.4

Пусть f,g:∂D→Cf, g: \partial \mathbf{D} \rightarrow \mathbb {C} — измеримые функции. Докажите, что функция (w,z)↦f(w)g(zw‾)(w, z) \mapsto f(w) g(z \overline{w}) является измеримой функцией из ∂D×∂D\partial \mathbf{D} \times \partial \mathbf{D} в C\mathbb {C}.

?
Примечание.
?

Здесь σ\sigma-алгебра на ∂D×∂D\partial \mathbf{D} \times \partial \mathbf{D} — это обычная σ\sigma-алгебра произведения, определённая в 5.2.

Задача 11B.5

В каком месте доказательство 11.42 не работает при p=∞p = \infty?

?
Задача 11B.6

Пусть f∈L1(∂D)f \in L^{1}(\partial \mathbf{D}). Докажите, что ff принимает вещественные значения (почти всюду) тогда и только тогда, когда f^(−n)=f^(n)\widehat{f}(-n) = \widehat{f}(n) для всех n∈Zn \in \mathbb {Z}.

?
Задача 11B.7

Пусть f∈L1(∂D)f \in L^{1}(\partial \mathbf{D}). Покажите, что f∈L2(∂D)f \in L^{2}(\partial \mathbf{D}) тогда и только тогда, когда ∑n=−∞∞∣f^(n)∣2<∞\sum_{n = -\infty }^{\infty }\left|\widehat{f}(n)\right|^{2} < \infty.

?
Задача 11B.8

Пусть f∈L2(∂D)f \in L^{2}(\partial \mathbf{D}). Докажите, что ∣f(z)∣=1\left|f(z)\right| = 1 для почти всех z∈∂Dz \in \partial \mathbf{D} тогда и только тогда, когда

∑k=−∞∞f^(k)f^(k−n)‾={1 если n=00 если n≠0 \sum _{k = -\infty }^{\infty } \widehat{f}(k) \overline{\widehat{f}(k-n)} = \begin{cases} 1 & \text{ если } n = 0 \\ 0 & \text{ если } n \neq 0\end{cases}

для всех n∈Zn \in \mathbb {Z}.

?
Задача 11B.9

В этом упражнении для каждого r∈[0,1)r \in [0,1) будем рассматривать Pr\mathcal{P}_{r} как оператор на L2(∂D)L^{2}(\partial \mathbf{D}).

?
(a)

Покажите, что Pr\mathcal{P}_{r} — самосопряжённый компактный оператор для каждого r∈[0,1)r \in [0,1).

(b)

Для каждого r∈[0,1)r \in [0,1) найдите все собственные значения и собственные векторы оператора Pr\mathcal{P}_{r}.

(c)

Докажите или опровергните: lim⁡r↑1∥I−P∥r=0\lim_{r \uparrow 1}\left\| I-\mathcal{P}\right\|_{r} = 0.

Задача 11B.10

Пусть f∈L1(∂D)f \in L^{1}(\partial \mathbf{D}). Определим T:L2(∂D)→L2(∂D)T: L^{2}(\partial \mathbf{D}) \rightarrow L^{2}(\partial \mathbf{D}) формулой Tg=f∗gT g = f * g.

?
(a)

Покажите, что TT — компактный оператор на L2(∂D)L^{2}(\partial \mathbf{D}).

(b)

Докажите, что TT инъективен тогда и только тогда, когда f^(n)≠0\widehat{f}(n) \neq 0 для всех n∈Zn \in \mathbb {Z}.

(c)

Найдите формулу для T∗T^{*}.

(d)

Докажите: TT самосопряжён тогда и только тогда, когда все коэффициенты Фурье функции ff вещественны.

(e)

Покажите, что TT — нормальный оператор.

Задача 11B.11

Покажите, что если f,g∈L1(∂D)f, g \in L^{1}(\partial \mathbf{D}), то

(f∗g)∼(t)=12π∫−ππf~(x)g~(t−x)dx (f * g)^{\sim }(t) = \frac{1}{2 \pi } \int _{-\pi }^{\pi } \widetilde{f}(x) \widetilde{g}(t-x) d x

для тех t∈Rt \in \mathbb {R}, для которых (f∗g)(eit)(f * g)\left(e^{i t}\right) имеет смысл; здесь (f∗g)∼,f~(f * g)^{\sim }, \widetilde{f} и g~\widetilde{g} обозначают перенос на вещественную прямую, как определено в 11.24.

?
Задача 11B.12

Пусть 1≤p≤∞1 \leq p \leq \infty. Докажите, что если f∈Lp(∂D)f \in L^{p}(\partial \mathbf{D}) и g∈Lp′(∂D)g \in L^{p^{\prime }}(\partial \mathbf{D}), то f∗gf * g — непрерывная функция на ∂D\partial \mathbf{D}.

?
Задача 11B.13

Пусть g∈L1(∂D)g \in L^{1}(\partial \mathbf{D}) такая, что g^(n)≠0\widehat{g}(n) \neq 0 для бесконечно многих n∈Zn \in \mathbb {Z}. Докажите, что если f∈L1(∂D)f \in L^{1}(\partial \mathbf{D}), то f∗g≠gf * g \neq g.

?
Задача 11B.14

Покажите, что существует двусторонняя последовательность …,b−2,b−1,b0,b1,b2,…\ldots , b_{-2}, b_{-1}, b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots, такая что lim⁡n→±∞bn=0\lim_{n \rightarrow \pm \infty } b_{n} = 0, но не существует f∈L1(∂D)f \in L^{1}(\partial \mathbf{D}) с f^(n)=bn\widehat{f}(n) = b_{n} для всех n∈Zn \in \mathbb {Z}.

?
Задача 11B.15

Докажите, что если f,g∈L2(∂D)f, g \in L^{2}(\partial \mathbf{D}), то

fg^(n)=∑k=−∞∞f^(k)g^(n−k) \widehat{f g}(n) = \sum _{k = -\infty }^{\infty } \widehat{f}(k) \widehat{g}(n-k)

для всех n∈Zn \in \mathbb {Z}.

?
Задача 11B.16

Пусть f∈L1(∂D)f \in L^{1}(\partial \mathbf{D}). Докажите, что Pr(Psf)=Prsf\mathcal{P}_{r}\left(\mathcal{P}_{s} f\right) = \mathcal{P}_{r s} f для всех r,s∈[0,1)r, s \in [0,1).

?
Задача 11B.17

Пусть p∈[1,∞]p \in [1, \infty ] и f∈Lp(∂D)f \in L^{p}(\partial \mathbf{D}). Докажите, что если 0≤r<s<10 \leq r < s < 1, то

∥Prf∥p≤∥Psf∥p \left\| \mathcal{P}_r f\right\| _{p} \leq \left\| \mathcal{P}_s f\right\| _{p}
?
Задача 11B.18

Докажите неравенство Виртингера: если f:R→Rf: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} — непрерывно дифференцируемая 2π2 \pi-периодическая функция и ∫−ππf(t)dt=0\int_{-\pi }^{\pi } f(t) d t = 0, то

∫−ππ(f(t))2dt≤∫−ππ(f′(t))2dt \int _{-\pi }^{\pi }(f(t))^{2} d t \leq \int _{-\pi }^{\pi }\left(f^{\prime }(t)\right)^{2} d t

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда f(t)=asin⁡(t)+bcos⁡(t)f(t) = a \sin (t)+b \cos (t) для некоторых постоянных a,ba, b.

?