Конечномерные векторные пространства

Найдите набор из четырёх различных векторов в $\mathbf{F}^{3}$, линейная оболочка которых равна

Докажите или приведите контрпример: если $v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ порождают $V$, то набор

также порождает $V$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — набор векторов в $V$. Для $k \in \left\{ 1, \ldots , m\right\}$ положим

Покажите, что $\operatorname {span}\left(v_{1}, \ldots , v_{m}\right) = \operatorname {span}\left(w_{1}, \ldots , w_{m}\right)$.

Найдите число $t$, такое что

не является линейно независимым набором в $\mathbb {R}^{3}$.

Покажите, что набор (2,3,1), (1, -1,2), (7,3,c) линейно зависим в $\mathbf{F}^{3}$ тогда и только тогда, когда $c = 8$.

Пусть $v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ линейно независимы в $V$. Докажите, что набор

также линейно независим.

Докажите или приведите контрпример: если $v_{1}, v_{2}, \ldots , v_{m}$ — линейно независимый набор векторов в $V$, то

линейно независим.

Докажите или приведите контрпример: если $v_{1}, v_{2}, \ldots , v_{m}$ — линейно независимый набор векторов в $V$ и $\lambda \in \mathbf{F}$ с $\lambda \neq 0$, то $\lambda v_{1}, \lambda v_{2}, \ldots , \lambda v_{m}$ линейно независим.

Докажите или приведите контрпример: если $v_{1}, \ldots , v_{m}$ и $w_{1}, \ldots , w_{m}$ — линейно независимые наборы векторов в $V$, то набор $v_{1}+w_{1}, \ldots , v_{m}+w_{m}$ линейно независим.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ линейно независимы в $V$ и $w \in V$. Докажите, что если $v_{1}+w, \ldots , v_{m}+w$ линейно зависим, то $w \in \operatorname {span}\left(v_{1}, \ldots , v_{m}\right)$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ линейно независимы в $V$ и $w \in V$. Покажите, что

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — набор векторов в $V$. Для $k \in \left\{ 1, \ldots , m\right\}$ положим

Покажите, что набор $v_{1}, \ldots , v_{m}$ линейно независим тогда и только тогда, когда набор $w_{1}, \ldots , w_{m}$ линейно независим.

Объясните, почему не существует набора из шести многочленов, линейно независимого в $\mathcal{P}_{4}(\mathbf{F})$.

Объясните, почему никакой набор из четырёх многочленов не порождает $\mathcal{P}_{4}(\mathbf{F})$.

Докажите, что $V$ бесконечномерно тогда и только тогда, когда существует последовательность $v_{1}, v_{2}, \ldots$ векторов в $V$, такая что $v_{1}, \ldots , v_{m}$ линейно независим при каждом натуральном $m$.

Докажите, что $\mathbf{F}^{\infty }$ бесконечномерно.

Докажите, что вещественное векторное пространство всех непрерывных вещественнозначных функций на интервале $[0,1]$ бесконечномерно.

Пусть $p_{0}, p_{1}, \ldots , p_{m}$ — многочлены в $\mathcal{P}_{m}(\mathbf{F})$, такие что $p_{k}(2) = 0$ для каждого $k \in \left\{ 0, \ldots , m\right\}$. Докажите, что $p_{0}, p_{1}, \ldots , p_{m}$ не является линейно независимым в $\mathcal{P}_{m}(\mathbf{F})$.

Найдите все векторные пространства, имеющие ровно один базис.

Проверьте все утверждения из примера 2.27.

Пример 2.27:

Пусть $V$ конечномерно и $U, W$ — подпространства $V$, такие что $V = U+W$. Докажите, что существует базис $V$, состоящий из векторов, лежащих в $U \cup W$.

Докажите или приведите контрпример: если $p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}$ — набор в $\mathcal{P}_{3}(\mathbf{F})$, такой что ни один из многочленов $p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}$ не имеет степень 2, то $p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}$ не является базисом $\mathcal{P}_{3}(\mathbf{F})$.

Пусть $v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ — базис $V$. Докажите, что

также является базисом $V$.

Докажите или приведите контрпример: если $v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ — базис $V$ и $U$ — подпространство $V$, такое что $v_{1}, v_{2} \in U$, а $v_{3} \notin U$ и $v_{4} \notin U$, то $v_{1}, v_{2}$ — базис $U$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — набор векторов в $V$. Для $k \in \left\{ 1, \ldots , m\right\}$ положим

Покажите, что $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — базис $V$ тогда и только тогда, когда $w_{1}, \ldots , w_{m}$ — базис $V$.

Пусть $U$ и $W$ — подпространства $V$, такие что $V = U \oplus W$. Пусть также $u_{1}, \ldots , u_{m}$ — базис $U$, а $w_{1}, \ldots , w_{n}$ — базис $W$. Докажите, что

— базис $V$.

Пусть $V$ — вещественное векторное пространство. Покажите, что если $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$ (как вещественного векторного пространства), то $v_{1}, \ldots , v_{n}$ также является базисом комплексификации $V_{\mathbb {C}}$ (как комплексного векторного пространства).

Покажите, что подпространствами $\mathbb {R}^{2}$ являются в точности $\left\{ 0\right\}$, все прямые в $\mathbb {R}^{2}$, проходящие через начало координат, и $\mathbb {R}^{2}$.

Покажите, что подпространствами $\mathbb {R}^{3}$ являются в точности $\left\{ 0\right\}$, все прямые в $\mathbb {R}^{3}$, проходящие через начало координат, все плоскости в $\mathbb {R}^{3}$, проходящие через начало координат, и $\mathbb {R}^{3}$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ линейно независимы в $V$ и $w \in V$. Докажите, что

Пусть $m$ — натуральное число и $p_{0}, p_{1}, \ldots , p_{m} \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$ таковы, что каждый $p_{k}$ имеет степень $k$. Докажите, что $p_{0}, p_{1}, \ldots , p_{m}$ — базис $\mathcal{P}_{m}(\mathbf{F})$.

Пусть $m$ — натуральное число. Для $0 \leq k \leq m$ положим

Покажите, что $p_{0}, \ldots , p_{m}$ — базис $\mathcal{P}_{m}(\mathbf{F})$. Базис из этой задачи приводит к так называемым многочленам Бернштейна. Вы можете найти в интернете, как многочлены Бернштейна используются для приближения непрерывных функций на $[0,1]$.

Пусть $U$ и $W$ — два четырёхмерных подпространства $\mathbb {C}^{6}$. Докажите, что в $U \cap W$ существуют два вектора, ни один из которых не является скалярным кратным другого.

Пусть $U$ и $W$ — подпространства $\mathbb {R}^{8}$, такие что $\operatorname {dim} U = 3, \operatorname {dim} W = 5$ и $U+W = \mathbb {R}^{8}$. Докажите, что $\mathbb {R}^{8} = U \oplus W$.

Пусть $U$ и $W$ — два пятимерных подпространства $\mathbb {R}^{9}$. Докажите, что $U \cap W \neq \left\{ 0\right\}$.

Пусть $V$ — десятимерное векторное пространство, а $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ — подпространства $V$ с $\operatorname {dim} V_{1} = \operatorname {dim} V_{2} = \operatorname {dim} V_{3} = 7$. Докажите, что $V_{1} \cap V_{2} \cap V_{3} \neq \left\{ 0\right\}$.

Пусть $V$ конечномерно, а $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ — подпространства $V$ с $\operatorname {dim} V_{1}+\operatorname {dim} V_{2}+\operatorname {dim} V_{3} > 2 \operatorname {dim} V$. Докажите, что $V_{1} \cap V_{2} \cap V_{3} \neq \left\{ 0\right\}$.

Пусть $V$ конечномерно и $U$ — подпространство $V$ с $U \neq V$. Пусть $n = \operatorname {dim} V$ и $m = \operatorname {dim} U$. Докажите, что существуют $n-m$ подпространств $V$, каждое размерности $n-1$, пересечение которых равно $U$.

Пусть $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — конечномерные подпространства $V$. Докажите, что $V_{1}+\cdots +V_{m}$ конечномерно и

Неравенство выше обращается в равенство тогда и только тогда, когда $V_{1}+\cdots +V_{m}$ является прямой суммой, как будет показано в 3.94.

Пусть $V$ конечномерно, причём $\operatorname {dim} V = n \geq 1$. Докажите, что существуют одномерные подпространства $V_{1}, \ldots , V_{n}$ пространства $V$, такие что

Объясните, почему по аналогии с формулой для числа элементов объединения трёх конечных множеств можно предположить, что если $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ — подпространства конечномерного векторного пространства, то

Затем либо докажите приведённую выше формулу, либо приведите контрпример.

Докажите, что если $V_{1}, V_{2}$ и $V_{3}$ — подпространства конечномерного векторного пространства, то

Формула выше может показаться странной, поскольку её правая часть не похожа на целое число.