Ортогональные дополнения и задачи минимизации

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$. Докажите, что

Пусть $U$ — подпространство $V$ с базисом $u_{1}, \ldots , u_{m}$ и

— базис $V$. Докажите, что если процесс Грама-Шмидта применить к указанному выше базису $V$, получив набор $e_{1}, \ldots , e_{m}, f_{1}, \ldots , f_{n}$, то $e_{1}, \ldots , e_{m}$ — ортонормированный базис $U$, а $f_{1}, \ldots , f_{n}$ — ортонормированный базис $U^{\perp }$.

Пусть $U$ — подпространство $\mathbb {R}^{4}$, определённое как

Найдите ортонормированный базис $U$ и ортонормированный базис $U^{\perp }$.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — набор векторов в $V$ с $\left\| e_{k}\right\| = 1$ для каждого $k = 1, \ldots , n$ и

для всех $v \in V$. Докажите, что $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис $V$. Эта задача даёт утверждение, обратное к $6.30(b)$.

Пусть $V$ конечномерно и $U$ — подпространство $V$. Покажите, что $P_{U^{\perp }} = I-P_{U}$, где $I$ — тождественный оператор на $V$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Покажите, что

Пусть $X$ и $Y$ — конечномерные подпространства $V$. Докажите, что $P_{X} P_{Y} = 0$ тогда и только тогда, когда $\left\langle x, y \right\rangle = 0$ для всех $x \in X$ и всех $y \in Y$.

Пусть $U$ — конечномерное подпространство $V$ и $v \in V$. Определим линейный функционал $\varphi : U \rightarrow \mathbf{F}$ формулой

для всех $u \in U$. По теореме Рисса о представлении (6.42), применённой к пространству со скалярным произведением $U$, существует единственный вектор $w \in U$, такой что

для всех $u \in U$. Покажите, что $w = P_{U} v$.

Пусть $V$ конечномерно. Пусть $P \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $P^{2} = P$ и каждый вектор из $\operatorname {null}P$ ортогонален каждому вектору из range $P$. Докажите, что существует подпространство $U$ пространства $V$, такое что $P = P_{U}$.

Пусть $V$ конечномерно и $P \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $P^{2} = P$ и

для каждого $v \in V$. Докажите, что существует подпространство $U$ пространства $V$, такое что $P = P_{U}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ и $U$ — конечномерное подпространство $V$. Докажите, что

Пусть $V$ конечномерно, $T \in \mathcal{L}(V)$, и $U$ — подпространство $V$. Докажите, что

Пусть $\mathbf{F} = \mathbb {R}$ и $V$ конечномерно. Для каждого $v \in V$ пусть $\varphi_{v}$ обозначает линейный функционал на $V$, определённый как

для всех $u \in V$.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис $V$. Объясните, почему двойственный базис (см. 3.112) к $e_{1}, \ldots , e_{n}$ есть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ при отождествлении $V^{\prime }$ с $V$, задаваемом теоремой Рисса о представлении (6.58).

Определение 3.112 (двойственный базис): если $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$, то двойственный базис к $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — это список $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n}$ элементов $V^{\prime }$, где каждый $\varphi_{j}$ — линейный функционал на $V$, такой что $\varphi_{j}(v_{k}) = 1$, если $k = j$, и $\varphi_{j}(v_{k}) = 0$, если $k \neq j$.

Теорема 6.58 (теорема Рисса о представлении, пересмотренная версия): пусть $V$ конечномерно. Для каждого $v \in V$ определим $\varphi_{v} \in V^{\prime }$ формулой $\varphi_{v}(u) = \left\langle u, v \right\rangle$ для каждого $u \in V$. Тогда $v \mapsto \varphi_{v}$ — биективное отображение из $V$ на $V^{\prime }$.

В $\mathbb {R}^{4}$ пусть

Найдите $u \in U$, такой что $\left\| u-(1,2,3,4)\right\|$ минимально.

Пусть $C[-1,1]$ — векторное пространство непрерывных вещественнозначных функций на отрезке $[-1,1]$ со скалярным произведением

для всех $f, g \in C[-1,1]$. Пусть $U$ — подпространство $C[-1,1]$, определённое как

Найдите $p \in \mathcal{P}_{3}(\mathbb {R})$, такой что $p(0) = 0$, $p^{\prime }(0) = 0$, и $\int_{0}^{1}|2+3 x-p(x)|^{2} d x$ минимален.

Найдите $p \in \mathcal{P}_{5}(\mathbb {R})$, минимизирующий $\int_{-\pi }^{\pi }|\sin x-p(x)|^{2} d x$. Многочлен 6.65 является отличным приближением к ответу этой задачи, но здесь требуется найти точное решение, которое включает степени $\pi$. Компьютер, способный выполнять символьное интегрирование, должен помочь.

Пусть $V$ конечномерно и $P \in \mathcal{L}(V)$ — ортогональная проекция $V$ на некоторое подпространство $V$. Докажите, что $P^{\dagger } = P$.

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Покажите, что

Пусть $T \in \mathcal{L}\left(\mathbf{F}^{3}, \mathbf{F}^{2}\right)$ определён как

Пусть $V$ конечномерно и $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что

Обе формулы выше, очевидно, выполняются, если $T$ обратим, поскольку в этом случае мы можем заменить $T^{\dagger }$ на $T^{-1}$.

Пусть $V$ и $W$ конечномерны и $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Докажите, что

Указанное выше равенство аналогично равенству $\left(T^{-1}\right)^{-1} = T$, которое выполняется, если $T$ обратим.