Размерность

Покажите, что подпространствами $\mathbb {R}^{2}$ являются в точности $\left\{ 0\right\}$, все прямые в $\mathbb {R}^{2}$, проходящие через начало координат, и $\mathbb {R}^{2}$.

Покажите, что подпространствами $\mathbb {R}^{3}$ являются в точности $\left\{ 0\right\}$, все прямые в $\mathbb {R}^{3}$, проходящие через начало координат, все плоскости в $\mathbb {R}^{3}$, проходящие через начало координат, и $\mathbb {R}^{3}$.

Пусть $v_{1}, \ldots , v_{m}$ линейно независимы в $V$ и $w \in V$. Докажите, что

Пусть $m$ — натуральное число и $p_{0}, p_{1}, \ldots , p_{m} \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$ таковы, что каждый $p_{k}$ имеет степень $k$. Докажите, что $p_{0}, p_{1}, \ldots , p_{m}$ — базис $\mathcal{P}_{m}(\mathbf{F})$.

Пусть $m$ — натуральное число. Для $0 \leq k \leq m$ положим

Покажите, что $p_{0}, \ldots , p_{m}$ — базис $\mathcal{P}_{m}(\mathbf{F})$. Базис из этой задачи приводит к так называемым многочленам Бернштейна. Вы можете найти в интернете, как многочлены Бернштейна используются для приближения непрерывных функций на $[0,1]$.

Пусть $U$ и $W$ — два четырёхмерных подпространства $\mathbb {C}^{6}$. Докажите, что в $U \cap W$ существуют два вектора, ни один из которых не является скалярным кратным другого.

Пусть $U$ и $W$ — подпространства $\mathbb {R}^{8}$, такие что $\operatorname {dim} U = 3, \operatorname {dim} W = 5$ и $U+W = \mathbb {R}^{8}$. Докажите, что $\mathbb {R}^{8} = U \oplus W$.

Пусть $U$ и $W$ — два пятимерных подпространства $\mathbb {R}^{9}$. Докажите, что $U \cap W \neq \left\{ 0\right\}$.

Пусть $V$ — десятимерное векторное пространство, а $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ — подпространства $V$ с $\operatorname {dim} V_{1} = \operatorname {dim} V_{2} = \operatorname {dim} V_{3} = 7$. Докажите, что $V_{1} \cap V_{2} \cap V_{3} \neq \left\{ 0\right\}$.

Пусть $V$ конечномерно, а $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ — подпространства $V$ с $\operatorname {dim} V_{1}+\operatorname {dim} V_{2}+\operatorname {dim} V_{3} > 2 \operatorname {dim} V$. Докажите, что $V_{1} \cap V_{2} \cap V_{3} \neq \left\{ 0\right\}$.

Пусть $V$ конечномерно и $U$ — подпространство $V$ с $U \neq V$. Пусть $n = \operatorname {dim} V$ и $m = \operatorname {dim} U$. Докажите, что существуют $n-m$ подпространств $V$, каждое размерности $n-1$, пересечение которых равно $U$.

Пусть $V_{1}, \ldots , V_{m}$ — конечномерные подпространства $V$. Докажите, что $V_{1}+\cdots +V_{m}$ конечномерно и

Неравенство выше обращается в равенство тогда и только тогда, когда $V_{1}+\cdots +V_{m}$ является прямой суммой, как будет показано в 3.94.

Пусть $V$ конечномерно, причём $\operatorname {dim} V = n \geq 1$. Докажите, что существуют одномерные подпространства $V_{1}, \ldots , V_{n}$ пространства $V$, такие что

Объясните, почему по аналогии с формулой для числа элементов объединения трёх конечных множеств можно предположить, что если $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ — подпространства конечномерного векторного пространства, то

Затем либо докажите приведённую выше формулу, либо приведите контрпример.

Докажите, что если $V_{1}, V_{2}$ и $V_{3}$ — подпространства конечномерного векторного пространства, то

Формула выше может показаться странной, поскольку её правая часть не похожа на целое число.