6.2

Дополнительные задачи

[7/0%]
LaTeX
Задача 6.2.1

Звёздное произведение матрицы Адамара UHU_{H} на саму себя даёт матрицу Белла

B=UH⋆UH=12(1001011001−10100−1) B = U_{H} \star U_{H} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{smallmatrix}\right)

которая является унитарной матрицей. Заметим, что собственные значения матрицы Белла суть +1+1 (дважды) и −1-1 (дважды).

?
(i)

Найдите квадратные корни матрицы Белла, применяя спектральную теорему.

(ii)

Примените спектральную теорему, чтобы найти косоэрмитову матрицу KK такую, что B=eKB = e^{K}.

Задача 6.2.2

Пусть AA — нормальная матрица с собственными значениями λ1,…,λn\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n} и попарно ортонормированными собственными векторами a→j\overrightarrow {a}_{j} (векторы-столбцы). Пусть BB — нормальная матрица с собственными значениями μ1,…,μn\mu_{1}, \ldots , \mu_{n} и попарно ортонормированными собственными векторами b→j\overrightarrow {b}_{j} (векторы-столбцы). Тогда AA и BB можно записать в виде

A=∑j=1nλja→ja→j∗,B=∑k=1nμkb→kb→k∗. A = \sum _{j=1}^{n} \lambda _{j}\overrightarrow {a}_{j}\overrightarrow {a}_{j}^{*}, \qquad B = \sum _{k=1}^{n} \mu _{k}\overrightarrow {b}_{k}\overrightarrow {b}_{k}^{*}.

Пусть z∈Cz \in \mathbb {C}. Используя спектральное разложение, вычислите ezABe−zAe^{zA}Be^{-zA}.

?
Задача 6.2.3

Рассмотрим нормированные векторы

v→1=12(101),v→2=(010),v→3=12(10−1) \overrightarrow {v}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right), \quad \overrightarrow {v}_{2} = \left(\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right), \quad \overrightarrow {v}_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{smallmatrix}\right)

в R3\mathbb {R}^{3}. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы 3×33 \times 3 M=1⋅v→1v→1∗+0⋅v→2v→2∗−1⋅v→3v→3∗M = 1 \cdot \overrightarrow {v}_{1}\overrightarrow {v}_{1}^{*} + 0 \cdot \overrightarrow {v}_{2}\overrightarrow {v}_{2}^{*} - 1 \cdot \overrightarrow {v}_{3}\overrightarrow {v}_{3}^{*}, не вычисляя MM.

?
Задача 6.2.4

Пусть AA — нормальная матрица размера n×nn \times n с собственными значениями λ1,…,λn\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n} и попарно нормированными ортогональными собственными векторами v→j\overrightarrow {v}_{j} (j=1,…,nj = 1, \ldots , n). Тогда

A=∑j=1nλjv→jv→j∗. A = \sum _{j=1}^{n} \lambda _{j}\overrightarrow {v}_{j}\overrightarrow {v}_{j}^{*}.

Покажите, что cos⁡(A)=∑j=1ncos⁡(λj)v→jv→j∗\cos (A) = \sum_{j=1}^{n} \cos (\lambda_{j})\overrightarrow {v}_{j}\overrightarrow {v}_{j}^{*}, sin⁡(A)=∑j=1nsin⁡(λj)v→jv→j∗\sin (A) = \sum_{j=1}^{n} \sin (\lambda_{j})\overrightarrow {v}_{j}\overrightarrow {v}_{j}^{*}.

?
Задача 6.2.5

Спектральная теорема для нормальных матриц размера n×nn \times n над C\mathbb {C} формулируется следующим образом: матрица AA нормальна тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица UU размера n×nn \times n и диагональная матрица DD такие, что D=U∗AUD = U^{*}AU. Используя эту теорему, докажите, что матрица

A=(011001000) A = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)

ненормальна.

?
Задача 6.2.6

Найдите все матрицы размера 2×22 \times 2 над C\mathbb {C}, допускающие нормированные собственные векторы

v→1=12(11),v→2=12(1−1) \overrightarrow {v}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \end{smallmatrix}\right), \qquad \overrightarrow {v}_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right)

с соответствующими собственными значениями λ1\lambda_{1} и λ2\lambda_{2}.

?
Задача 6.2.7

Рассмотрим ненормальную матрицу 2×22 \times 2

A=(110−1) A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix}\right)

с собственными значениями λ1=+1\lambda_{1} = +1 и λ2=−1\lambda_{2} = -1 и нормированными собственными векторами

v→1=(10),v→2=25(1/2−1). \overrightarrow {v}_{1} = \left(\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right), \qquad \overrightarrow {v}_{2} = \frac{2}{\sqrt{5}}\left(\begin{smallmatrix} 1/2 \\ -1 \end{smallmatrix}\right).

Собственные векторы линейно независимы, но не ортонормированы. Вычислите v→1∗v→2\overrightarrow {v}_{1}^{*}\overrightarrow {v}_{2} и

B=λ1v→1v→1∗+λ2v→2v→2∗. B = \lambda _{1}\overrightarrow {v}_{1}\overrightarrow {v}_{1}^{*} + \lambda _{2}\overrightarrow {v}_{2}\overrightarrow {v}_{2}^{*}.

Найдите ∥A−B∥\left\| A - B\right\|. Обсудите результат. Является ли матрица BB нормальной?

?