Банк задач по математике

Задача 2B.1

Найдите все векторные пространства, имеющие ровно один базис.

?

Задача 2B.2

Проверьте все утверждения из примера 2.27.

Пример 2.27:

?

(a)

Список $(1,0,\ldots ,0), (0,1,0,\ldots ,0), \ldots , (0,\ldots ,0,1)$ является базисом $\mathbf{F}^{n}$ , называемым стандартным базисом $\mathbf{F}^{n}$ .

(b)

Список $(1,2), (3,5)$ является базисом $\mathbf{F}^{2}$ . Заметим, что этот список имеет длину два, совпадающую с длиной стандартного базиса $\mathbf{F}^{2}$ .

(c)

Список $(1,2,-4), (7,-5,6)$ линейно независим в $\mathbf{F}^{3}$ , но не является базисом $\mathbf{F}^{3}$ , поскольку не порождает $\mathbf{F}^{3}$ .

(d)

Список $(1,2), (3,5), (4,13)$ порождает $\mathbf{F}^{2}$ , но не является базисом $\mathbf{F}^{2}$ , поскольку не является линейно независимым.

(e)

Список $(1,1,0), (0,0,1)$ является базисом $\left\{ (x,x,y) \in \mathbf{F}^{3} : x, y \in \mathbf{F}\right\}$ .

(f)

Список $(1,-1,0), (1,0,-1)$ является базисом $\left\{ (x,y,z) \in \mathbf{F}^{3} : x+y+z = 0\right\}$ .

(g)

Список $1, z, \ldots , z^{m}$ является базисом $\mathcal{P}_{m}(\mathbf{F})$ , называемым стандартным базисом $\mathcal{P}_{m}(\mathbf{F})$ .

Задача 2B.3

(a)(b)(c)

?

(a)

Пусть $U$ — подпространство $\mathbb {R}^{5}$ , определённое как

U = \left\{ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) \in \mathbb {R}^{5}: x_{1} = 3 x_{2} \text{ и } x_{3} = 7 x_{4}\right\} .

Найдите базис $U$ .

(b)

Дополните базис из (a) до базиса $\mathbb {R}^{5}$ .

(c)

Найдите подпространство $W$ пространства $\mathbb {R}^{5}$ , такое что $\mathbb {R}^{5} = U \oplus W$ .

Задача 2B.4

(a)(b)(c)

?

(a)

Пусть $U$ — подпространство $\mathbb {C}^{5}$ , определённое как

U = \left\{ \left(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5}\right) \in \mathbb {C}^{5}: 6 z_{1} = z_{2} \text{ и } z_{3}+2 z_{4}+3 z_{5} = 0\right\}

Найдите базис $U$ .

(b)

Дополните базис из (a) до базиса $\mathbb {C}^{5}$ .

(c)

Найдите подпространство $W$ пространства $\mathbb {C}^{5}$ , такое что $\mathbb {C}^{5} = U \oplus W$ .

Задача 2B.5

Пусть $V$ конечномерно и $U, W$ — подпространства $V$ , такие что $V = U+W$ . Докажите, что существует базис $V$ , состоящий из векторов, лежащих в $U \cup W$ .

?

Задача 2B.6

Докажите или приведите контрпример: если $p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}$ — набор в $\mathcal{P}_{3}(\mathbf{F})$ , такой что ни один из многочленов $p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}$ не имеет степень 2, то $p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}$ не является базисом $\mathcal{P}_{3}(\mathbf{F})$ .

?

Задача 2B.7

Пусть $v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ — базис $V$ . Докажите, что

v_{1}+v_{2}, v_{2}+v_{3}, v_{3}+v_{4}, v_{4}

также является базисом $V$ .

?

Задача 2B.8

Докажите или приведите контрпример: если $v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ — базис $V$ и $U$ — подпространство $V$ , такое что $v_{1}, v_{2} \in U$ , а $v_{3} \notin U$ и $v_{4} \notin U$ , то $v_{1}, v_{2}$ — базис $U$ .

?

Задача 2B.9

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — набор векторов в $V$ . Для $k \in \left\{ 1, \ldots , m\right\}$ положим

w_{k} = v_{1}+\cdots +v_{k}.

Покажите, что $v_{1}, \ldots , v_{m}$ — базис $V$ тогда и только тогда, когда $w_{1}, \ldots , w_{m}$ — базис $V$ .

?

Задача 2B.10

Пусть $U$ и $W$ — подпространства $V$ , такие что $V = U \oplus W$ . Пусть также $u_{1}, \ldots , u_{m}$ — базис $U$ , а $w_{1}, \ldots , w_{n}$ — базис $W$ . Докажите, что

u_{1}, \ldots , u_{m}, w_{1}, \ldots , w_{n}

— базис $V$ .

?

Задача 2B.11

Пусть $V$ — вещественное векторное пространство. Покажите, что если $v_{1}, \ldots , v_{n}$ — базис $V$ (как вещественного векторного пространства), то $v_{1}, \ldots , v_{n}$ также является базисом комплексификации $V_{\mathbb {C}}$ (как комплексного векторного пространства).

?

Примечание.

?

Комплексификация $V_{\mathrm{C}}$ была определена в упражнении 8 раздела 1B: пусть $V$ — вещественное векторное пространство; комплексификация $V$ , обозначаемая $V_{\mathrm{C}}$ , равна $V \times V$ , при этом элемент $(u,v)$ , $u, v \in V$ , записывается как $u+iv$ ; сложение на $V_{\mathrm{C}}$ определяется как $(u_1+iv_1)+(u_2+iv_2) = (u_1+u_2)+i(v_1+v_2)$ ; комплексное умножение на скаляр на $V_{\mathrm{C}}$ определяется как $(a+bi)(u+iv) = (au-bv)+i(av+bu)$ для всех $a, b \in \mathbb {R}$ и всех $u, v \in V$ .

Базисы