Скалярные произведения и нормы

Докажите или приведите контрпример: если $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$, то

Пусть $S \in \mathcal{L}(V)$. Определим $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle_{1}$ формулой

для всех $u, v \in V$. Покажите, что $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle_{1}$ является скалярным произведением на $V$ тогда и только тогда, когда $S$ инъективен.

Пусть $T \in \mathcal{L}(V)$ таков, что $\left\| T v\right\| \leq \left\| v\right\|$ для каждого $v \in V$. Докажите, что $T-\sqrt{2} I$ инъективен.

Пусть $V$ — вещественное пространство со скалярным произведением.

Пусть $u, v \in V$. Докажите, что $\left\langle u, v \right\rangle = 0 \iff \left\| u\right\| \leq \left\| u+a v\right\|$ для всех $a \in \mathbf{F}$.

Пусть $u, v \in V$. Докажите, что $\left\| a u+b v\right\| = \left\| b u+a v\right\|$ для всех $a, b \in \mathbb {R}$ тогда и только тогда, когда $\left\| u\right\| = \left\| v\right\|$.

Пусть $a, b, c, x, y \in \mathbb {R}$ и $a^{2}+b^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2} \leq 1$. Докажите, что $a+b+c+4 x+9 y \leq 10$.

Пусть $u, v \in V$, $\left\| u\right\| = \left\| v\right\| = 1$ и $\left\langle u, v \right\rangle = 1$. Докажите, что $u = v$.

Пусть $u, v \in V$, $\left\| u\right\| \leq 1$ и $\left\| v\right\| \leq 1$. Докажите, что

Найдите векторы $u, v \in \mathbb {R}^{2}$, такие что $u$ — скалярное кратное $(1,3)$, $v$ ортогонален $(1,3)$, и $(1,2) = u+v$.

Пусть $a, b, c, d$ — положительные числа.

Покажите, что квадрат среднего значения не превосходит среднего значения квадратов. Точнее, покажите, что если $a_{1}, \ldots , a_{n} \in \mathbb {R}$, то квадрат среднего значения $a_{1}, \ldots , a_{n}$ не превосходит среднего значения $a_{1}^{2}, \ldots , a_{n}^{2}$.

Пусть $v \in V$ и $v \neq 0$. Докажите, что $v /\left\| v\right\|$ — единственный ближайший к $v$ элемент единичной сферы $V$. Точнее, докажите, что если $u \in V$ и $\left\| u\right\| = 1$, то

причём равенство достигается только при $u = v /\left\| v\right\|$.

Пусть $u, v$ — ненулевые векторы в $\mathbb {R}^{2}$. Докажите, что

где $\theta$ — угол между $u$ и $v$ (рассматривая $u$ и $v$ как стрелки с началом в начале координат).

Угол между двумя векторами (рассматриваемыми как стрелки с началом в начале координат) в $\mathbb {R}^{2}$ или $\mathbb {R}^{3}$ может быть определён геометрически. Однако в $\mathbb {R}^{n}$ при $n > 3$ геометрия не столь наглядна. Поэтому угол между двумя ненулевыми векторами $x, y \in \mathbb {R}^{n}$ определяется как

где мотивировка этого определения исходит из задачи 15. Объясните, почему неравенство Коши-Шварца необходимо для того, чтобы показать, что это определение корректно.

Докажите, что

для всех вещественных чисел $a_{1}, \ldots , a_{n}$ и $b_{1}, \ldots , b_{n}$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$ и $T \in \mathcal{L}(V)$. Докажите, что если $\lambda$ — собственное значение $T$, то

где $\mathcal{M}(T)_{j, k}$ обозначает элемент в строке $j$, столбце $k$ матрицы $T$ относительно базиса $v_{1}, \ldots , v_{n}$.

Докажите, что если $u, v \in V$, то $\left|\left\| u\right\| -\left\| v\right\| \right| \leq \left\| u-v\right\|$. Указанное выше неравенство называется обратным неравенством треугольника. Об обратном неравенстве треугольника для случая $V = \mathbb {C}$ см. задачу 2 главы 4.

Пусть $u, v \in V$ таковы, что

Чему равно $\left\| v\right\|$?

Покажите, что если $u, v \in V$, то

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V$ таковы, что $\left\| v_{k}\right\| \leq 1$ для каждого $k = 1, \ldots , m$. Покажите, что существуют $a_{1}, \ldots , a_{m} \in \left\{ 1,-1\right\}$, такие что

Докажите или приведите контрпример: если $\left\| \cdot \right\|$ — норма, порождённая некоторым скалярным произведением на $\mathbb {R}^{2}$, то существует $(x, y) \in \mathbb {R}^{2}$, такой что $\left\| (x, y)\right\| \neq \max \left\{ \left|x\right|,\left|y\right|\right\}$.

Пусть $p > 0$. Докажите, что существует скалярное произведение на $\mathbb {R}^{2}$, для которого порождённая норма задаётся формулой

для всех $(x, y) \in \mathbb {R}^{2}$, тогда и только тогда, когда $p = 2$.

Пусть $V$ — вещественное пространство со скалярным произведением. Докажите, что

для всех $u, v \in V$.

Пусть $V$ — комплексное пространство со скалярным произведением. Докажите, что

для всех $u, v \in V$.

Норма на векторном пространстве $U$ — это функция

такая что $\left\| u\right\| = 0$ тогда и только тогда, когда $u = 0$, $\left\| \alpha u\right\| = \left|\alpha \right|\left\| u\right\|$ для всех $\alpha \in \mathbf{F}$ и всех $u \in U$, и $\left\| u+v\right\| \leq \left\| u\right\| +\left\| v\right\|$ для всех $u, v \in U$. Докажите, что норма, удовлетворяющая равенству параллелограмма, порождена некоторым скалярным произведением (иными словами, покажите, что если $\left\| \cdot \right\|$ — норма на $U$, удовлетворяющая равенству параллелограмма, то существует скалярное произведение $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle$ на $U$, такое что $\left\| u\right\| = \left\langle u, u \right\rangle^{1 / 2}$ для всех $u \in U$).

Пусть $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — пространства со скалярным произведением. Покажите, что равенство

задаёт скалярное произведение на $V_{1} \times \cdots \times V_{m}$. В выражении справа выше, для каждого $k = 1, \ldots , m$, скалярное произведение $\left\langle u_{k}, v_{k} \right\rangle$ обозначает скалярное произведение на $V_{k}$. Каждое из пространств $V_{1}, \ldots , V_{m}$ может иметь своё скалярное произведение, даже если здесь используется одно и то же обозначение.

Пусть $V$ — вещественное пространство со скалярным произведением. Для $u, v, w, x \in V$ определим

Пусть $u, v, w \in V$. Докажите, что

Пусть $E$ — подмножество $V$, обладающее тем свойством, что $u,v\in E$ влечёт $\frac{1}{2}(u+v)\in E$. Пусть $w \in V$. Покажите, что в $E$ существует не более одной точки, ближайшей к $w$. Иными словами, покажите, что существует не более одного $u \in E$, такого что

для всех $x \in E$.

Пусть $f, g$ — дифференцируемые функции из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}^{n}$.

Используя скалярные произведения, докажите тождество Аполлония: в треугольнике со сторонами длиной $a, b$ и $c$ пусть $d$ — длина отрезка от середины стороны длиной $c$ до противоположной вершины. Тогда

Зафиксируем положительное целое число $n$. Лапласиан $\Delta p$ дважды дифференцируемой вещественнозначной функции $p$ на $\mathbb {R}^{n}$ — это функция на $\mathbb {R}^{n}$, определённая формулой

Функция $p$ называется гармонической, если $\Delta p = 0$. Многочлен на $\mathbb {R}^{n}$ — это линейная комбинация (с коэффициентами из $\mathbb {R}$) функций вида $x_{1}^{m_{1}} \ldots x_{n}^{m_{n}}$, где $m_{1}, \ldots , m_{n}$ — неотрицательные целые числа.

Пусть $q$ — многочлен на $\mathbb {R}^{n}$. Докажите, что существует гармонический многочлен $p$ на $\mathbb {R}^{n}$, такой что $p(x) = q(x)$ для каждого $x \in \mathbb {R}^{n}$ с $\left\| x\right\| = 1$.