Банк задач по математике

Задача 7.1.1

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ . Предположим, что $[A, B] = 0_n$ и $[A, B]_+ = 0_n$ . Что можно сказать про $AB$ и $BA$ ?

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ . Предположим, что $A$ обратима. Предположим, что $[A, B] = 0_n$ . Можно ли заключить, что $[A^{-1}, B] = 0_n$ ?

(iii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ . Предположим, что

[A, B] = 0_n, \qquad [A, B]_+ = 0_n

и что $A$ обратима. Покажите, что $B$ обязательно является нулевой матрицей.

Задача 7.1.2

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $A$ и $B$ — симметричные матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что $AB$ симметрична тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ коммутируют.

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — эрмитовы матрицы размера $n \times n$ . Является ли $i[A, B]$ эрмитовой?

(iii)

Пусть $A$ , $B$ — симметричные матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {R}$ . Покажите, что $[A, B]$ кососимметрична над $\mathbb {R}$ .

Задача 7.1.3

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $A$ и $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что $A$ и $B$ коммутируют тогда и только тогда, когда $A - cI_n$ и $B - cI_n$ коммутируют при любом $c \in \mathbb {C}$ .

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $[A, B] = 0_n$ . Вычислите

[A+cI_n, B+cI_n].

(iii)

Пусть $\overrightarrow {v}$ — собственный вектор матрицы $A$ размера $n \times n$ с собственным значением $\lambda$ . Покажите, что $\overrightarrow {v}$ также является собственным вектором $A + cI_n$ , где $c \in \mathbb {C}$ .

Задача 7.1.4

Можно ли найти матрицы $A$ и $B$ размера $2 \times 2$ такие, что $[A^{2}, B^{2}] = 0_2$ , в то время как $[A, B] \neq 0_2$ ?

?

Задача 7.1.5

Пусть $A$ , $B$ , $H$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ такие, что $[A, H] = 0_n$ , $[B, H] = 0_n$ . Найдите $[[A, B], H]$ .

?

Задача 7.1.6

(i)(ii)

Пусть $A$ и $B$ — эрмитовы матрицы размера $n \times n$ . Предположим, что

A^{2} = I_n, \qquad B^{2} = I_n

и

[A, B]_+ \equiv AB + BA = 0_n.

Пусть $\overrightarrow {x} \in \mathbb {C}^{n}$ нормирован, т.е. $\left\| \overrightarrow {x}\right\| = 1$ . Здесь $\overrightarrow {x}$ рассматривается как вектор-столбец.

?

(i)

Покажите, что

(\overrightarrow {x}^{*}A\overrightarrow {x})^{2} + (\overrightarrow {x}^{*}B\overrightarrow {x})^{2} \leq 1.

(ii)

Приведите пример таких матриц $A$ и $B$ .

Задача 7.1.7

Пусть $A$ , $B$ — косоэрмитовы матрицы над $\mathbb {C}$ , т.е. $A^{*} = -A$ , $B^{*} = -B$ . Является ли коммутатор $A$ и $B$ снова косоэрмитовым?

?

Задача 7.1.8

Пусть $A$ , $B$ — кососимметричные матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Найдите коммутатор $[A, B]$ .

?

Задача 7.1.9

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $S$ — обратимая матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $\widetilde{A} = S^{-1}AS$ , $\widetilde{B} = S^{-1}BS$ . Покажите, что $[\widetilde{A}, \widetilde{B}] = S^{-1}[A, B]S$ .

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $[A, B] = 0_n$ . Пусть $U$ — унитарная матрица. Вычислите $[U^{*}AU, U^{*}BU]$ .

(iii)

Пусть $T$ — обратимая матрица. Покажите, что $T^{-1}AT \equiv A + T^{-1}[A, T]$ .

Задача 7.1.10

Можно ли найти матрицы $A$ , $B$ размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ такие, что

[A, B] = I_n

где $I_n$ обозначает единичную матрицу?

?

Задача 7.1.11

Покажите, что любые две матрицы $2 \times 2$ , коммутирующие с матрицей

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

коммутируют друг с другом.

?

Задача 7.1.12

Можно ли найти матрицы $A$ и $B$ размера $2 \times 2$ вида

A = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} \\ a_{21} & 0 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & b_{12} \\ b_{21} & 0 \end{pmatrix}

и вырожденные (т.е. $\operatorname {det}\left(A\right) = 0$ и $\operatorname {det}\left(B\right) = 0$ ) такие, что $[A, B]_+ = I_2$ ?

?

Задача 7.1.13

Пусть $A$ — эрмитова матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что собственные значения $A$ , $\lambda_1, \ldots , \lambda_n$ , невырождены и что нормированные собственные векторы $\overrightarrow {v}_j$ ( $j=1,\ldots ,n$ ) матрицы $A$ образуют ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{n}$ . Пусть $B$ — матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $[A, B] = 0_n$ . Покажите, что

\overrightarrow {v}_k^{*}B\overrightarrow {v}_j = 0 \quad \text{при} \quad k \neq j.

?

Задача 7.1.14

Пусть $A$ , $B$ — эрмитовы матрицы размера $n \times n$ . Предположим, что у них общий набор собственных векторов

A\overrightarrow {v}_j = \lambda _j \overrightarrow {v}_j, \qquad B\overrightarrow {v}_j = \mu _j \overrightarrow {v}_j, \qquad j = 1, \ldots , n

и что нормированные собственные векторы образуют ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{n}$ . Покажите, что $[A, B] = 0_n$ .

?

Задача 7.1.15

(i)(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ . Тогда имеет место разложение

e^{A}Be^{-A} = B + [A, B] + \frac{1}{2!}[A, [A, B]] + \frac{1}{3!}[A, [A, [A, B]]] + \cdots .

?

(i)

Предположим, что $[A, B] = A$ . Вычислите $e^{A}Be^{-A}$ .

(ii)

Предположим, что $[A, B] = B$ . Вычислите $e^{A}Be^{-A}$ .

Задача 7.1.16

Пусть $A$ — произвольная матрица размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $\operatorname {tr}(A) = 0$ . Покажите, что $A$ можно записать в виде коммутатора, т.е. существуют такие матрицы $X$ и $Y$ размера $n \times n$ , что $A = [X, Y]$ .

?

Задача 7.1.17

Пусть $A$ , $B$ — симметричные матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$ . Предположим, что $AA^{T} = I_2$ и $BB^{T} = I_2$ . Верно ли, что $[A, B] = 0_2$ ? Докажите или опровергните.

?

Задача 7.1.18

Пусть $A$ , $B$ , $X$ , $Y$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $AX - XB = Y$ . Пусть $z \in \mathbb {C}$ . Покажите, что $(A-zI_n)X - X(B-zI_n) = Y$ .

?

Задача 7.1.19

(i)(ii)

?

(i)

Можно ли найти такие ненулевые симметричные матрицы $2 \times 2$ $H$ и $A$ над $\mathbb {R}$ , что

[H, A] = \mu A

где $\mu \in \mathbb {R}$ и $\mu \neq 0$ ?

(ii)

Пусть $K$ — ненулевая эрмитова матрица размера $n \times n$ . Пусть $B$ — ненулевая матрица размера $n \times n$ . Предположим, что

[K, B] = aB

где $a \in \mathbb {R}$ и $a \neq 0$ . Покажите, что $B$ не может быть эрмитовой.

Задача 7.1.20

(i)(ii)

Усечённым бозонным оператором уничтожения называется матрица размера $n \times n$ ( $n \geq 2$ )

B_n = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \sqrt{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{pmatrix}.

?

(i)

Вычислите $B_n^{*}B_n$ .

(ii)

Вычислите коммутатор $[B_n, B_n^{*}]$ .

Задача 7.1.21

Найдите ненулевые матрицы $2 \times 2$ $A$ , $B$ такие, что $[A, B] \neq 0_2$ , но

[A, [A, B]] = 0_2, \qquad [B, [A, B]] = 0_2.

?

Задача 7.1.22

Пусть

C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ такие, что $[A, C] = 0_2$ .

?

Задача 7.1.23

Пусть $A$ и $B$ — положительно полуопределённые матрицы. Можно ли заключить, что $[A, B]_+$ положительно полуопределена?

?

Задача 7.1.24

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ . Дано выражение

A^{2}B + AB^{2} + B^{2}A + BA^{2} - 2ABA - 2BAB.

Запишите это выражение в более компактной форме с использованием коммутаторов.

?

Задача 7.1.25

(i)(ii)

?

(i)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $A^{2} = I_n$ и $B^{2} = I_n$ . Найдите коммутаторы $[AB+BA, A]$ , $[AB+BA, B]$ . Приведите пример таких матриц для $n=2$ и $A \neq B$ .

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ такие, что $A^{2} = I_n$ , $B^{2} = I_n$ . Теперь предположим, что $[A, B]_+ = 0_n$ . Покажите, что решения для $A$ и $B$ не существует, если $n$ нечётно.

Задача 7.1.26

Пусть $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Тернарный коммутатор $[A_1, A_2, A_3]$ (также называемый тернутатором) определяется как

[A_1, A_2, A_3] := \sum _{\pi \in S_3} \operatorname {sign}\left(\pi \right) A_{\pi (1)}A_{\pi (2)}A_{\pi (3)} \equiv A_1A_2A_3 + A_2A_3A_1 + A_3A_1A_2 - A_1A_3A_2 - A_2A_1A_3 - A_3A_2A_1.

Пусть $n = 2$ , и рассмотрим матрицы спина Паули $\sigma_1$ , $\sigma_2$ , $\sigma_3$ . Вычислите тернутатор $[\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3]$ .

?

Задача 7.1.27

(i)(ii)

Пусть $\oplus$ — прямая сумма.

?

(i)

Пусть $A$ , $B$ , $H$ — матрицы размера $n \times n$ такие, что $[H, A] = 0_n$ , $[H, B] = 0_n$ . Покажите, что

[H \oplus I_n + I_n \oplus H, A \oplus B] = 0_{2n}.

(ii)

Пусть $A_1$ , $A_2$ — матрицы размера $m \times m$ над $\mathbb {C}$ . Пусть $B_1$ , $B_2$ — матрицы размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Покажите, что

[A_1 \oplus B_1, A_2 \oplus B_2] = ([A_1, A_2]) \oplus ([B_1, B_2])

Задача 7.1.28

(i)(ii)

?

(i)

Можно ли найти необратимые матрицы $2 \times 2$ $A$ и $B$ такие, что коммутатор $[A, B]$ обратим?

(ii)

Рассмотрим матрицы $3 \times 3$

A = \begin{pmatrix} a_1 & 0 & 0 \\ 0 & a_2 & 0 \\ 0 & 0 & a_3 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & b_1 \\ 0 & b_2 & 0 \\ b_3 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Можно ли найти $a_j$ , $b_j$ ( $j=1,2,3$ ) такие, что коммутатор $[A, B]$ обратим?

Задача 7.1.29

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $B$ обратима. Покажите, что

[A, B^{-1}] \equiv -B^{-1}[A, B]B^{-1}.

?

Задача 7.1.30

(i)(ii)

Рассмотрим матрицы $3 \times 3$ над $\mathbb {C}$

A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & 0 & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & 0 \end{pmatrix}.

?

(i)

Вычислите коммутатор $[A, B]$ и $\operatorname {det}\left({[A, B]}\right)$ .

(ii)

Положим $a_{11} = e^{i\phi_1}$ , $a_{22} = e^{i\phi_2}$ , $a_{33} = e^{i\phi_3}$ . Найдите условие на $\phi_1$ , $\phi_2$ , $\phi_3$ , $b_{12}$ , $b_{13}$ , $b_{21}$ , $b_{23}$ , $b_{31}$ , $b_{32}$ , при котором $[A, B]$ унитарна.

Задача 7.1.31

Рассмотрим набор из шести матриц $3 \times 3$

A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},

A_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{23} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{13} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Вычислите антикоммутатор и тем самым покажите, что это базис йордановой алгебры.

?

Задача 7.1.32

Пусть $A$ , $B$ — эрмитовы матрицы, т.е. $A^{*} = A$ и $B^{*} = B$ . Тогда в общем случае $A+iB$ ненормальна. При каких условиях на $A$ и $B$ матрица $A+iB$ нормальна?

?

Задача 7.1.33

Покажите, что можно найти матрицу $3 \times 3$ над $\mathbb {R}$ такую, что

A^{2}A^{T} + A^{T}A^{2} = 2A, \qquad AA^{T}A = 2A, \qquad A^{3} = 0_3

и

\frac{1}{2}[A^{T}, A] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

?

Задача 7.1.34

Рассмотрим матрицы $3 \times 3$

D = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{pmatrix}, \qquad M = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ a & 0 & b \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix}.

Найдите условия на $d_1$ , $d_2$ , $d_3$ , $a$ , $b$ , при которых

[D, M] = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ -a & 0 & b \\ 0 & -b & 0 \end{pmatrix}.

?

Задача 7.1.35

(i)(ii)(iii)(iv)

?

(i)

Рассмотрим матрицу Паули $\sigma_1$ с собственными значениями $+1$ и $-1$ и соответствующими нормированными собственными векторами

\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.

Найдите все матрицы $2 \times 2$ $A$ такие, что $[\sigma_1, A] = 0_2$ . Найдите собственные значения и собственные векторы $A$ . Обсудите.

(ii)

Рассмотрим противодиагональную единичную матрицу

J_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

с собственными значениями $+1$ (дважды) и $-1$ и соответствующими нормированными собственными векторами

\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Найдите все матрицы $3 \times 3$ $A$ такие, что $[J_3, A] = 0_3$ . Найдите собственные значения и нормированные собственные векторы $A$ и сравните с собственными векторами $J_3$ . Обсудите.

(iii)

Рассмотрим матрицу $4 \times 4$ (противодиагональная единичная матрица)

J_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \sigma _1 \otimes \sigma _1

с собственными значениями $+1$ (дважды) и $-1$ (дважды) и соответствующими незапутанными собственными векторами

\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix},

\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

Найдите запутанные собственные векторы. Найдите все матрицы $4 \times 4$ $A$ такие, что $[A, J_4] \equiv AJ_4 - J_4A = 0_4$ .

(iv)

Пусть $J_n$ — противодиагональная единичная матрица $n \times n$ . Пусть $A$ — матрица $n \times n$ с $[J_n, A] = 0_n$ . Покажите, что $[J_n \otimes J_n, A \otimes A] = 0_{n^{2}}$ .

Задача 7.1.36

(i)(ii)(iii)

?

(i)

Пусть $M$ , $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что

[M, A] = 0_n, \qquad [M, B] = 0_n.

Вычислите коммутатор $[M \otimes I_n + I_n \otimes M, A \otimes B]$ .

(ii)

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Вычислите коммутатор $[A \otimes I_n + I_n \otimes A, B \otimes B]$ . Предположим, что $[A, B] = 0_n$ .

(iii)

Найдите коммутатор

[A \otimes B + B \otimes A, A \otimes A - B \otimes B].

Упростите результат для $[A, B] = 0_n$ . Упростите результат для $A^{2} = B^{2} = 0_n$ . Упростите результат для $A^{2} = B^{2} = I_n$ .

Задача 7.1.37

(i)(ii)

Четыре матрицы Дирака, играющие роль в уравнении Дирака, задаются как

\gamma _1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \gamma _2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

\gamma _3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \gamma _4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

?

(i)

Покажите, что эти матрицы можно записать как кронекерово произведение матриц спина Паули $\sigma_1$ , $\sigma_2$ , $\sigma_3$ и единичной матрицы $I_2$ размера $2 \times 2$ .

(ii)

Вычислите антикоммутаторы $[\gamma_4, \gamma_1]_+$ , $[\gamma_4, \gamma_2]_+$ , $[\gamma_4, \gamma_3]_+$ .

Задача 7.1.38

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Каково условие на $A$ , $B$ , при котором

[A \otimes B, B \otimes A] = 0_{n^{2}}.

?

Задача 7.1.39

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с коммутатором $[A, B]$ . Пусть $R$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$ с $R^{2} = I_n$ . Найдите коммутатор $[A \otimes R, B \otimes R]$ .

?

Задача 7.1.40

(i)(ii)

Пусть $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ — матрицы $m \times m$ . Пусть $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ — матрицы $n \times n$ . Рассмотрим матрицы $(n \cdot m) \times (n \cdot m)$

X_1 = A_1 \otimes I_n + I_m \otimes B_1, \qquad X_2 = A_2 \otimes I_n + I_m \otimes B_2, \qquad X_3 = A_3 \otimes I_n + I_m \otimes B_3.

?

(i)

Вычислите коммутаторы и покажите, что результаты снова можно выразить через коммутаторы.

(ii)

Предположим, что

[A_1, A_2] = A_3, \qquad [A_2, A_3] = A_1, \qquad [A_3, A_1] = A_2

и

[B_1, B_2] = B_3, \qquad [B_2, B_3] = B_1, \qquad [B_3, B_1] = B_2.

Используйте эти коммутационные соотношения для упрощения результатов пункта (i).

Задача 7.1.41

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Предположим, что $[A, B] = 0_n$ . Можем ли мы заключить, что $A \otimes B - B \otimes A = 0_{n^{2}}$ ?

?

Задача 7.1.42

Пусть $A$ — матрица $2 \times 2$ с $A^{2} = I_2$ . Найдите коммутатор и антикоммутатор

X = A \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad Y = A \otimes \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

?

Задача 7.1.43

Пусть $A$ , $B$ — матрицы $n \times n$ над $\mathbb {C}$ . Определим квазиумножение

A \circ B := \frac{1}{2}(AB+BA).

Очевидно, что $A \circ B = B \circ A$ . Покажите, что $(A^{2} \circ B) \circ A = A^{2} \circ (B \circ A)$ . Это называется тождеством Йордана.

?

Задачи главы