Задачи и решения по вводному и продвинутому матричному исчислению

Глава 7

Коммутаторы и антикоммутаторы

[79/54%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

7.1 · Задачи главы

7.2 · Дополнительные задачи

7.1 · Задачи главы[43/100%]

Задача 7.1.1

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ . Предположим, что $[A, B] = 0_n$ и $[A, B]_+ = 0_n$ . Что можно сказать про $AB$ и $BA$ ?

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ . Предположим, что $A$ обратима. Предположим, что $[A, B] = 0_n$ . Можно ли заключить, что $[A^{-1}, B] = 0_n$ ?

(iii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ . Предположим, что

[A, B] = 0_n, \qquad [A, B]_+ = 0_n

и что $A$ обратима. Покажите, что $B$ обязательно является нулевой матрицей.

Задача 7.1.2

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ и $B$ — симметричные матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что $AB$ симметрична тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ коммутируют.

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — эрмитовы матрицы размера $n \times n$ . Является ли $i[A, B]$ эрмитовой?

(iii)

Пусть $A$ , $B$ — симметричные матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что $[A, B]$ кососимметрична над $\mathbb {R}$ .

Задача 7.1.3

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ и $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что $A$ и $B$ коммутируют тогда и только тогда, когда $A - cI_n$ и $B - cI_n$ коммутируют при любом $c \in \mathbb {C}$ .

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $[A, B] = 0_n$ . Вычислите

[A+cI_n, B+cI_n].

(iii)

Пусть $\overrightarrow {v}$ — собственный вектор матрицы $A$ размера $n \times n$ с собственным значением $\lambda$ . Покажите, что $\overrightarrow {v}$ также является собственным вектором $A + cI_n$ , где $c \in \mathbb {C}$ .

Задача 7.1.4

Можно ли найти матрицы $A$ и $B$ размера $2 \times 2$ такие, что $[A^{2}, B^{2}] = 0_2$ , в то время как $[A, B] \neq 0_2$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.5

Пусть $A$ , $B$ , $H$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ такие, что $[A, H] = 0_n$ , $[B, H] = 0_n$ . Найдите $[[A, B], H]$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.6

(i)(ii)

Пусть $A$ и $B$ — эрмитовы матрицы размера $n \times n$ . Предположим, что

A^{2} = I_n, \qquad B^{2} = I_n

[A, B]_+ \equiv AB + BA = 0_n.

Пусть $\overrightarrow {x} \in \mathbb {C}^{n}$ нормирован, т.е. $\left\| \overrightarrow {x}\right\| = 1$ . Здесь $\overrightarrow {x}$ рассматривается как вектор-столбец.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что

(\overrightarrow {x}^{*}A\overrightarrow {x})^{2} + (\overrightarrow {x}^{*}B\overrightarrow {x})^{2} \leq 1.

(ii)

Приведите пример таких матриц $A$ и $B$ .

Задача 7.1.7

Пусть $A$ , $B$ — косоэрмитовы матрицы над $\mathbb {C}$ , т.е. $A^{*} = -A$ , $B^{*} = -B$ . Является ли коммутатор $A$ и $B$ снова косоэрмитовым?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.8

Пусть $A$ , $B$ — кососимметричные матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Найдите коммутатор $[A, B]$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.9

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $S$ — обратимая матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $\widetilde{A} = S^{-1}AS$ , $\widetilde{B} = S^{-1}BS$ . Покажите, что $[\widetilde{A}, \widetilde{B}] = S^{-1}[A, B]S$ .

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $[A, B] = 0_n$ . Пусть $U$ — унитарная матрица. Вычислите $[U^{*}AU, U^{*}BU]$ .

(iii)

Пусть $T$ — обратимая матрица. Покажите, что $T^{-1}AT \equiv A + T^{-1}[A, T]$ .

Задача 7.1.10

Можно ли найти матрицы $A$ , $B$ размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ такие, что

[A, B] = I_n

где $I_n$ обозначает единичную матрицу?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.11

Покажите, что любые две матрицы $2 \times 2$ , коммутирующие с матрицей

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

коммутируют друг с другом.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.12

Можно ли найти матрицы $A$ и $B$ размера $2 \times 2$ вида

A = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} \\ a_{21} & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & b_{12} \\ b_{21} & 0 \end{pmatrix}

и вырожденные (т.е. $\operatorname {det}\left(A\right) = 0$ и $\operatorname {det}\left(B\right) = 0$ ) такие, что $[A, B]_+ = I_2$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.13

Пусть $A$ — эрмитова матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что собственные значения $A$ , $\lambda_1, \ldots , \lambda_n$ , невырождены и что нормированные собственные векторы $\overrightarrow {v}_j$ ( $j=1,\ldots ,n$ ) матрицы $A$ образуют ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{n}$ . Пусть $B$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $[A, B] = 0_n$ . Покажите, что

\overrightarrow {v}_k^{*}B\overrightarrow {v}_j = 0 \quad \text{при} \quad k \neq j.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.14

Пусть $A$ , $B$ — эрмитовы матрицы размера $n \times n$ . Предположим, что у них общий набор собственных векторов

A\overrightarrow {v}_j = \lambda _j \overrightarrow {v}_j, \qquad B\overrightarrow {v}_j = \mu _j \overrightarrow {v}_j, \qquad j = 1, \ldots , n

и что нормированные собственные векторы образуют ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{n}$ . Покажите, что $[A, B] = 0_n$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.15

(i)(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ . Тогда имеет место разложение

e^{A}Be^{-A} = B + [A, B] + \frac{1}{2!}[A, [A, B]] + \frac{1}{3!}[A, [A, [A, B]]] + \cdots .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Предположим, что $[A, B] = A$ . Вычислите $e^{A}Be^{-A}$ .

(ii)

Предположим, что $[A, B] = B$ . Вычислите $e^{A}Be^{-A}$ .

Задача 7.1.16

Пусть $A$ — произвольная матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $\operatorname {tr}(A) = 0$ . Покажите, что $A$ можно записать в виде коммутатора, т.е. существуют такие матрицы $X$ и $Y$ размера $n \times n$ , что $A = [X, Y]$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.17

Пусть $A$ , $B$ — симметричные матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Предположим, что $AA^{T} = I_2$ и $BB^{T} = I_2$ . Верно ли, что $[A, B] = 0_2$ ? Докажите или опровергните.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.18

Пусть $A$ , $B$ , $X$ , $Y$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $AX - XB = Y$ . Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Покажите, что $(A-zI_n)X - X(B-zI_n) = Y$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.19

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Можно ли найти такие ненулевые симметричные матрицы $2 \times 2$ $H$ и $A$ над $\mathbb {R}$ , что

[H, A] = \mu A

где $\mu \in \mathbb {R}$ и $\mu \neq 0$ ?

(ii)

Пусть $K$ — ненулевая эрмитова матрица размера $n \times n$ . Пусть $B$ — ненулевая матрица размера $n \times n$ . Предположим, что

[K, B] = aB

где $a \in \mathbb {R}$ и $a \neq 0$ . Покажите, что $B$ не может быть эрмитовой.

Задача 7.1.20

(i)(ii)

Усечённым бозонным оператором уничтожения называется матрица размера $n \times n$ ( $n \geq 2$ )

B_n = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \sqrt{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Вычислите $B_n^{*}B_n$ .

(ii)

Вычислите коммутатор $[B_n, B_n^{*}]$ .

Задача 7.1.21

Найдите ненулевые матрицы $2 \times 2$ $A$ , $B$ такие, что $[A, B] \neq 0_2$ , но

[A, [A, B]] = 0_2, \qquad [B, [A, B]] = 0_2.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.22

Пусть

C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ такие, что $[A, C] = 0_2$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.23

Пусть $A$ и $B$ — положительно полуопределённые матрицы. Можно ли заключить, что $[A, B]_+$ положительно полуопределена?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.24

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ . Дано выражение

A^{2}B + AB^{2} + B^{2}A + BA^{2} - 2ABA - 2BAB.

Запишите это выражение в более компактной форме с использованием коммутаторов.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.25

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $A^{2} = I_n$ и $B^{2} = I_n$ . Найдите коммутаторы $[AB+BA, A]$ , $[AB+BA, B]$ . Приведите пример таких матриц для $n=2$ и $A \neq B$ .

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ такие, что $A^{2} = I_n$ , $B^{2} = I_n$ . Теперь предположим, что $[A, B]_+ = 0_n$ . Покажите, что решения для $A$ и $B$ не существует, если $n$ нечётно.

Задача 7.1.26

Пусть $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Тернарный коммутатор $[A_1, A_2, A_3]$ (также называемый тернутатором) определяется как

[A_1, A_2, A_3] := \sum _{\pi \in S_3} \operatorname {sign}\left(\pi \right) A_{\pi (1)}A_{\pi (2)}A_{\pi (3)} \equiv A_1A_2A_3 + A_2A_3A_1 + A_3A_1A_2 - A_1A_3A_2 - A_2A_1A_3 - A_3A_2A_1.

Пусть $n = 2$ , и рассмотрим матрицы спина Паули $\sigma_1$ , $\sigma_2$ , $\sigma_3$ . Вычислите тернутатор $[\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3]$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.27

(i)(ii)

Пусть $\oplus$ — прямая сумма.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ , $B$ , $H$ — матрицы размера $n \times n$ такие, что $[H, A] = 0_n$ , $[H, B] = 0_n$ . Покажите, что

[H \oplus I_n + I_n \oplus H, A \oplus B] = 0_{2n}.

(ii)

Пусть $A_1$ , $A_2$ — матрицы размера $m \times m$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $B_1$ , $B_2$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что

[A_1 \oplus B_1, A_2 \oplus B_2] = ([A_1, A_2]) \oplus ([B_1, B_2])

Задача 7.1.28

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Можно ли найти необратимые матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ такие, что коммутатор $[A, B]$ обратим?

(ii)

Рассмотрим матрицы $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} a_1 & 0 & 0 \\ 0 & a_2 & 0 \\ 0 & 0 & a_3 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & b_1 \\ 0 & b_2 & 0 \\ b_3 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Можно ли найти $a_j$ , $b_j$ ( $j=1,2,3$ ) такие, что коммутатор $[A, B]$ обратим?

Задача 7.1.29

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $B$ обратима. Покажите, что

[A, B^{-1}] \equiv -B^{-1}[A, B]B^{-1}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.30

(i)(ii)

Рассмотрим матрицы $3 \times 3$ над $\mathbb {C}$

A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & 0 & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & 0 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Вычислите коммутатор $[A, B]$ и $\operatorname {det}\left({[A, B]}\right)$ .

(ii)

Положим $a_{11} = e^{i\phi_1}$ , $a_{22} = e^{i\phi_2}$ , $a_{33} = e^{i\phi_3}$ . Найдите условие на $\phi_1$ , $\phi_2$ , $\phi_3$ , $b_{12}$ , $b_{13}$ , $b_{21}$ , $b_{23}$ , $b_{31}$ , $b_{32}$ , при котором $[A, B]$ унитарна.

Задача 7.1.31

Рассмотрим набор из шести матриц $3 \times 3$

A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

A_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{23} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Вычислите антикоммутатор и тем самым покажите, что это базис йордановой алгебры.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.32

Пусть $A$ , $B$ — эрмитовы матрицы, т.е. $A^{*} = A$ и $B^{*} = B$ . Тогда в общем случае $A+iB$ ненормальна. При каких условиях на $A$ и $B$ матрица $A+iB$ нормальна?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.33

Покажите, что можно найти матрицу $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$ такую, что

A^{2}A^{T} + A^{T}A^{2} = 2A, \qquad AA^{T}A = 2A, \qquad A^{3} = 0_3

\frac{1}{2}[A^{T}, A] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.34

Рассмотрим матрицы $3 \times 3$

D = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{pmatrix}, \qquad M = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ a & 0 & b \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix}.

Найдите условия на $d_1$ , $d_2$ , $d_3$ , $a$ , $b$ , при которых

[D, M] = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ -a & 0 & b \\ 0 & -b & 0 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.35

(i)(ii)(iii)(iv)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим матрицу Паули $\sigma_1$ с собственными значениями $+1$ и $-1$ и соответствующими нормированными собственными векторами

\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ такие, что $[\sigma_1, A] = 0_2$ . Найдите собственные значения и собственные векторы $A$ . Обсудите.

(ii)

Рассмотрим противодиагональную единичную матрицу

J_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

с собственными значениями $+1$ (дважды) и $-1$ и соответствующими нормированными собственными векторами

\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Найдите все матрицы $3 \times 3$ $A$ такие, что $[J_3, A] = 0_3$ . Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы $A$ и сравните с собственными векторами $J_3$ . Обсудите.

(iii)

Рассмотрим матрицу $4 \times 4$ (противодиагональная единичная матрица)

J_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \sigma _1 \otimes \sigma _1

с собственными значениями $+1$ (дважды) и $-1$ (дважды) и соответствующими незапутанными собственными векторами

\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix},

\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

Найдите запутанные собственные векторы. Найдите все матрицы $4 \times 4$ $A$ такие, что $[A, J_4] \equiv AJ_4 - J_4A = 0_4$ .

(iv)

Пусть $J_n$ — противодиагональная единичная матрица $n \times n$ . Пусть $A$ — матрица $n \times n$ с $[J_n, A] = 0_n$ . Покажите, что $[J_n \otimes J_n, A \otimes A] = 0_{n^{2}}$ .

Задача 7.1.36

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $M$ , $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что

[M, A] = 0_n, \qquad [M, B] = 0_n.

Вычислите коммутатор $[M \otimes I_n + I_n \otimes M, A \otimes B]$ .

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Вычислите коммутатор $[A \otimes I_n + I_n \otimes A, B \otimes B]$ . Предположим, что $[A, B] = 0_n$ .

(iii)

Найдите коммутатор

[A \otimes B + B \otimes A, A \otimes A - B \otimes B].

Упростите результат для $[A, B] = 0_n$ . Упростите результат для $A^{2} = B^{2} = 0_n$ . Упростите результат для $A^{2} = B^{2} = I_n$ .

Задача 7.1.37

(i)(ii)

Четыре матрицы Дирака, играющие роль в уравнении Дирака, задаются как

\gamma _1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \gamma _2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

\gamma _3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \gamma _4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что эти матрицы можно записать как кронекерово произведение матриц спина Паули $\sigma_1$ , $\sigma_2$ , $\sigma_3$ и единичной матрицы $I_2$ размера $2 \times 2$ .

(ii)

Вычислите антикоммутаторы $[\gamma_4, \gamma_1]_+$ , $[\gamma_4, \gamma_2]_+$ , $[\gamma_4, \gamma_3]_+$ .

Задача 7.1.38

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Каково условие на $A$ , $B$ , при котором

[A \otimes B, B \otimes A] = 0_{n^{2}}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.39

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с коммутатором $[A, B]$ . Пусть $R$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $R^{2} = I_n$ . Найдите коммутатор $[A \otimes R, B \otimes R]$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.40

(i)(ii)

Пусть $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ — матрицы $m \times m$ . Пусть $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ — матрицы $n \times n$ . Рассмотрим матрицы $(n \cdot m) \times (n \cdot m)$

X_1 = A_1 \otimes I_n + I_m \otimes B_1, \qquad X_2 = A_2 \otimes I_n + I_m \otimes B_2, \qquad X_3 = A_3 \otimes I_n + I_m \otimes B_3.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Вычислите коммутаторы и покажите, что результаты снова можно выразить через коммутаторы.

(ii)

Предположим, что

[A_1, A_2] = A_3, \qquad [A_2, A_3] = A_1, \qquad [A_3, A_1] = A_2

[B_1, B_2] = B_3, \qquad [B_2, B_3] = B_1, \qquad [B_3, B_1] = B_2.

Используйте эти коммутационные соотношения для упрощения результатов пункта (i).

Задача 7.1.41

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $[A, B] = 0_n$ . Можем ли мы заключить, что $A \otimes B - B \otimes A = 0_{n^{2}}$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.42

Пусть $A$ — матрица $2 \times 2$ с $A^{2} = I_2$ . Найдите коммутатор и антикоммутатор

X = A \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad Y = A \otimes \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.1.43

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Определим квазиумножение

A \circ B := \frac{1}{2}(AB+BA).

Очевидно, что $A \circ B = B \circ A$ . Покажите, что $(A^{2} \circ B) \circ A = A^{2} \circ (B \circ A)$ . Это называется тождеством Йордана.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

7.2 · Дополнительные задачи[36/0%]

Задача 7.2.1

Рассмотрим матрицы $2 \times 2$

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}, \qquad B(\beta ) = \begin{pmatrix} \cosh (\beta ) & \sinh (\beta ) \\ \sinh (\beta ) & \cosh (\beta ) \end{pmatrix}

где $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ . Вычислите коммутатор $[A(\alpha ), B(\beta )]$ . Каково условие на $\alpha$ , $\beta$ , при котором $[A(\alpha ), B(\beta )] = 0_2$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.2

Пусть $A$ — произвольная матрица $2 \times 2$ . Покажите, что

[A \otimes \sigma _3, I_2 \otimes A] = A \otimes ([\sigma _3, A]).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.3

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите все ненулевые матрицы $2 \times 2$ $A$ , $B$ такие, что $[A, B] = A+B$ . Поскольку $\operatorname {tr}([A, B]) = 0$ , имеем $\operatorname {tr}(A+B) = 0$ .

(ii)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ такие, что $[A, B] = A-B$ .

(iii)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ такие, что $[A \otimes A, B \otimes B] = A \otimes A - B \otimes B$ .

Задача 7.2.4

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ над $\mathbb {C}$ такие, что

[A, A^{*}]_+ = I_2, \qquad [A, A^{*}] = \sigma _3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Из этих двух условий находим

AA^{*} + A^{*}A = I_2, \qquad AA^{*} - A^{*}A = I_2.

(ii)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $B$ над $\mathbb {C}$ такие, что $[B, B^{*}]_+ = I_2$ . Начните с

B = \begin{pmatrix} r_{11}e^{i\phi _{11}} & r_{12}e^{i\phi _{12}} \\ r_{21}e^{i\phi _{21}} & r_{22}e^{i\phi _{22}} \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad B^{*} = \begin{pmatrix} r_{11}e^{-i\phi _{11}} & r_{21}e^{-i\phi _{21}} \\ r_{12}e^{-i\phi _{21}} & r_{22}e^{-i\phi _{22}} \end{pmatrix}.

(iii)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $C$ над $\mathbb {C}$ такие, что $[C, C^{*}]_+ = I_2$ , $[C, C^{*}] = \sigma_3$ , где $\sigma_3$ — третья матрица спина Паули.

Задача 7.2.5

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите все ненулевые матрицы $2 \times 2$ $K_+$ , $K_-$ , $K_3$ такие, что

[K_3, K_+] = K_+, \qquad [K_3, K_-] = -K_-, \qquad [K_+, K_-] = -2K_3

где $(K_+)^{*} = K_-$ . Поскольку $\operatorname {tr}([A, B]) = 0$ для любых матриц $n \times n$ $A$ , $B$ , имеем

\operatorname {tr}(K_+) = \operatorname {tr}(K_-) = \operatorname {tr}(K_3) = 0.

(ii)

Найдите все ненулевые матрицы $2 \times 2$ $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ такие, что

[A_1, A_2] = 0_2, \qquad [A_1, A_3] = A_1, \qquad [A_2, A_3] = A_2.

(iii)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ , $B$ , $C$ такие, что $[A, B] \neq 0_2$ , $[A, C] \neq 0_2$ , $[B, C] \neq 0_2$ и

[A, [B, C]] = 0_2.

Задача 7.2.6

Можно ли найти матрицу $2 \times 2$ $A$ над $\mathbb {R}$ такую, что

[A^{T}, A] = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.7

(i)(ii)

Пусть $\alpha , \beta \in \mathbb {C}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Покажите, что матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} \beta & -\beta ^{2} \\ 1 & -\beta \end{pmatrix}

удовлетворяют условиям $[A, B]_+ = I_2$ , $[A, A]_+ = 0_2$ , $[B, B]_+ = 0_2$ .

(ii)

Покажите, что матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ -\alpha ^{2} & -\alpha \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

удовлетворяют условиям $[A, B]_+ = I_2$ , $[A, A]_+ = 0_2$ , $[B, B]_+ = 0_2$ .

Задача 7.2.8

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите все ненулевые матрицы $2 \times 2$ $A$ , $B$ такие, что

[A, B]_+ = 0_2, \qquad \operatorname {tr}(AB^{*}) = 0.

(ii)

Найдите все ненулевые матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ такие, что $[A, [A, B]] = 0_2$ .

Задача 7.2.9

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ , $B$ , $C$ — ненулевые матрицы $3 \times 3$ с коммутационным соотношением

[A, B] = C, \qquad [B, C] = A, \qquad [C, A] = B.

Рассмотрим шесть матриц $27 \times 27$

A \otimes B \otimes C, \quad A \otimes C \otimes B, \quad B \otimes A \otimes C, \quad B \otimes C \otimes A, \quad C \otimes A \otimes B, \quad C \otimes B \otimes A.

Найдите все коммутаторы для этих шести матриц. Обсудите результат.

(ii)

Пусть $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ — ненулевые матрицы $3 \times 3$ , удовлетворяющие коммутационным соотношениям

[A_1, A_2] = A_3, \qquad [A_2, A_3] = A_1, \qquad [A_3, A_1] = A_2.

Пусть

X := \sum _{k=1}^{3} c_k A_k.

Найдите коммутатор

\left[\sum _{j=1}^{3}(A_j \otimes A_j), X \otimes I_3 + I_3 \otimes X\right].

Задача 7.2.10

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что если $A$ и $B$ коммутируют и $A$ нормальна, то $A^{*}$ и $B$ коммутируют.

(ii)

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Её можно записать в виде $A = HU$ , где $H$ — неотрицательно определённая эрмитова матрица, а $U$ — унитарная. Покажите, что матрицы $H$ и $A$ коммутируют тогда и только тогда, когда $A$ нормальна.

Задача 7.2.11

(i)(ii)(iii)(iv)

Пусть $\sigma_j$ ( $j=0,1,2,3$ ) — матрицы Паули, где $\sigma_0 = I_2$ . Образуем четыре матрицы Дирака $4 \times 4$

\gamma _k = \begin{pmatrix} 0_2 & \sigma _k \\ -\sigma _k & 0_2 \end{pmatrix}, \qquad k = 0,1,2,3.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Линейно независимы ли матрицы $\gamma_k$ ?

(ii)

Найдите собственные значения и собственные векторы матриц $\gamma_k$ .

(iii)

Обратимы ли матрицы $\gamma_k$ . Используйте результат из (ii). Если да, найдите обратную матрицу.

(iv)

Найдите коммутаторы $[\gamma_k, \gamma_\ell ]$ для $k, \ell = 0,1,2,3$ . Найдите антикоммутаторы $[\gamma_k, \gamma_\ell ]_+$ для $k, \ell = 0,1,2,3$ .

Задача 7.2.12

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $[A, B] \neq 0_n$ . Можем ли мы заключить, что

[e^{A}, e^{B}] \neq 0_n?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.13

Пусть $A$ , $B$ — обратимые матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $[A, B] = 0_n$ . Можем ли мы заключить, что $[A^{-1}, B^{-1}] = 0_n$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.14

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $\sigma_1$ , $\sigma_2$ , $\sigma_3$ — матрицы Паули. Рассмотрим три ненормальные матрицы

A = \sigma _1+i\sigma _2, \qquad B = \sigma _2+i\sigma _3, \qquad C = \sigma _3+i\sigma _1.

Найдите коммутаторы и антикоммутаторы. Обсудите результат.

(ii)

Рассмотрим три ненормальные матрицы

X = \sigma _1 \otimes \sigma _1+i\sigma _2 \otimes \sigma _2, \qquad Y = \sigma _2 \otimes \sigma _2+i\sigma _3 \otimes \sigma _3, \qquad Z = \sigma _3 \otimes \sigma _3+i\sigma _1 \otimes \sigma _1.

Найдите коммутаторы и антикоммутаторы. Обсудите результат.

Задача 7.2.15

(i)(ii)(iii)(iv)(v)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $\sigma_1$ , $\sigma_2$ , $\sigma_3$ — матрицы Паули. Рассмотрим ненормальные матрицы

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad C = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}

где $\operatorname {det}\left(A\right) = \operatorname {det}\left(B\right) = \operatorname {det}\left(C\right) = 1$ , т.е. $A$ , $B$ , $C$ являются элементами группы Ли $SL(2, \mathbb {C})$ . Покажите, что $[A, A^{*}] = \sigma_3$ , $[B, B^{*}] = \sigma_1$ , $[C, C^{*}] = \sigma_2$ .

(ii)

Рассмотрим унитарные матрицы

U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad V = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}.

Покажите, что $B = UAU^{*}$ , $C = VBV^{*}$ .

(iii)

Рассмотрим ненормальные и необратимые матрицы

X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad Y = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad Z = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}.

Все они имеют нулевой след и, таким образом, являются элементами алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2, \mathbb {C})$ . Покажите, что

[X, X^{*}] = \sigma _3, \qquad [Y, Y^{*}] = \sigma _1, \qquad [Z, Z^{*}] = \sigma _2.

Подсказка. Очевидно, что $X = A - I_2$ , $Y = B - I_2$ , $Z = C - I_2$ .

(iv)

Покажите, что $Y = UXU^{*}$ , $Z = VYV^{*}$ .

(v)

Изучите коммутаторы

[X \otimes X, X^{*} \otimes X^{*}], \qquad [X \otimes X^{*}, X^{*} \otimes X],

[Y \otimes Y, Y^{*} \otimes Y^{*}], \qquad [Y \otimes Y^{*}, Y^{*} \otimes Y],

[Z \otimes Z, Z^{*} \otimes Z^{*}], \qquad [Z \otimes Z^{*}, Z^{*} \otimes Z].

Задача 7.2.16

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Можно ли найти матрицы $A$ и $B$ размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ такие, что выполняются условия $[A, B] = 0_n$ , $[A, B]_+ = 0_n$ и обе матрицы $A$ и $B$ обратимы?

(ii)

Можно ли найти матрицы $A$ и $B$ размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ такие, что выполняются условия

[A, B] = 0_n, \qquad [A, B]_+ = I_n

и обе матрицы $A$ и $B$ обратимы?

Задача 7.2.17

Рассмотрим эрмитовы матрицы $3 \times 3$

L_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}, \qquad L_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad L_3 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите коммутаторы $[L_1, L_2]$ , $[L_2, L_3]$ , $[L_3, L_1]$ . Найдите матрицу $3 \times 3$

A = c_{23}[L_2, L_3]_+ + c_{13}[L_3, L_1]_+ + c_{12}[L_1, L_2]_+.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.18

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Найдите матрицы $C$ размера $4 \times 4$ и матрицы $A$ размера $2 \times 2$ такие, что

[C, A \otimes I_2 + I_2 \otimes A] = 0_4.

(ii)

Найдите условия на две эрмитовы матрицы $2 \times 2$ $B$ , $C$ такие, что

[B \otimes C, P] = 0_4

где $P$ — матрица перестановки

P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

(iii)

Пусть $E$ , $F$ — произвольные матрицы $2 \times 2$ . Тогда

[E \otimes I_2, I_2 \otimes F] = 0_4.

Пусть $X$ , $Y$ — матрицы $4 \times 4$ с $[X, Y] = 0_4$ . Можно ли записать $X$ , $Y$ в виде $X = E \otimes I_2$ , $Y = I_2 \otimes F$ или $Y = E \otimes I_2$ , $X = I_2 \otimes F$ ?

Задача 7.2.19

(i)(ii)(iii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим две матрицы $2 \times 2$ (противодиагональные матрицы)

A = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} \\ a_{21} & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & b_{12} \\ b_{21} & 0 \end{pmatrix}.

Найдите условие на $A$ и $B$ , при котором $[A, B] = 0_2$ .

(ii)

Рассмотрим две матрицы $3 \times 3$ (противодиагональные матрицы)

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & b_{13} \\ 0 & b_{22} & 0 \\ b_{31} & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите условие на $A$ и $B$ , при котором $[A, B] = 0_3$ .

(iii)

Обобщите на $n$ измерений.

Задача 7.2.20

Рассмотрим матрицы $(m+n) \times (m+n)$ вида

\begin{pmatrix} m \times m & m \times n \\ n \times m & n \times n \end{pmatrix}.

Пусть

B = \begin{pmatrix} B_1 & 0 \\ 0 & B_2 \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{B} = \begin{pmatrix} \widetilde{B}_1 & 0 \\ 0 & \widetilde{B}_2 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0 & F_1 \\ F_2 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{F} = \begin{pmatrix} 0 & \widetilde{F}_1 \\ \widetilde{F}_2 & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что

[B, \widetilde{B}] = \begin{pmatrix} B_1\widetilde{B}_1 - \widetilde{B}_1B_1 & 0 \\ 0 & B_2\widetilde{B}_2 - \widetilde{B}_2B_2 \end{pmatrix},

[B, F] = \begin{pmatrix} 0 & B_1F_1 - F_1B_2 \\ B_2F_2 - F_2B_1 & 0 \end{pmatrix},

[F, \widetilde{F}]_+ = \begin{pmatrix} F_1\widetilde{F}_2 + \widetilde{F}_1F_2 & 0 \\ 0 & F_2\widetilde{F}_1 + \widetilde{F}_2F_1 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.21

Пусть $n \geq 1$ и $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что

[A, B^{n}] = \sum _{j=0}^{n-1} A^{j}[A, B]B^{n-1-j}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.22

Пусть $A_1$ , $A_2$ , $B_1$ , $B_2$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $A_1^{2} = A_2^{2} = B_1^{2} = B_2^{2} = I_n$ . Пусть

T = A_1 \otimes (B_1+B_2) + A_2 \otimes (B_1-B_2).

Покажите, что $T^{2} = 4I_n \otimes I_n - [A_1, A_2] \otimes [B_1, B_2]$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.23

(i)(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $2 \times 2$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Решите уравнение $A \otimes B - B \otimes A = [A, B] \otimes I_2 + I_2 \otimes [A, B]$ .

(ii)

Решите уравнение $A \otimes B - B \otimes A = [A \otimes A, B \otimes B]$ .

Задача 7.2.24

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ . Найдите коммутатор

\left[ \begin{pmatrix} 0_n & A \\ A & 0_n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0_n & A \\ -A & 0_n \end{pmatrix} \right]

и антикоммутатор.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.25

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ , а $T$ — (фиксированная) обратимая матрица $n \times n$ . Определим скобку

[A, B]_T := ATB - BTA.

Пусть

T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Найдите $[X, Y]_T$ , $[X, H]_T$ , $[Y, H]_T$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.26

Можем ли мы найти матрицы $A$ и $B$ размера $3 \times 3$ такие, что $[A, B]_+ = 0_3$ и $A^{2} = B^{2} = I_3$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.27

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Пусть $X$ , $Y$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $[X, Y] = 0_n$ . Коммутируют ли $X \otimes X$ и $Y \otimes Y$ ? Коммутируют ли $X \otimes X$ и $Y \otimes I_n + I_n \otimes X$ ?

(ii)

Пусть $X$ , $Y$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $[X, Y]_+ = 0_n$ . Антикоммутируют ли $X \otimes X$ и $Y \otimes Y$ ? Антикоммутируют ли $X \otimes X$ и $Y \otimes I_n + I_n \otimes X$ ?

Задача 7.2.28

Найдите все матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ , коммутатор которых является обратимой диагональной матрицей $D$ , т.е. $d_{11} \neq 0$ и $d_{22} \neq 0$ . Пример:

A = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.29

Рассмотрим кососимметричные матрицы $3 \times 3$

A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_3 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

с $[A_1, A_2] = A_3$ , $[A_2, A_3] = A_1$ , $[A_3, A_1] = A_2$ . Найдите коммутаторы для матриц $9 \times 9$

A_1 \otimes I_3 + I_3 \otimes A_1, \qquad A_2 \otimes I_3 + I_3 \otimes A_2, \qquad A_3 \otimes I_3 + I_3 \otimes A_3.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.30

Пусть $A$ , $B$ , $C$ — матрицы $n \times n$ . Покажите, что

\operatorname {tr}([A, B]C) \equiv \operatorname {tr}(A[B, C])

применяя циклическую инвариантность.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.31

Покажите, что $A = i\sigma_1/2$ , $B = -i\sigma_2$ удовлетворяют

-A = [B, [B, A]], \qquad -B = [A, [A, B]].

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.32

Рассмотрим линейные операторы $J_+$ , $J_-$ , $J_z$ , удовлетворяющие коммутационным соотношениям $[J_z, J_+] = J_+$ , $[J_z, J_-] = -J_-$ , $[J_+, J_-] = 2J_z$ , где $(J_+)^{*} = J_-$ . Покажите, что матрицы $2 \times 2$

J_+ = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad J_- = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad J_z = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

удовлетворяют этим коммутационным соотношениям.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.33

(i)(ii)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(i)

Рассмотрим матрицы $3 \times 3$

P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{13} & b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{13} & b_{11} \end{pmatrix}.

Обе матрицы являются циркулянтными. Найдите коммутатор $[P, B]$ . Обсудите.

(ii)

Рассмотрим обратимые матрицы $3 \times 3$

P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{2i\pi /3} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-2i\pi /3} \end{pmatrix}.

Является ли матрица $[A, P]$ обратимой?

Задача 7.2.34

Пусть $c \in \mathbb {R}$ и $A$ — матрица $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Найдите коммутатор матриц $3 \times 3$ $c \oplus A$ и $A \oplus c$ , где $\oplus$ обозначает прямую сумму.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.35

Пусть $U$ , $V$ — унитарные матрицы $n \times n$ . Покажите, что

[V^{-1} \otimes U, V \otimes U^{-1}] = 0_n.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 7.2.36

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Определим (йорданово произведение)

A \circ B = \frac{1}{2}(AB+BA).

Покажите, что $A \circ B$ коммутативно и удовлетворяет $A \circ (A^{2} \circ B) = A^{2} \circ (A \circ B)$ , но в общем случае не ассоциативно, т.е. $(A \circ B) \circ C \neq A \circ (B \circ C)$ в общем случае.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику