Банк задач по математике

Задача 7.2.1

Рассмотрим матрицы $2 \times 2$

A(\alpha ) = \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix}, \qquad B(\beta ) = \begin{pmatrix} \cosh (\beta ) & \sinh (\beta ) \\ \sinh (\beta ) & \cosh (\beta ) \end{pmatrix}

где $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ . Вычислите коммутатор $[A(\alpha ), B(\beta )]$ . Каково условие на $\alpha$ , $\beta$ , при котором $[A(\alpha ), B(\beta )] = 0_2$ ?

?

Задача 7.2.2

Пусть $A$ — произвольная матрица $2 \times 2$ . Покажите, что

[A \otimes \sigma _3, I_2 \otimes A] = A \otimes ([\sigma _3, A]).

?

Задача 7.2.3

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Найдите все ненулевые матрицы $2 \times 2$ $A$ , $B$ такие, что $[A, B] = A+B$ . Поскольку $\operatorname {tr}([A, B]) = 0$ , имеем $\operatorname {tr}(A+B) = 0$ .

(ii)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ такие, что $[A, B] = A-B$ .

(iii)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ такие, что $[A \otimes A, B \otimes B] = A \otimes A - B \otimes B$ .

Задача 7.2.4

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ над $\mathbb {C}$ такие, что

[A, A^{*}]_+ = I_2, \qquad [A, A^{*}] = \sigma _3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Из этих двух условий находим

AA^{*} + A^{*}A = I_2, \qquad AA^{*} - A^{*}A = I_2.

(ii)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $B$ над $\mathbb {C}$ такие, что $[B, B^{*}]_+ = I_2$ . Начните с

B = \begin{pmatrix} r_{11}e^{i\phi _{11}} & r_{12}e^{i\phi _{12}} \\ r_{21}e^{i\phi _{21}} & r_{22}e^{i\phi _{22}} \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad B^{*} = \begin{pmatrix} r_{11}e^{-i\phi _{11}} & r_{21}e^{-i\phi _{21}} \\ r_{12}e^{-i\phi _{21}} & r_{22}e^{-i\phi _{22}} \end{pmatrix}.

(iii)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $C$ над $\mathbb {C}$ такие, что $[C, C^{*}]_+ = I_2$ , $[C, C^{*}] = \sigma_3$ , где $\sigma_3$ — третья матрица спина Паули.

Задача 7.2.5

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Найдите все ненулевые матрицы $2 \times 2$ $K_+$ , $K_-$ , $K_3$ такие, что

[K_3, K_+] = K_+, \qquad [K_3, K_-] = -K_-, \qquad [K_+, K_-] = -2K_3

где $(K_+)^{*} = K_-$ . Поскольку $\operatorname {tr}([A, B]) = 0$ для любых матриц $n \times n$ $A$ , $B$ , имеем

\operatorname {tr}(K_+) = \operatorname {tr}(K_-) = \operatorname {tr}(K_3) = 0.

(ii)

Найдите все ненулевые матрицы $2 \times 2$ $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ такие, что

[A_1, A_2] = 0_2, \qquad [A_1, A_3] = A_1, \qquad [A_2, A_3] = A_2.

(iii)

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ , $B$ , $C$ такие, что $[A, B] \neq 0_2$ , $[A, C] \neq 0_2$ , $[B, C] \neq 0_2$ и

[A, [B, C]] = 0_2.

Задача 7.2.6

Можно ли найти матрицу $2 \times 2$ $A$ над $\mathbb {R}$ такую, что

[A^{T}, A] = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}?

?

Задача 7.2.7

(i)(ii)

Пусть $\alpha , \beta \in \mathbb {C}$ .

?

(i)

Покажите, что матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} \beta & -\beta ^{2} \\ 1 & -\beta \end{pmatrix}

удовлетворяют условиям $[A, B]_+ = I_2$ , $[A, A]_+ = 0_2$ , $[B, B]_+ = 0_2$ .

(ii)

Покажите, что матрицы $2 \times 2$

A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ -\alpha ^{2} & -\alpha \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

удовлетворяют условиям $[A, B]_+ = I_2$ , $[A, A]_+ = 0_2$ , $[B, B]_+ = 0_2$ .

Задача 7.2.8

(i)(ii)

?

(i)

Найдите все ненулевые матрицы $2 \times 2$ $A$ , $B$ такие, что

[A, B]_+ = 0_2, \qquad \operatorname {tr}(AB^{*}) = 0.

(ii)

Найдите все ненулевые матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ такие, что $[A, [A, B]] = 0_2$ .

Задача 7.2.9

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ , $B$ , $C$ — ненулевые матрицы $3 \times 3$ с коммутационным соотношением

[A, B] = C, \qquad [B, C] = A, \qquad [C, A] = B.

Рассмотрим шесть матриц $27 \times 27$

A \otimes B \otimes C, \quad A \otimes C \otimes B, \quad B \otimes A \otimes C, \quad B \otimes C \otimes A, \quad C \otimes A \otimes B, \quad C \otimes B \otimes A.

Найдите все коммутаторы для этих шести матриц. Обсудите результат.

(ii)

Пусть $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ — ненулевые матрицы $3 \times 3$ , удовлетворяющие коммутационным соотношениям

[A_1, A_2] = A_3, \qquad [A_2, A_3] = A_1, \qquad [A_3, A_1] = A_2.

Пусть

X := \sum _{k=1}^{3} c_k A_k.

Найдите коммутатор

\left[\sum _{j=1}^{3}(A_j \otimes A_j), X \otimes I_3 + I_3 \otimes X\right].

Задача 7.2.10

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что если $A$ и $B$ коммутируют и $A$ нормальна, то $A^{*}$ и $B$ коммутируют.

(ii)

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Её можно записать в виде $A = HU$ , где $H$ — неотрицательно определённая эрмитова матрица, а $U$ — унитарная. Покажите, что матрицы $H$ и $A$ коммутируют тогда и только тогда, когда $A$ нормальна.

Задача 7.2.11

(i)(ii)(iii)(iv)

Пусть $\sigma_j$ ( $j=0,1,2,3$ ) — матрицы Паули, где $\sigma_0 = I_2$ . Образуем четыре матрицы Дирака $4 \times 4$

\gamma _k = \begin{pmatrix} 0_2 & \sigma _k \\ -\sigma _k & 0_2 \end{pmatrix}, \qquad k = 0,1,2,3.

?

(i)

Линейно независимы ли матрицы $\gamma_k$ ?

(ii)

Найдите собственные значения и собственные векторы матриц $\gamma_k$ .

(iii)

Обратимы ли матрицы $\gamma_k$ . Используйте результат из (ii). Если да, найдите обратную матрицу.

(iv)

Найдите коммутаторы $[\gamma_k, \gamma_\ell ]$ для $k, \ell = 0,1,2,3$ . Найдите антикоммутаторы $[\gamma_k, \gamma_\ell ]_+$ для $k, \ell = 0,1,2,3$ .

Задача 7.2.12

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $[A, B] \neq 0_n$ . Можем ли мы заключить, что

[e^{A}, e^{B}] \neq 0_n?

?

Задача 7.2.13

Пусть $A$ , $B$ — обратимые матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $[A, B] = 0_n$ . Можем ли мы заключить, что $[A^{-1}, B^{-1}] = 0_n$ ?

?

Задача 7.2.14

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $\sigma_1$ , $\sigma_2$ , $\sigma_3$ — матрицы Паули. Рассмотрим три ненормальные матрицы

A = \sigma _1+i\sigma _2, \qquad B = \sigma _2+i\sigma _3, \qquad C = \sigma _3+i\sigma _1.

Найдите коммутаторы и антикоммутаторы. Обсудите результат.

(ii)

Рассмотрим три ненормальные матрицы

X = \sigma _1 \otimes \sigma _1+i\sigma _2 \otimes \sigma _2, \qquad Y = \sigma _2 \otimes \sigma _2+i\sigma _3 \otimes \sigma _3, \qquad Z = \sigma _3 \otimes \sigma _3+i\sigma _1 \otimes \sigma _1.

Найдите коммутаторы и антикоммутаторы. Обсудите результат.

Задача 7.2.15

?

(i)

Пусть $\sigma_1$ , $\sigma_2$ , $\sigma_3$ — матрицы Паули. Рассмотрим ненормальные матрицы

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad C = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}

где $\operatorname {det}\left(A\right) = \operatorname {det}\left(B\right) = \operatorname {det}\left(C\right) = 1$ , т.е. $A$ , $B$ , $C$ являются элементами группы Ли $SL(2, \mathbb {C})$ . Покажите, что $[A, A^{*}] = \sigma_3$ , $[B, B^{*}] = \sigma_1$ , $[C, C^{*}] = \sigma_2$ .

(ii)

Рассмотрим унитарные матрицы

U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad V = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}.

Покажите, что $B = UAU^{*}$ , $C = VBV^{*}$ .

(iii)

Рассмотрим ненормальные и необратимые матрицы

X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad Y = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad Z = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}.

Все они имеют нулевой след и, таким образом, являются элементами алгебры Ли $\mathfrak {sl}(2, \mathbb {C})$ . Покажите, что

[X, X^{*}] = \sigma _3, \qquad [Y, Y^{*}] = \sigma _1, \qquad [Z, Z^{*}] = \sigma _2.

Подсказка. Очевидно, что $X = A - I_2$ , $Y = B - I_2$ , $Z = C - I_2$ .

(iv)

Покажите, что $Y = UXU^{*}$ , $Z = VYV^{*}$ .

(v)

Изучите коммутаторы

[X \otimes X, X^{*} \otimes X^{*}], \qquad [X \otimes X^{*}, X^{*} \otimes X],

[Y \otimes Y, Y^{*} \otimes Y^{*}], \qquad [Y \otimes Y^{*}, Y^{*} \otimes Y],

[Z \otimes Z, Z^{*} \otimes Z^{*}], \qquad [Z \otimes Z^{*}, Z^{*} \otimes Z].

Задача 7.2.16

(i)(ii)

?

(i)

Можно ли найти матрицы $A$ и $B$ размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ такие, что выполняются условия $[A, B] = 0_n$ , $[A, B]_+ = 0_n$ и обе матрицы $A$ и $B$ обратимы?

(ii)

Можно ли найти матрицы $A$ и $B$ размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ такие, что выполняются условия

[A, B] = 0_n, \qquad [A, B]_+ = I_n

и обе матрицы $A$ и $B$ обратимы?

Задача 7.2.17

Рассмотрим эрмитовы матрицы $3 \times 3$

L_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}, \qquad L_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad L_3 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите коммутаторы $[L_1, L_2]$ , $[L_2, L_3]$ , $[L_3, L_1]$ . Найдите матрицу $3 \times 3$

A = c_{23}[L_2, L_3]_+ + c_{13}[L_3, L_1]_+ + c_{12}[L_1, L_2]_+.

?

Задача 7.2.18

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Найдите матрицы $C$ размера $4 \times 4$ и матрицы $A$ размера $2 \times 2$ такие, что

[C, A \otimes I_2 + I_2 \otimes A] = 0_4.

(ii)

Найдите условия на две эрмитовы матрицы $2 \times 2$ $B$ , $C$ такие, что

[B \otimes C, P] = 0_4

где $P$ — матрица перестановки

P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

(iii)

Пусть $E$ , $F$ — произвольные матрицы $2 \times 2$ . Тогда

[E \otimes I_2, I_2 \otimes F] = 0_4.

Пусть $X$ , $Y$ — матрицы $4 \times 4$ с $[X, Y] = 0_4$ . Можно ли записать $X$ , $Y$ в виде $X = E \otimes I_2$ , $Y = I_2 \otimes F$ или $Y = E \otimes I_2$ , $X = I_2 \otimes F$ ?

Задача 7.2.19

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Рассмотрим две матрицы $2 \times 2$ (противодиагональные матрицы)

A = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} \\ a_{21} & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & b_{12} \\ b_{21} & 0 \end{pmatrix}.

Найдите условие на $A$ и $B$ , при котором $[A, B] = 0_2$ .

(ii)

Рассмотрим две матрицы $3 \times 3$ (противодиагональные матрицы)

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & b_{13} \\ 0 & b_{22} & 0 \\ b_{31} & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите условие на $A$ и $B$ , при котором $[A, B] = 0_3$ .

(iii)

Обобщите на $n$ измерений.

Задача 7.2.20

Рассмотрим матрицы $(m+n) \times (m+n)$ вида

\begin{pmatrix} m \times m & m \times n \\ n \times m & n \times n \end{pmatrix}.

Пусть

B = \begin{pmatrix} B_1 & 0 \\ 0 & B_2 \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{B} = \begin{pmatrix} \widetilde{B}_1 & 0 \\ 0 & \widetilde{B}_2 \end{pmatrix}, \qquad F = \begin{pmatrix} 0 & F_1 \\ F_2 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \widetilde{F} = \begin{pmatrix} 0 & \widetilde{F}_1 \\ \widetilde{F}_2 & 0 \end{pmatrix}.

Покажите, что

[B, \widetilde{B}] = \begin{pmatrix} B_1\widetilde{B}_1 - \widetilde{B}_1B_1 & 0 \\ 0 & B_2\widetilde{B}_2 - \widetilde{B}_2B_2 \end{pmatrix},

[B, F] = \begin{pmatrix} 0 & B_1F_1 - F_1B_2 \\ B_2F_2 - F_2B_1 & 0 \end{pmatrix},

[F, \widetilde{F}]_+ = \begin{pmatrix} F_1\widetilde{F}_2 + \widetilde{F}_1F_2 & 0 \\ 0 & F_2\widetilde{F}_1 + \widetilde{F}_2F_1 \end{pmatrix}.

?

Задача 7.2.21

Пусть $n \geq 1$ и $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что

[A, B^{n}] = \sum _{j=0}^{n-1} A^{j}[A, B]B^{n-1-j}.

?

Задача 7.2.22

Пусть $A_1$ , $A_2$ , $B_1$ , $B_2$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $A_1^{2} = A_2^{2} = B_1^{2} = B_2^{2} = I_n$ . Пусть

T = A_1 \otimes (B_1+B_2) + A_2 \otimes (B_1-B_2).

Покажите, что $T^{2} = 4I_n \otimes I_n - [A_1, A_2] \otimes [B_1, B_2]$ .

?

Задача 7.2.23

(i)(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $2 \times 2$ .

?

(i)

Решите уравнение $A \otimes B - B \otimes A = [A, B] \otimes I_2 + I_2 \otimes [A, B]$ .

(ii)

Решите уравнение $A \otimes B - B \otimes A = [A \otimes A, B \otimes B]$ .

Задача 7.2.24

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ . Найдите коммутатор

\left[ \begin{pmatrix} 0_n & A \\ A & 0_n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0_n & A \\ -A & 0_n \end{pmatrix} \right]

и антикоммутатор.

?

Задача 7.2.25

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ , а $T$ — (фиксированная) обратимая матрица $n \times n$ . Определим скобку

[A, B]_T := ATB - BTA.

Пусть

T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Найдите $[X, Y]_T$ , $[X, H]_T$ , $[Y, H]_T$ .

?

Задача 7.2.26

Можем ли мы найти матрицы $A$ и $B$ размера $3 \times 3$ такие, что $[A, B]_+ = 0_3$ и $A^{2} = B^{2} = I_3$ ?

?

Задача 7.2.27

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $X$ , $Y$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $[X, Y] = 0_n$ . Коммутируют ли $X \otimes X$ и $Y \otimes Y$ ? Коммутируют ли $X \otimes X$ и $Y \otimes I_n + I_n \otimes X$ ?

(ii)

Пусть $X$ , $Y$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $[X, Y]_+ = 0_n$ . Антикоммутируют ли $X \otimes X$ и $Y \otimes Y$ ? Антикоммутируют ли $X \otimes X$ и $Y \otimes I_n + I_n \otimes X$ ?

Задача 7.2.28

Найдите все матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$ , коммутатор которых является обратимой диагональной матрицей $D$ , т.е. $d_{11} \neq 0$ и $d_{22} \neq 0$ . Пример:

A = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}.

?

Задача 7.2.29

Рассмотрим кососимметричные матрицы $3 \times 3$

A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_3 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

с $[A_1, A_2] = A_3$ , $[A_2, A_3] = A_1$ , $[A_3, A_1] = A_2$ . Найдите коммутаторы для матриц $9 \times 9$

A_1 \otimes I_3 + I_3 \otimes A_1, \qquad A_2 \otimes I_3 + I_3 \otimes A_2, \qquad A_3 \otimes I_3 + I_3 \otimes A_3.

?

Задача 7.2.30

Пусть $A$ , $B$ , $C$ — матрицы $n \times n$ . Покажите, что

\operatorname {tr}([A, B]C) \equiv \operatorname {tr}(A[B, C])

применяя циклическую инвариантность.

?

Задача 7.2.31

Покажите, что $A = i\sigma_1/2$ , $B = -i\sigma_2$ удовлетворяют

-A = [B, [B, A]], \qquad -B = [A, [A, B]].

?

Задача 7.2.32

Рассмотрим линейные операторы $J_+$ , $J_-$ , $J_z$ , удовлетворяющие коммутационным соотношениям $[J_z, J_+] = J_+$ , $[J_z, J_-] = -J_-$ , $[J_+, J_-] = 2J_z$ , где $(J_+)^{*} = J_-$ . Покажите, что матрицы $2 \times 2$

J_+ = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad J_- = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad J_z = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

удовлетворяют этим коммутационным соотношениям.

?

Задача 7.2.33

(i)(ii)

?

(i)

Рассмотрим матрицы $3 \times 3$

P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{13} & b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{13} & b_{11} \end{pmatrix}.

Обе матрицы являются циркулянтными. Найдите коммутатор $[P, B]$ . Обсудите.

(ii)

Рассмотрим обратимые матрицы $3 \times 3$

P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{2i\pi /3} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-2i\pi /3} \end{pmatrix}.

Является ли матрица $[A, P]$ обратимой?

Задача 7.2.34

Пусть $c \in \mathbb {R}$ и $A$ — матрица $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Найдите коммутатор матриц $3 \times 3$ $c \oplus A$ и $A \oplus c$ , где $\oplus$ обозначает прямую сумму.

?

Задача 7.2.35

Пусть $U$ , $V$ — унитарные матрицы $n \times n$ . Покажите, что

[V^{-1} \otimes U, V \otimes U^{-1}] = 0_n.

?

Задача 7.2.36

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Определим (йорданово произведение)

A \circ B = \frac{1}{2}(AB+BA).

Покажите, что $A \circ B$ коммутативно и удовлетворяет $A \circ (A^{2} \circ B) = A^{2} \circ (A \circ B)$ , но в общем случае не ассоциативно, т.е. $(A \circ B) \circ C \neq A \circ (B \circ C)$ в общем случае.

?

Дополнительные задачи