Глава 2

Начала линейной алгебры

[16/19%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

2.2 · Базис и размерность векторного пространства[9/33%]

Задача 2.2.1

Найти число векторов $n$ -мерного векторного пространства над конечным полем из $q$ элементов.

Задача 2.2.2

Доказать, что пространство всех непрерывных функций на любом промежутке числовой прямой бесконечномерно.

Задача 2.2.3

Найти число базисов $n$ -мерного векторного пространства над полем из $q$ элементов.

Задача 2.2.4

Найти число $k$ -мерных подпространств $n$ -мерного векторного пространства над полем из $q$ элементов.

Задача 2.2.5

Доказать, что поле $\mathbb {R}$ как векторное пространство над $\mathbb {Q}$ не является счетномерным.

Задача 2.2.6

Доказать, что из всякого счетного порождающего множества векторного пространства можно выбрать базис (конечный или счетный).

Задача 2.2.7

Доказать, что любое несчетное множество векторов в счетномерном векторном пространстве линейно зависимо (и, следовательно, любой базис счетен).

Задача 2.2.8

Доказать, что всякую (конечную или счетную) линейно независимую систему векторов счетномерного векторного пространства можно дополнить до базиса.

Задача 2.2.9

Доказать, что всякое подпространство счетномерного векторного пространства не более чем счетномерно (т.е. счетномерно или конечномерно). Привести пример счетномерного подпространства счетномерного векторного пространства, не совпадающего со всем пространством.

2.3 · Ранг матрицы[1/0%]

Задача 2.3.1

Доказать, что ранг суммы матриц не превосходит суммы их рангов. Привести пример, когда имеет место равенство.

2.4 · Определители[1/0%]

Задача 2.4.1

Угловым минором порядка $k$ квадратной матрицы $A$ называется определитель подматрицы порядка $k$ , расположенной в левом верхнем углу матрицы $A$ . Доказать, что если все угловые миноры матрицы $A$ отличны от нуля, то ее можно привести к треугольному виду, добавив к каждой строке линейную комбинацию предыдущих строк. Вывести отсюда, что матрица $A$ единственным образом представляется в виде $A = UB$ , где $U$ --- нижняя треугольная матрица с единицами на диагонали, а $B$ --- верхняя треугольная матрица.

2.5 · Некоторые приложения определителей[5/0%]

Задача 2.5.1

Доказать, что если $\det A = 0$ , но $\det A_i \neq 0$ для какого-либо $i$ , то система

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2, \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}

(где $A$ --- матрица коэффициентов, а $A_i$ --- матрица, получаемая из $A$ заменой $i$ -го столбца столбцом свободных членов) несовместна.

Задача 2.5.2

Показать, что если

\det A = \det A_1 = \ldots = \det A_n = 0,

то система из задачи 2.5.1 может быть как несовместной, так и неопределенной. (Привести примеры, показывающие, что обе возможности реализуются.)

Задача 2.5.3

Пусть $A$ --- невырожденная целочисленная (т.е. состоящая из целых чисел) квадратная матрица. Доказать, что матрица $A^{-1}$ является целочисленной тогда и только тогда, когда $\det A = \pm 1$ .

Задача 2.5.4

Доказать теорему о ранге матрицы в следующей более сильной форме: если в матрице $A$ имеется минор порядка $r$ , отличный от нуля, а все миноры порядка $r+1$ , получаемые приписыванием к нему одной строки и одного столбца (так называемые окаймляющие миноры), равны нулю, то $\operatorname {rk} A = r$ .

Задача 2.5.5

Доказать, что в матрице ранга $r$ любой минор порядка $r$ , образуемый пересечением $r$ линейно независимых строк с $r$ линейно независимыми столбцами, отличен от нуля.