Пространства со скалярным произведением

Докажите или приведите контрпример: если $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$, то

Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$. Определим $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle_{1}$ формулой

для всех $u, v \in V$. Покажите, что $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle_{1}$ является скалярным произведением на $V$ тогда и только тогда, когда $S$ инъективен.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $\left\| T v\right\| \leq \left\| v\right\|$ для каждого $v \in V$. Докажите, что $T-\sqrt{2} I$ инъективен.

Пусть $V$ — вещественное пространство со скалярным произведением.

Пусть $u, v \in V$. Докажите, что $\left\langle u, v \right\rangle = 0 \iff \left\| u\right\| \leq \left\| u+a v\right\|$ для всех $a \in \mathbf{F}$.

Пусть $u, v \in V$. Докажите, что $\left\| a u+b v\right\| = \left\| b u+a v\right\|$ для всех $a, b \in \mathbb {R}$ тогда и только тогда, когда $\left\| u\right\| = \left\| v\right\|$.

Пусть $a, b, c, x, y \in \mathbb {R}$ и $a^{2}+b^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2} \leq 1$. Докажите, что $a+b+c+4 x+9 y \leq 10$.

Пусть $u, v \in V$, $\left\| u\right\| = \left\| v\right\| = 1$ и $\left\langle u, v \right\rangle = 1$. Докажите, что $u = v$.

Пусть $u, v \in V$, $\left\| u\right\| \leq 1$ и $\left\| v\right\| \leq 1$. Докажите, что

Найдите векторы $u, v \in \mathbb {R}^{2}$, такие что $u$ — скалярное кратное $(1,3)$, $v$ ортогонален $(1,3)$, и $(1,2) = u+v$.

Пусть $a, b, c, d$ — положительные числа.

Покажите, что квадрат среднего значения не превосходит среднего значения квадратов. Точнее, покажите, что если $a_{1}, \ldots , a_{n} \in \mathbb {R}$, то квадрат среднего значения $a_{1}, \ldots , a_{n}$ не превосходит среднего значения $a_{1}^{2}, \ldots , a_{n}^{2}$.

Пусть $v \in V$ и $v \neq 0$. Докажите, что $v /\left\| v\right\|$ — единственный ближайший к $v$ элемент единичной сферы $V$. Точнее, докажите, что если $u \in V$ и $\left\| u\right\| = 1$, то

причём равенство достигается только при $u = v /\left\| v\right\|$.

Пусть $u, v$ — ненулевые векторы в $\mathbb {R}^{2}$. Докажите, что

где $\theta$ — угол между $u$ и $v$ (рассматривая $u$ и $v$ как стрелки с началом в начале координат).

Угол между двумя векторами (рассматриваемыми как стрелки с началом в начале координат) в $\mathbb {R}^{2}$ или $\mathbb {R}^{3}$ может быть определён геометрически. Однако в $\mathbb {R}^{n}$ при $n > 3$ геометрия не столь наглядна. Поэтому угол между двумя ненулевыми векторами $x, y \in \mathbb {R}^{n}$ определяется как

где мотивировка этого определения исходит из задачи 15. Объясните, почему неравенство Коши-Шварца необходимо для того, чтобы показать, что это определение корректно.

Докажите, что

для всех вещественных чисел $a_{1}, \ldots , a_{n}$ и $b_{1}, \ldots , b_{n}$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что если $\lambda$ — собственное значение $T$, то

где $\mathcal{M}(T)_{j, k}$ обозначает элемент в строке $j$, столбце $k$ матрицы $T$ относительно базиса $v_{1}, \ldots , v_{n}$.

Докажите, что если $u, v \in V$, то $\left|\left\| u\right\| -\left\| v\right\| \right| \leq \left\| u-v\right\|$. Указанное выше неравенство называется обратным неравенством треугольника. Об обратном неравенстве треугольника для случая $V = \mathbb {C}$ см. задачу 2 главы 4.

Пусть $u, v \in V$ таковы, что

Чему равно $\left\| v\right\|$?

Покажите, что если $u, v \in V$, то

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$ таковы, что $\left\| v_{k}\right\| \leq 1$ для каждого $k = 1, \ldots , m$. Покажите, что существуют $a_{1}, \ldots , a_{m} \in \left\{ 1,-1\right\}$, такие что

Докажите или приведите контрпример: если $\left\| \cdot \right\|$ — норма, порождённая некоторым скалярным произведением на $\mathbb {R}^{2}$, то существует $(x, y) \in \mathbb {R}^{2}$, такой что $\left\| (x, y)\right\| \neq \max \left\{ \left|x\right|,\left|y\right|\right\}$.

Пусть $p > 0$. Докажите, что существует скалярное произведение на $\mathbb {R}^{2}$, для которого порождённая норма задаётся формулой

для всех $(x, y) \in \mathbb {R}^{2}$, тогда и только тогда, когда $p = 2$.

Пусть $V$ — вещественное пространство со скалярным произведением. Докажите, что

для всех $u, v \in V$.

Пусть $V$ — комплексное пространство со скалярным произведением. Докажите, что

для всех $u, v \in V$.

Норма на векторном пространстве $U$ — это функция

такая что $\left\| u\right\| = 0$ тогда и только тогда, когда $u = 0$, $\left\| \alpha u\right\| = \left|\alpha \right|\left\| u\right\|$ для всех $\alpha \in \mathbf{F}$ и всех $u \in U$, и $\left\| u+v\right\| \leq \left\| u\right\| +\left\| v\right\|$ для всех $u, v \in U$. Докажите, что норма, удовлетворяющая равенству параллелограмма, порождена некоторым скалярным произведением (иными словами, покажите, что если $\left\| \cdot \right\|$ — норма на $U$, удовлетворяющая равенству параллелограмма, то существует скалярное произведение $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle$ на $U$, такое что $\left\| u\right\| = \left\langle u, u \right\rangle^{1 / 2}$ для всех $u \in U$).

Пусть $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — пространства со скалярным произведением. Покажите, что равенство

задаёт скалярное произведение на $V_{1} \times \cdots \times V_{m}$. В выражении справа выше, для каждого $k = 1, \ldots , m$, скалярное произведение $\left\langle u_{k}, v_{k} \right\rangle$ обозначает скалярное произведение на $V_{k}$. Каждое из пространств $V_{1}, \ldots , V_{m}$ может иметь своё скалярное произведение, даже если здесь используется одно и то же обозначение.

Пусть $V$ — вещественное пространство со скалярным произведением. Для $u, v, w, x \in V$ определим

Пусть $u, v, w \in V$. Докажите, что

Пусть $E$ — подмножество $V$, обладающее тем свойством, что $u,v\in E$ влечёт $\frac{1}{2}(u+v)\in E$. Пусть $w \in V$. Покажите, что в $E$ существует не более одной точки, ближайшей к $w$. Иными словами, покажите, что существует не более одного $u \in E$, такого что

для всех $x \in E$.

Пусть $f, g$ — дифференцируемые функции из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}^{n}$.

Используя скалярные произведения, докажите тождество Аполлония: в треугольнике со сторонами длиной $a, b$ и $c$ пусть $d$ — длина отрезка от середины стороны длиной $c$ до противоположной вершины. Тогда

Зафиксируем положительное целое число $n$. Лапласиан $\Delta p$ дважды дифференцируемой вещественнозначной функции $p$ на $\mathbb {R}^{n}$ — это функция на $\mathbb {R}^{n}$, определённая формулой

Функция $p$ называется гармонической, если $\Delta p = 0$. Многочлен на $\mathbb {R}^{n}$ — это линейная комбинация (с коэффициентами из $\mathbb {R}$) функций вида $x_{1}^{m_{1}} \ldots x_{n}^{m_{n}}$, где $m_{1}, \ldots , m_{n}$ — неотрицательные целые числа.

Пусть $q$ — многочлен на $\mathbb {R}^{n}$. Докажите, что существует гармонический многочлен $p$ на $\mathbb {R}^{n}$, такой что $p(x) = q(x)$ для каждого $x \in \mathbb {R}^{n}$ с $\left\| x\right\| = 1$.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{m}$ — набор векторов в $V$, таких что

для всех $a_{1}, \ldots , a_{m} \in \mathbf{F}$. Покажите, что $e_{1}, \ldots , e_{m}$ — ортонормированный набор. Эта задача даёт утверждение, обратное к 6.24.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{m}$ — ортонормированный набор в $V$ и $v \in V$. Докажите, что

Пусть $n$ — положительное целое число. Докажите, что

— ортонормированный набор векторов в $C[-\pi , \pi ]$, векторном пространстве непрерывных вещественнозначных функций на $[-\pi , \pi ]$ со скалярным произведением

Пусть $f:[-\pi , \pi ] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна. Для каждого неотрицательного целого $k$ определим

Докажите, что

Указанное выше неравенство на самом деле обращается в равенство для всех непрерывных функций $f:[-\pi , \pi ] \rightarrow \mathbb {R}$. Однако доказательство того, что это неравенство является равенством, использует технику рядов Фурье, выходящую за рамки этой книги.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис $V$.

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{3}\right)$ имеет верхнетреугольную матрицу относительно базиса $(1,0,0),(1,1,1),(1,1,2)$. Найдите ортонормированный базис $\mathbb {R}^{3}$, относительно которого $T$ имеет верхнетреугольную матрицу.

Превратите $\mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})$ в пространство со скалярным произведением, определив $\left\langle p, q \right\rangle = \int_{0}^{1} p q$ для всех $p, q \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})$.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{m}$ — результат применения процесса Грама-Шмидта к линейно независимому набору $v_{1}, \ldots , v_{m}$ в $V$. Докажите, что $\left\langle v_{k}, e_{k} \right\rangle > 0$ для каждого $k = 1, \ldots , m$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — линейно независимый набор в $V$. Объясните, почему ортонормированный набор, полученный по формулам процесса Грама-Шмидта (6.32), является единственным ортонормированным набором $e_{1}, \ldots , e_{m}$ в $V$, таким что $\left\langle v_{k}, e_{k} \right\rangle > 0$ и $\operatorname {span}\left(v_{1}, \ldots , v_{k}\right) = \operatorname {span}\left(e_{1}, \ldots , e_{k}\right)$ для каждого $k = 1, \ldots , m$.

Найдите многочлен $q \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})$, такой что $p\left(\frac{1}{2}\right) = \int_{0}^{1} p q$ для каждого $p \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})$.

Найдите многочлен $q \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})$, такой что

для каждого $p \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb {R})$.

Покажите, что набор $v_{1}, \ldots , v_{m}$ векторов в $V$ линейно зависим тогда и только тогда, когда формула процесса Грама-Шмидта из 6.32 даёт $f_{k} = 0$ для некоторого $k \in \left\{ 1, \ldots , m\right\}$.

Пусть $V$ — вещественное пространство со скалярным произведением и $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — линейно независимый набор векторов в $V$. Докажите, что существует ровно $2^{m}$ ортонормированных наборов $e_{1}, \ldots , e_{m}$ векторов в $V$, таких что

для всех $k \in \left\{ 1, \ldots , m\right\}$.

Пусть $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle_{1}$ и $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle_{2}$ — скалярные произведения на $V$, такие что $\left\langle u, v \right\rangle_{1} = 0$ тогда и только тогда, когда $\left\langle u, v \right\rangle_{2} = 0$. Докажите, что существует положительное число $c$, такое что $\left\langle u, v \right\rangle_{1} = c \left\langle u, v \right\rangle_{2}$ для каждых $u, v \in V$.

Пусть $V$ конечномерно. Пусть $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle_{1}, \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle_{2}$ — скалярные произведения на $V$ с соответствующими нормами $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$. Докажите, что существует положительное число $c$, такое что $\left\| v\right\|_{1} \leq c\left\| v\right\|_{2}$ для каждого $v \in V$.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ и $V$ конечномерно. Докажите, что если $T$ — оператор на $V$, такой что $1$ — единственное собственное значение $T$ и $\left\| T v\right\| \leq \left\| v\right\|$ для всех $v \in V$, то $T$ — тождественный оператор.

Пусть $u_{1}, \ldots , u_{m}$ — линейно независимый набор в $V$. Покажите, что существует $v \in V$, такой что $\left\langle u_{k}, v \right\rangle = 1$ для всех $k \in \left\{ 1, \ldots , m\right\}$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$. Докажите, что существует базис $u_{1}, \ldots , u_{n}$ пространства $V$, такой что

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$, $V$ конечномерно, и $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{L}(V)$ таково, что

для всех $S, T \in \mathcal{E}$. Докажите, что существует ортонормированный базис $V$, относительно которого каждый элемент $\mathcal{E}$ имеет верхнетреугольную матрицу. > Эта задача усиливает задачу 9(b) раздела 5E (в контексте пространств со скалярным произведением), утверждая, что базис в той задаче можно выбрать ортонормированным.

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {C}$, $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$, и все собственные значения $T$ по модулю меньше $1$. Пусть $\epsilon > 0$. Докажите, что существует положительное целое число $m$, такое что $\left\| T^{m} v\right\| \leq \epsilon \left\| v\right\|$ для каждого $v \in V$.

Пусть $C[-1,1]$ — векторное пространство непрерывных вещественнозначных функций на отрезке $[-1,1]$ со скалярным произведением

для всех $f, g \in C[-1,1]$. Пусть $\varphi$ — линейный функционал на $C[-1,1]$, определённый как $\varphi (f) = f(0)$. Покажите, что не существует $g \in C[-1,1]$, такого что

для каждого $f \in C[-1,1]$. Эта задача показывает, что теорема Рисса о представлении (6.42) не выполняется для бесконечномерных векторных пространств без дополнительных предположений о $V$ и $\varphi$.

Для всех $u, v \in V$ определим $d(u, v) = \left\| u-v\right\|$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$. Докажите, что

Пусть $U$ — подпространство $V$ с базисом $u_{1}, \ldots , u_{m}$ и

— базис $V$. Докажите, что если процесс Грама-Шмидта применить к указанному выше базису $V$, получив набор $e_{1}, \ldots , e_{m}, f_{1}, \ldots , f_{n}$, то $e_{1}, \ldots , e_{m}$ — ортонормированный базис $U$, а $f_{1}, \ldots , f_{n}$ — ортонормированный базис $U^{\perp }$.

Пусть $U$ — подпространство $\mathbb {R}^{4}$, определённое как

Найдите ортонормированный базис $U$ и ортонормированный базис $U^{\perp }$.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — набор векторов в $V$ с $\left\| e_{k}\right\| = 1$ для каждого $k = 1, \ldots , n$ и

для всех $v \in V$. Докажите, что $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис $V$. Эта задача даёт утверждение, обратное к $6.30(b)$.

Пусть $V$ конечномерно и $U$ — подпространство $V$. Покажите, что $P_{U^{\perp }} = I-P_{U}$, где $I$ — тождественный оператор на $V$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Покажите, что

Пусть $X$ и $Y$ — конечномерные подпространства $V$. Докажите, что $P_{X} P_{Y} = 0$ тогда и только тогда, когда $\left\langle x, y \right\rangle = 0$ для всех $x \in X$ и всех $y \in Y$.

Пусть $U$ — конечномерное подпространство $V$ и $v \in V$. Определим линейный функционал $\varphi : U \rightarrow \mathbf{F}$ формулой

для всех $u \in U$. По теореме Рисса о представлении (6.42), применённой к пространству со скалярным произведением $U$, существует единственный вектор $w \in U$, такой что

для всех $u \in U$. Покажите, что $w = P_{U} v$.

Пусть $V$ конечномерно. Пусть $P \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $P^{2} = P$ и каждый вектор из $\operatorname {null}P$ ортогонален каждому вектору из range $P$. Докажите, что существует подпространство $U$ пространства $V$, такое что $P = P_{U}$.

Пусть $V$ конечномерно и $P \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $P^{2} = P$ и

для каждого $v \in V$. Докажите, что существует подпространство $U$ пространства $V$, такое что $P = P_{U}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $U$ — конечномерное подпространство $V$. Докажите, что