Банк задач по математике

Задача 2.5.1

Доказать, что если $\det A = 0$ , но $\det A_i \neq 0$ для какого-либо $i$ , то система

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2, \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}

(где $A$ --- матрица коэффициентов, а $A_i$ --- матрица, получаемая из $A$ заменой $i$ -го столбца столбцом свободных членов) несовместна.

?

Задача 2.5.2

Показать, что если

\det A = \det A_1 = \ldots = \det A_n = 0,

то система из задачи 2.5.1 может быть как несовместной, так и неопределенной. (Привести примеры, показывающие, что обе возможности реализуются.)

?

Задача 2.5.3

Пусть $A$ --- невырожденная целочисленная (т.е. состоящая из целых чисел) квадратная матрица. Доказать, что матрица $A^{-1}$ является целочисленной тогда и только тогда, когда $\det A = \pm 1$ .

?

Задача 2.5.4

Доказать теорему о ранге матрицы в следующей более сильной форме: если в матрице $A$ имеется минор порядка $r$ , отличный от нуля, а все миноры порядка $r+1$ , получаемые приписыванием к нему одной строки и одного столбца (так называемые окаймляющие миноры), равны нулю, то $\operatorname {rk} A = r$ .

?

Задача 2.5.5

Доказать, что в матрице ранга $r$ любой минор порядка $r$ , образуемый пересечением $r$ линейно независимых строк с $r$ линейно независимыми столбцами, отличен от нуля.

?

Некоторые приложения определителей