Спектральная теорема

Рассмотрим векторы в $\mathbb {C}^{2}$ (иногда называемые спинорами)

Дана симметричная матрица $A$ размера $4 \times 4$ над $\mathbb {R}$ с собственными значениями $\lambda_{1} = 0$, $\lambda_{2} = 1$, $\lambda_{3} = 2$, $\lambda_{4} = 3$ и соответствующими нормированными собственными векторами

Восстановите матрицу $A$, используя спектральную теорему. Приведённые выше собственные векторы называются базисом Белла.

Пусть $z \in \mathbb {C}$ и $A$ — нормальная матрица $n \times n$ с собственными значениями $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ и попарно ортонормированными собственными векторами $\overrightarrow {v}_{1}, \ldots , \overrightarrow {v}_{n}$. Используя спектральное разложение, вычислите $\mathrm{exp}\left(zA\right)$.

Пусть $A$ — эрмитова матрица $n \times n$. Предположим, что все собственные значения $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ попарно различны. Тогда нормированные собственные векторы $\overrightarrow {u}_{j}$ ($j = 1, \ldots , n$) удовлетворяют условиям $\overrightarrow {u}_{j}^{*}\overrightarrow {u}_{k} = 0$ при $j \neq k$ и $\overrightarrow {u}_{j}^{*}\overrightarrow {u}_{j} = 1$. Имеем

Пусть $\overrightarrow {e}_{k}$ ($k = 1, \ldots , n$) — стандартный базис в $\mathbb {C}^{n}$. Вычислите $U^{*}AU$, где $U = \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow {u}_{k}\overrightarrow {e}_{k}^{*}$.

Пусть $A$ — положительно определённая матрица $n \times n$. Тогда все собственные значения вещественны и положительны. Предположим, что все собственные значения $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ попарно различны. Тогда нормированные собственные векторы $\overrightarrow {u}_{j}$ ($j = 1, \ldots , n$) удовлетворяют условиям $\overrightarrow {u}_{j}^{*}\overrightarrow {u}_{k} = 0$ при $j \neq k$ и $\overrightarrow {u}_{j}^{*}\overrightarrow {u}_{j} = 1$. Имеем (спектральная теорема)

Пусть $\overrightarrow {e}_{k}$ ($k = 1, \ldots , n$) — стандартный базис в $\mathbb {C}^{n}$. Вычислите $\ln (A)$. Заметим, что унитарная матрица

преобразует $A$ в диагональную матрицу, т.е. $\widetilde{A} = U^{*}AU$ — диагональная матрица.

Рассмотрим нормальную необратимую матрицу $3 \times 3$

Рассмотрим две матрицы перестановок $3 \times 3$, для которых $P_{1} = P_{2}^{T}$

Рассмотрим унитарную матрицу

Найдите косоэрмитову матрицу $K$ такую, что $U = \mathrm{exp}\left(K\right)$. Используйте спектральное представление.

Рассмотрим матрицу Адамара

с собственными значениями $+1$ и $-1$. Найдите квадратные корни этой матрицы, применяя спектральную теорему. Поскольку $\sqrt{1} = \pm 1$ и $\sqrt{-1} = \pm i$, необходимо рассмотреть четыре случая

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ над $\mathbb {C}$. Матрица $B$ размера $n \times n$ называется квадратным корнем из $A$, если $B^{2} = A$. Найдите квадратные корни единичной матрицы $2 \times 2$, применяя спектральную теорему. Собственные значения $I_{2}$ суть $\lambda_{1} = 1$ и $\lambda_{2} = 1$. В качестве нормированных собственных векторов выберем

которые образуют ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{2}$. Необходимо изучить четыре случая

Первый и последний случаи тривиальны. Поэтому изучите второй случай $(\sqrt{\lambda_{1}}, \sqrt{\lambda_{2}}) = (1, -1)$. Второй случай и третий случай «эквивалентны».

Пусть $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \mu_{1}, \mu_{2} \in \mathbb {C}$. Пусть $\overrightarrow {v}_{1}$, $\overrightarrow {v}_{2}$ (векторы-столбцы) — ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{2}$. Определим матрицы $2 \times 2$ (спектральная теорема)

Найдите коммутатор $[A, B]$. Найдите условия на $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$, $\mu_{1}$, $\mu_{2}$ такие, что $[A, B] = 0_{2}$.

Пусть $\overrightarrow {v}_{0}, \overrightarrow {v}_{1}, \ldots , \overrightarrow {v}_{2^{n}-1}$ — ортонормированный базис в $\mathbb {C}^{2^{n}}$. Определим

Покажите, что $U$ унитарна. Иными словами, покажите, что $UU^{*} = I_{2^{n}}$, используя соотношение полноты

Звёздное произведение матрицы Адамара $U_{H}$ на саму себя даёт матрицу Белла

которая является унитарной матрицей. Заметим, что собственные значения матрицы Белла суть $+1$ (дважды) и $-1$ (дважды).

Пусть $A$ — нормальная матрица с собственными значениями $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ и попарно ортонормированными собственными векторами $\overrightarrow {a}_{j}$ (векторы-столбцы). Пусть $B$ — нормальная матрица с собственными значениями $\mu_{1}, \ldots , \mu_{n}$ и попарно ортонормированными собственными векторами $\overrightarrow {b}_{j}$ (векторы-столбцы). Тогда $A$ и $B$ можно записать в виде

Пусть $z \in \mathbb {C}$. Используя спектральное разложение, вычислите $e^{zA}Be^{-zA}$.

Рассмотрим нормированные векторы

в $\mathbb {R}^{3}$. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы $3 \times 3$ $M = 1 \cdot \overrightarrow {v}_{1}\overrightarrow {v}_{1}^{*} + 0 \cdot \overrightarrow {v}_{2}\overrightarrow {v}_{2}^{*} - 1 \cdot \overrightarrow {v}_{3}\overrightarrow {v}_{3}^{*}$, не вычисляя $M$.

Пусть $A$ — нормальная матрица размера $n \times n$ с собственными значениями $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ и попарно нормированными ортогональными собственными векторами $\overrightarrow {v}_{j}$ ($j = 1, \ldots , n$). Тогда

Покажите, что $\cos (A) = \sum_{j=1}^{n} \cos (\lambda_{j})\overrightarrow {v}_{j}\overrightarrow {v}_{j}^{*}$, $\sin (A) = \sum_{j=1}^{n} \sin (\lambda_{j})\overrightarrow {v}_{j}\overrightarrow {v}_{j}^{*}$.

Спектральная теорема для нормальных матриц размера $n \times n$ над $\mathbb {C}$ формулируется следующим образом: матрица $A$ нормальна тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица $U$ размера $n \times n$ и диагональная матрица $D$ такие, что $D = U^{*}AU$. Используя эту теорему, докажите, что матрица

ненормальна.

Найдите все матрицы размера $2 \times 2$ над $\mathbb {C}$, допускающие нормированные собственные векторы

с соответствующими собственными значениями $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$.

Рассмотрим ненормальную матрицу $2 \times 2$

с собственными значениями $\lambda_{1} = +1$ и $\lambda_{2} = -1$ и нормированными собственными векторами

Собственные векторы линейно независимы, но не ортонормированы. Вычислите $\overrightarrow {v}_{1}^{*}\overrightarrow {v}_{2}$ и

Найдите $\left\| A - B\right\|$. Обсудите результат. Является ли матрица $B$ нормальной?